Forma diferencial compleja

Forma diferencial en una variedad a la que se le permite tener coeficientes complejos

En matemáticas , una forma diferencial compleja es una forma diferencial en una variedad (generalmente una variedad compleja ) a la que se le permite tener coeficientes complejos .

Las formas complejas tienen amplias aplicaciones en geometría diferencial . En variedades complejas, son fundamentales y sirven como base para gran parte de la geometría algebraica , la geometría de Kähler y la teoría de Hodge . En variedades no complejas, también desempeñan un papel en el estudio de estructuras casi complejas , la teoría de los espinores y las estructuras CR .

Normalmente, las formas complejas se consideran debido a alguna descomposición deseable que admiten. En una variedad compleja, por ejemplo, cualquier forma k compleja se puede descomponer únicamente en una suma de las llamadas formas ( p ,  q ) : aproximadamente, cuñas de p diferenciales de las coordenadas holomorfas con q diferenciales de sus conjugados complejos. El conjunto de ( p ,  q ) -formas se convierte en el objeto primitivo de estudio y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las k -formas. Existen estructuras aún más finas, por ejemplo, en los casos en que se aplica la teoría de Hodge .

Formas diferenciales en una variedad compleja

Supongamos que M es una variedad compleja de dimensión compleja n . Entonces hay un sistema de coordenadas local que consta de n funciones de valores complejos z ¹ , ..., z ⁿ tales que las transiciones de coordenadas de un parche a otro son funciones holomorfas de estas variables. El espacio de formas complejas conlleva una rica estructura, que depende fundamentalmente del hecho de que estas funciones de transición sean holomorfas, en lugar de simplemente suaves .

formas únicas

Comenzamos con el caso de las formas únicas. Primero descomponga las coordenadas complejas en sus partes reales e imaginarias: z ^j = x ^j + iy ^j para cada j . dejando

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

se ve que cualquier forma diferencial con coeficientes complejos se puede escribir únicamente como una suma

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Sea Ω ^1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo 's y Ω ^0,1 el espacio de formas que contienen solo 's. Se puede demostrar, mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que los espacios Ω ^1,0 y Ω ^0,1 son estables bajo cambios de coordenadas holomorfas. En otras palabras, si uno elige diferente w _i del sistema de coordenadas holomorfas, entonces los elementos de Ω ^1,0 se transforman tensorialmente , al igual que los elementos de Ω ^0,1 . Así, los espacios Ω ^0,1 y Ω ^1,0 determinan haces de vectores complejos en la variedad compleja. ${\displaystyle dz}$ ${\displaystyle d{\bar {z}}}$

Formularios de grado superior

El producto cuña de formas diferenciales complejas se define de la misma manera que con las formas reales. Sean p y q un par de enteros no negativos ≤ n . El espacio Ω ^p,q de ( p ,  q )-formas se define tomando combinaciones lineales de los productos de cuña de p elementos de Ω ^1,0 y q elementos de Ω ^0,1 . Simbólicamente,

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}}$

donde hay p factores de Ω ^1,0 y q factores de Ω ^0,1 . Al igual que con los dos espacios de formas 1, estos son estables ante cambios holomórficos de coordenadas y, por lo tanto, determinan paquetes de vectores.

Si E ^k es el espacio de todas las formas diferenciales complejas de grado total k , entonces cada elemento de E ^k se puede expresar de forma única como una combinación lineal de elementos de entre los espacios Ω ^p,q con p + q = k . Más sucintamente, hay una descomposición de suma directa

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Debido a que esta descomposición de suma directa es estable bajo cambios de coordenadas holomorfas, también determina una descomposición de paquete de vectores.

En particular, para cada k y cada p y q con p + q = k , existe una proyección canónica de paquetes de vectores

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

Los operadores de Dolbeault

La derivada exterior habitual define un mapeo de secciones mediante ${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

La derivada exterior no refleja en sí misma la estructura compleja más rígida de la variedad.

Utilizando d y las proyecciones definidas en el inciso anterior, es posible definir los operadores de Dolbeault :

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Para describir estos operadores en coordenadas locales, sea

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

donde I y J son índices múltiples . Entonces

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Se considera que se cumplen las siguientes propiedades:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

Estos operadores y sus propiedades forman la base de la cohomología de Dolbeault y de muchos aspectos de la teoría de Hodge .

En un dominio en forma de estrella de una variedad compleja, los operadores de Dolbeault tienen operadores de homotopía duales ^[1] que resultan de la división del operador de homotopía para . ^[1] Este es un contenido del lema de Poincaré sobre una variedad compleja. ${\displaystyle d}$

El lema de Poincaré para y se puede mejorar aún más hasta llegar al -lema local , que muestra que cada forma diferencial compleja -exacta es en realidad -exacta. En las variedades compactas de Kähler se mantiene una forma global del -lema local, conocida como -lema . Es una consecuencia de la teoría de Hodge y establece que una forma diferencial compleja que es globalmente exacta (en otras palabras, cuya clase en la cohomología de De Rham es cero) es globalmente exacta. ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Formas holomorfas

Para cada p , una p -forma holomorfa es una sección holomorfa del paquete Ω ^{p ,0} . Entonces, en coordenadas locales, una forma p holomorfa se puede escribir en la forma

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

donde son funciones holomorfas. De manera equivalente, y debido a la independencia del conjugado complejo , la forma ( p , 0) α es holomorfa si y sólo si ${\displaystyle f_{I}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

El haz de formas p holomorfas a menudo se escribe Ω ^p , aunque esto a veces puede generar confusión, por lo que muchos autores tienden a adoptar una notación alternativa.

Ver también

• complejo de dolbeault
• Secuencia espectral de Frölicher
• Diferencial del primer tipo.

Referencias

1. Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, formas antiexactas y oscilador armónico cuántico fermiónico". Resultados en Matemáticas . 75 (3). Sección 4: 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383. S2CID  199472766.

• P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de Geometría Algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interciencia. págs. 23-25. ISBN 0-471-05059-8.
• Pozos, RO (1973). Análisis diferencial sobre variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja I. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521718011.