K-estabilidad

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y algebraica , la K-estabilidad es una condición de estabilidad algebro-geométrica , para variedades complejas y variedades algebraicas complejas . La noción de estabilidad K fue introducida por primera vez por Gang Tian ^[1] y reformulada más algebraicamente más tarde por Simon Donaldson . ^[2] La definición se inspiró en una comparación con la estabilidad de la teoría geométrica invariante (GIT). En el caso especial de las variedades Fano , la estabilidad K caracteriza precisamente la existencia de métricas de Kähler-Einstein . De manera más general, en cualquier variedad compleja compacta, se conjetura que la estabilidad K es equivalente a la existencia de métricas de Kähler de curvatura escalar constante ( métricas cscK ).

Historia

En 1954, Eugenio Calabi formuló una conjetura sobre la existencia de métricas de Kähler en variedades compactas de Kähler , actualmente conocida como conjetura de Calabi . ^[3] Una formulación de la conjetura es que una variedad compacta de Kähler admite una métrica de Kähler-Einstein única en la clase . En el caso particular en el que , dicha métrica de Kähler-Einstein sería plana de Ricci , lo que convertiría a la variedad en una variedad de Calabi-Yau . La conjetura de Calabi fue resuelta en el caso por Thierry Aubin y Shing-Tung Yau , y cuando por Yau. ^{[4] [5] [6]} En el caso en que , es decir, cuando sea una variedad de Fano , no siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. Es decir, se sabía por el trabajo de Yozo Matsushima y André Lichnerowicz que una variedad de Kähler solo puede admitir una métrica de Kähler-Einstein si el álgebra de Lie es reductiva . ^{[7] [8]} Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que la ampliación del plano proyectivo complejo en un punto es Fano, pero no tiene álgebra de Lie reductiva. Por tanto, no todas las variedades de Fano pueden admitir métricas de Kähler-Einstein. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ ${\displaystyle {\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}}$

Después de la resolución de la conjetura de Calabi, la atención se centró en el problema vagamente relacionado de encontrar métricas canónicas en haces de vectores sobre variedades complejas. En 1983, Donaldson produjo una nueva prueba del teorema de Narasimhan-Seshadri . ^[9] Como lo demuestra Donaldson, el teorema establece que un paquete de vectores holomorfos sobre una superficie compacta de Riemann es estable si y sólo si corresponde a una conexión unitaria irreducible de Yang-Mills . Es decir, una conexión unitaria que es un punto crítico del funcionamiento funcional de Yang-Mills. ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} .}$

En una superficie de Riemann, dicha conexión es proyectivamente plana, y su holonomía da lugar a una representación unitaria proyectiva del grupo fundamental de la superficie de Riemann, recuperando así el enunciado original del teorema de MS Narasimhan y CS Seshadri . ^[10] Durante la década de 1980, este teorema se generalizó a través del trabajo de Donaldson, Karen Uhlenbeck y Yau, y Jun Li y Yau a la correspondencia Kobayashi-Hitchin , que relaciona haces de vectores holomórficos estables con conexiones Hermitian-Einstein sobre variedades complejas compactas arbitrarias. ^{[11] [12] [13]} Una observación clave en el contexto de los paquetes de vectores holomorfos es que una vez que se fija una estructura holomorfa, cualquier elección de la métrica hermitiana da lugar a una conexión unitaria, la conexión de Chern . Por tanto, se puede buscar una conexión Hermitiano-Einstein o su correspondiente métrica Hermitiano-Einstein.

Inspirado por la resolución del problema de existencia de métricas canónicas en paquetes de vectores, en 1993 Yau se sintió motivado a conjeturar que la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano debería ser equivalente a alguna forma de condición de estabilidad algebro-geométrica en la variedad misma. , así como la existencia de una métrica de Hermitiano-Einstein en un paquete de vectores holomorfos es equivalente a su estabilidad. Yau sugirió que esta condición de estabilidad debería ser análoga a la estabilidad de pendiente de los haces de vectores. ^[14]

En 1997, Tian sugirió tal condición de estabilidad, a la que llamó estabilidad K en honor a la función de energía K introducida por Toshiki Mabuchi . ^{[1] [15]} La K originalmente significaba cinética debido a la similitud de la energía K funcional con la energía cinética, y el kanonisch alemán significaba paquete canónico . La definición de Tian era de naturaleza analítica y específica del caso de las variedades de Fano. Varios años después, Donaldson introdujo una condición algebraica descrita en este artículo llamada K-estabilidad , que tiene sentido en cualquier variedad polarizada y es equivalente a la definición analítica de Tian en el caso de la variedad polarizada donde está Fano. ^[2] ${\displaystyle (X,-K_{X})}$ ${\displaystyle X}$

Definición

En esta sección trabajamos sobre los números complejos , pero los puntos esenciales de la definición se aplican a cualquier campo. Una variedad polarizada es un par donde es una variedad algebraica compleja y es un haz de líneas amplio en . Esta variedad polarizada viene equipada con una incrustación en el espacio proyectivo utilizando la construcción Proj . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)}$

¿Dónde es cualquier número entero positivo lo suficientemente grande como para ser muy amplio , por lo que toda variedad polarizada es proyectiva ? Cambiar la elección del paquete de líneas amplias da como resultado una nueva incrustación en un espacio proyectivo posiblemente diferente. Por lo tanto, una variedad polarizada puede considerarse como una variedad proyectiva junto con una incrustación fija en algún espacio proyectivo . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{k}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$

Criterio de Hilbert-Mumford

La estabilidad K se define por analogía con el criterio de Hilbert-Mumford de la teoría invariante geométrica de dimensión finita . Esta teoría describe la estabilidad de puntos en variedades polarizadas, mientras que la estabilidad K se refiere a la estabilidad de la variedad polarizada en sí.

El criterio de Hilbert-Mumford muestra que para probar la estabilidad de un punto en una variedad algebraica proyectiva bajo la acción de un grupo algebraico reductivo , basta considerar los subgrupos de un parámetro ( 1-PS ) de . Para continuar, se toma un 1-PS de , digamos , y se mira el punto límite. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}$

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

Este es un punto fijo de la acción del 1-PS , por lo que la línea en el espacio afín se conserva mediante la acción de . Una acción del grupo multiplicativo en un espacio vectorial unidimensional viene con un peso , un número entero que etiquetamos , con la propiedad de que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

para cualquiera en la fibra sobre . El criterio de Hilbert-Mumford dice: ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

• El punto es semiestable si para todos 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• El punto es estable si es para todos 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• El punto es inestable si es por cualquier 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$

Si se desea definir una noción de estabilidad para las variedades, el criterio de Hilbert-Mumford sugiere que basta con considerar las deformaciones de un parámetro de la variedad. Esto lleva a la noción de una configuración de prueba.

Configuraciones de prueba

Las fibras genéricas de una configuración de prueba son todas isomorfas a la variedad X, mientras que la fibra central puede ser distinta e incluso singular.

Una configuración de prueba para una variedad polarizada es un par donde hay un esquema con un morfismo plano y un paquete de líneas relativamente amplio para el morfismo , tal que: ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \pi }$

1. Para cada , el polinomio de Hilbert de la fibra es igual al polinomio de Hilbert de . Esto es una consecuencia de la planitud de . ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \pi }$
2. Hay una acción de on en la familia que cubre la acción estándar de on . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. Para cualquiera (y por tanto para todos) , como variedades polarizadas. En particular, lejos de , la familia es trivial: dónde está la proyección sobre el primer factor. ${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$

Decimos que una configuración de prueba es una configuración de producto si y una configuración trivial si la acción es trivial en el primer factor. ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$

Invariante Donaldson-Futaki

Para definir una noción de estabilidad análoga al criterio de Hilbert-Mumford, se necesita un concepto de peso en la fibra sobre una configuración de prueba para una variedad polarizada . Por definición esta familia viene equipada con una acción de cobertura sobre la base, por lo que la fibra de la configuración de prueba queda fija. Es decir, tenemos una acción de sobre la fibra central . En general esta fibra central no es lisa, ni siquiera variada. Hay varias formas de definir el peso sobre la fibra central. La primera definición se dio utilizando la versión de Ding-Tian del invariante generalizado de Futaki. ^[1] Esta definición es geométrica diferencial y está directamente relacionada con los problemas de existencia en la geometría de Kähler. Las definiciones algebraicas se dieron mediante el uso de invariantes de Donaldson-Futaki y pesos CM definidos mediante la fórmula de intersección. ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$

Por definición, una acción de sobre un esquema polarizado viene con una acción de sobre el paquete de líneas amplias y, por lo tanto, induce una acción sobre los espacios vectoriales para todos los números enteros . Una acción de sobre un espacio vectorial complejo induce una descomposición de suma directa en espacios de peso , donde cada uno es un subespacio unidimensional de , y la acción de cuando se restringe a tiene un peso . Defina el peso total de la acción como un número entero . Esto es lo mismo que el peso de la acción inducida de en el espacio vectorial unidimensional donde . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ ${\displaystyle n=\dim V}$

Defina la función de peso de la configuración de prueba como la función donde está el peso total de la acción en el espacio vectorial para cada entero no negativo . Si bien la función no es un polinomio en general, se convierte en un polinomio de grado para todos para algún número entero fijo , donde . Esto se puede ver utilizando un teorema de Riemann-Roch equivariante. Recuerde que el polinomio de Hilbert satisface la igualdad para todos para algún entero fijo y es un polinomio de grado . Para ello escribamos ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\gg 0}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

El invariante de Donaldson-Futaki de la configuración de la prueba es el número racional ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

En particular, ¿dónde está el término de primer orden en la expansión? ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

El invariante de Donaldson-Futaki no cambia si se reemplaza por una potencia positiva , por lo que en la literatura la estabilidad K a menudo se analiza utilizando paquetes de líneas . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Es posible describir el invariante de Donaldson-Futaki en términos de la teoría de la intersección , y este fue el enfoque adoptado por Tian al definir el peso CM. ^[1] Cualquier configuración de prueba admite una compactación natural ( por ejemplo, ver ^{[16] [17]} ), entonces el peso CM se define por ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

dónde . Esta definición por fórmula de intersección ahora se usa a menudo en geometría algebraica. ${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$

Se sabe que coincide con , por lo que podemos tomar el peso como o . El peso también se puede expresar en términos de la forma Chow e hiperdiscriminante. ^[18] En el caso de las variedades de Fano, existe una interpretación del peso en términos de nueva invariante en las valoraciones encontradas por Chi Li ^[19] y Kento Fujita. ^[20] ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \beta }$

K-estabilidad

Para definir la estabilidad K, primero debemos excluir ciertas configuraciones de prueba. Inicialmente se supuso que uno debería simplemente ignorar las configuraciones de prueba triviales como se definen anteriormente, cuyo invariante Donaldson-Futaki siempre desaparece, pero Li y Xu observaron que se necesita más cuidado en la definición. ^{[21] [22]} Székelyhidi ofrece una forma elegante de definir la estabilidad K utilizando la norma de una configuración de prueba, que describimos primero. ^[23]

Para una configuración de prueba , defina la norma de la siguiente manera. Sea el generador infinitesimal de la acción sobre el espacio vectorial . Entonces . De manera similar a los polinomios y , la función es un polinomio para números enteros suficientemente grandes , en este caso de grado . Escribamos su expansión como ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

La norma de una configuración de prueba está definida por la expresión

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

De acuerdo con la analogía con el criterio de Hilbert-Mumford, una vez que se tiene una noción de deformación (configuración de prueba) y peso sobre la fibra central (invariante de Donaldson-Futaki), se puede definir una condición de estabilidad, llamada K-estabilidad .

Sea una variedad algebraica polarizada. Decimos que es: ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

• K-semiestable si es para todas las configuraciones de prueba para . ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$
• K-estable si es para todas las configuraciones de prueba para y, además, siempre que sea . ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$
• K-polistable si es K-semiestable y, además, siempre que , la configuración de prueba es una configuración de producto. ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K-inestable si no es K-semiestable.

Conjetura de Yau-Tian-Donaldson

La estabilidad K se introdujo originalmente como una condición álgebro-geométrica que debería caracterizar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano. Esto llegó a conocerse como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson (para las variedades de Fano). La conjetura se resolvió en la década de 2010 en trabajos de Xiuxiong Chen , Simon Donaldson y Song Sun , ^{[24] [25] [26] [27] [28] [29]} La estrategia se basa en un método de continuidad con respecto a la ángulo del cono de una métrica de Kähler-Einstein con singularidades de cono a lo largo de un divisor anticanónico fijo, así como un uso en profundidad de la teoría de Cheeger-Colding-Tian de los límites de Gromov-Hausdorff de las variedades de Kähler con límites de Ricci.

Teorema (conjetura de Yau-Tian-Donaldson para las métricas de Kähler-Einstein) : una variedad de Fano admite una métrica de Kähler-Einstein en la clase de si y solo si el par es K-poliestable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle (X,-K_{X})}$

Chen, Donaldson y Sun han alegado que la afirmación de Tian de igual prioridad para la prueba es incorrecta y lo han acusado de mala conducta académica. ^[a] Tian ha cuestionado sus afirmaciones. ^[b] Chen, Donaldson y Sun fueron reconocidos por el prestigioso Premio Veblen 2019 de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas por haber resuelto la conjetura. ^[30] El Premio Breakthrough ha reconocido a Donaldson con el Premio Breakthrough en Matemáticas y a Sun con el Premio Breakthrough New Horizons , en parte basado en su trabajo con Chen sobre la conjetura. ^{[31] [32]}

^{Más recientemente, Ved Datar y Gabor Székelyhidi [33] [34]} proporcionaron una prueba basada en el método de continuidad "clásico", seguida de una prueba de Chen, Sun y Bing Wang utilizando el flujo de Kähler-Ricci. ^[35] Robert Berman, Sébastien Boucksom y Mattias Jonsson también proporcionaron una prueba desde el enfoque variacional. ^[36]

Extensión a las métricas de Kähler de curvatura escalar constante

Se espera que la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se aplique de manera más general a las métricas de cscK sobre variedades arbitrarias polarizadas suaves. De hecho, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se refiere a este escenario más general, siendo el caso de las variedades de Fano un caso especial, que fue conjeturado anteriormente por Yau y Tian. Donaldson se basó en la conjetura de Yau y Tian del caso Fano después de que se introdujo su definición de estabilidad K para variedades polarizadas arbitrarias. ^[2]

Conjetura de Yau-Tian-Donaldson para métricas de curvatura escalar constante : una variedad polarizada suave admite una métrica de Kähler de curvatura escalar constante en la clase de si y solo si el par es K-poliestable. ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

Como se analizó, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se resolvió en el entorno de Fano. Donaldson demostró en 2009 que la conjetura de Yau-Tian-Donaldson es válida para variedades tóricas de dimensión compleja 2. ^{[37] [38] [39]} Para variedades polarizadas arbitrarias, Stoppa lo demostró, utilizando también el trabajo de Arezzo y Pacard. , que la existencia de una métrica cscK implica K-polistabilidad. ^{[40] [41]} Ésta es, en cierto sentido, la dirección fácil de la conjetura, ya que supone la existencia de una solución a una ecuación diferencial parcial difícil y llega al resultado algebraico comparativamente fácil. El desafío importante es demostrar la dirección inversa, que una condición puramente algebraica implica la existencia de una solución para una PDE.

Ejemplos

Curvas suaves

Se sabe desde el trabajo original de Pierre Deligne y David Mumford que las curvas algebraicas suaves son asintóticamente estables en el sentido de la teoría geométrica invariante y, en particular, que son K-estables. ^[42] En este contexto, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson es equivalente al teorema de uniformización . Es decir, toda curva suave admite una métrica de Kähler-Einstein de curvatura escalar constante ya sea en el caso de la recta proyectiva , en el caso de curvas elípticas , o en el caso de superficies compactas de Riemann de género . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle g>1}$

Variedades de fano

El entorno donde es amplio, por lo que es una variedad Fano, es de particular importancia, y en ese entorno se conocen muchas herramientas para verificar la estabilidad K de las variedades Fano. Por ejemplo, utilizando técnicas puramente algebraicas se puede demostrar que todas las hipersuperficies de Fermat ${\displaystyle L=-K_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

son variedades Fano K-estables para . ^{[43] [44] [45]} ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$

Variedades tóricas

La estabilidad K fue introducida originalmente por Donaldson en el contexto de las variedades tóricas . ^[2] En el entorno tórico, muchas de las definiciones complicadas de estabilidad K se simplifican para estar dadas por datos sobre el momento politopo de la variedad tórica polarizada . Primero, se sabe que para probar la estabilidad K, basta con considerar configuraciones de prueba tóricas , donde el espacio total de la configuración de prueba también es una variedad tórica. Cualquier configuración de prueba tórica de este tipo puede describirse elegantemente mediante una función convexa en el politopo de momento, y Donaldson definió originalmente la estabilidad K para tales funciones convexas. Si una configuración de prueba tórica para está dada por una función convexa en , entonces el invariante de Donaldson-Futaki se puede escribir como ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

donde está la medida de Lebesgue en , es la medida canónica en el límite de que surge de su descripción como un politopo de momento (si una arista de está dada por una desigualdad lineal para algún funcional lineal afín h con coeficientes enteros, entonces ), y . Además, la norma de la configuración de prueba puede venir dada por ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$ ${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

donde es el promedio de on con respecto a . ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\mu }$

Donaldson demostró que para superficies tóricas es suficiente probar funciones convexas de forma particularmente simple. Decimos que una función convexa es lineal por partes si puede escribirse como un máximo para algunos funcionales lineales afines . Observe que según la definición de constante , el invariante de Donaldson-Futaki es invariante bajo la adición de un funcional lineal afín, por lo que siempre podemos tomar uno de los como la función constante . Decimos que una función convexa es lineal por partes simple si tiene un máximo de dos funciones, y por lo tanto está dada por para alguna función lineal afín , y lineal por partes racional simple si tiene coeficientes racionales. Donaldson demostró que para superficies tóricas es suficiente probar la estabilidad de K sólo en funciones lineales racionales por partes simples. Este resultado es poderoso en la medida en que es posible calcular fácilmente los invariantes de Donaldson-Futaki de configuraciones de prueba tan simples y, por lo tanto, determinar computacionalmente cuándo una superficie tórica determinada es K-estable. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=\max(0,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Un ejemplo de variedad K-inestable lo da la superficie tórica , la primera superficie de Hirzebruch , que es la explosión del plano proyectivo complejo en un punto, con respecto a la polarización dada por , donde está la explosión y la excepcional. divisor. ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$ ${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$

El momento politopo de la primera superficie de Hirzebruch .

Las medidas en las caras límite horizontal y vertical del politopo son justas y . En la cara diagonal la medida viene dada por . Considere la función convexa en este politopo. Entonces ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle x+y=2}$ ${\displaystyle (dx-dy)/2}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

y

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

De este modo

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

por lo que la primera superficie de Hirzebruch es K-inestable. ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$

Nociones alternativas

Estabilidad de Hilbert y Chow

La estabilidad K surge de una analogía con el criterio de Hilbert-Mumford para la teoría invariante geométrica de dimensión finita. Es posible utilizar la teoría de invariantes geométricas directamente para obtener otras nociones de estabilidad para variedades que están estrechamente relacionadas con la estabilidad K.

Tome una variedad polarizada con polinomio de Hilbert y arregle una que sea muy amplia con una cohomología superior que se desvanece. El par puede entonces identificarse con un punto en el esquema de subesquemas de Hilbert o con el polinomio de Hilbert . ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle (X,L^{r})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$

Este esquema de Hilbert se puede incrustar en el espacio proyectivo como un subesquema de un Grassmanniano (que es proyectivo a través de la incrustación de Plücker ). El grupo lineal general actúa según este esquema de Hilbert, y dos puntos en el esquema de Hilbert son equivalentes si y sólo si las variedades polarizadas correspondientes son isomorfas. Por tanto, se puede utilizar la teoría de invariantes geométricas para esta acción grupal para dar una noción de estabilidad. Esta construcción depende de una elección de , por lo que se dice que una variedad polarizada es asintóticamente estable de Hilbert si es estable con respecto a esta incorporación para todos lo suficientemente grande, para algunos fijos . ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Existe otra incorporación proyectiva del esquema de Hilbert llamada incorporación de Chow, que proporciona una linealización diferente del esquema de Hilbert y, por lo tanto, una condición de estabilidad diferente. Por lo tanto, se puede definir de manera similar la estabilidad de Chow asintótica . Explícitamente, el peso de Chow para un fijo se puede calcular como ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

para lo suficientemente grande. ^[46] A diferencia del invariante de Donaldson-Futaki, el peso de Chow cambia si el paquete de líneas se reemplaza por alguna potencia . Sin embargo, de la expresión ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

uno observa que

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

y entonces la estabilidad K es, en cierto sentido, el límite de la estabilidad de Chow, ya que la dimensión del espacio proyectivo está incrustada en enfoques infinitos. ${\displaystyle X}$

Se pueden definir de manera similar la semiestabilidad asintótica de Chow y la semiestabilidad asintótica de Hilbert, y las diversas nociones de estabilidad se relacionan de la siguiente manera:

Asintóticamente estable de Chow Asintóticamente estable de Hilbert Asintóticamente semiestable de Hilbert Asintóticamente semiestable de Chow K-semistable ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Sin embargo, no se sabe si la estabilidad K implica estabilidad asintótica de Chow. ^[47]

Pendiente K-Estabilidad

Yau predijo originalmente que la noción correcta de estabilidad para variedades debería ser análoga a la estabilidad de pendiente para haces de vectores. Julius Ross y Richard Thomas desarrollaron una teoría de estabilidad de pendientes para variedades, conocida como estabilidad K de pendientes . Ross y Thomas demostraron que cualquier configuración de prueba se obtiene esencialmente ampliando la variedad a lo largo de una secuencia de ideales invariantes, apoyados en la fibra central. ^[47] Este resultado se debe esencialmente a David Mumford. ^[48] ​​Explícitamente, cada configuración de prueba está dominada por una ampliación de un ideal de la forma ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

¿Dónde está la coordenada ? Apoyarse en los ideales equivale a hacer estallar una bandera de subesquemas. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

dentro de la copia de . Esta descomposición se obtiene esencialmente tomando la descomposición espacial de pesos del ideal invariante bajo la acción. ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

En el caso especial en el que esta bandera de subesquemas tiene longitud uno, el invariante de Donaldson-Futaki se puede calcular fácilmente y se llega a la pendiente K-estabilidad. Dado un subesquema definido por una gavilla ideal , la configuración de prueba viene dada por ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle I_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

que es la deformación al cono normal del empotramiento . ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

Si la variedad tiene polinomio de Hilbert , defina la pendiente de como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

Para definir la pendiente del subesquema , considere el polinomio de Hilbert-Samuel del subesquema , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

para y un número racional tal que . Los coeficientes son polinomios en de grado , y la pendiente K de con respecto a está definida por ${\displaystyle r\gg 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle I_{Z}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

Esta definición tiene sentido para cualquier elección de número real donde sea la constante de Seshadri . Observa que tomando recuperamos la pendiente de . El par es pendiente K-semiestable si para todos los subesquemas adecuados , para todos (también se puede definir la pendiente K-estabilidad y la pendiente K-polistabilidad exigiendo que esta desigualdad sea estricta, con algunas condiciones técnicas adicionales). ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ ${\displaystyle \epsilon (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$ ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$

Ross y Thomas demostraron que la semisistabilidad K implica semisemistabilidad K de pendiente. ^[49] Sin embargo, a diferencia del caso de los paquetes de vectores, no se da el caso de que la estabilidad K de la pendiente implique estabilidad K. En el caso de haces de vectores es suficiente considerar sólo subhaces individuales, pero para las variedades es necesario considerar también banderas de longitud mayor que uno. A pesar de esto, la estabilidad K de la pendiente todavía se puede usar para identificar variedades inestables K y, por lo tanto, según los resultados de Stoppa, obstruye la existencia de métricas cscK. Por ejemplo, Ross y Thomas usan la pendiente K-estabilidad para mostrar que la proyectivización de un paquete de vectores inestable sobre una base K-estable es K-inestable y, por lo tanto, no admite una métrica cscK. Esto es lo opuesto a los resultados de Hong, que muestran que la proyectivización de un paquete estable sobre una base que admite una métrica cscK también admite una métrica cscK y, por lo tanto, es K-estable. ^[50]

Filtración K-Estabilidad

El trabajo de Apostolov-Calderbank-Gauduchon-Tønnesen-Friedman muestra la existencia de una variedad que no admite ninguna métrica extrema, pero que no parece desestabilizarse por ninguna configuración de prueba. ^[51] Esto sugiere que la definición de K-estabilidad dada aquí puede no ser lo suficientemente precisa como para implicar la conjetura de Yau-Tian-Donaldson en general. Sin embargo, este ejemplo se ve desestabilizado por un límite de configuraciones de prueba. Esto lo aclaró Székelyhidi , quien introdujo la filtración K-estabilidad . ^{[46] [23]} Una filtración aquí es una filtración del anillo de coordenadas.

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

de la variedad polarizada . Las filtraciones consideradas deben ser compatibles con la clasificación en el anillo de coordenadas en el siguiente sentido: Una filtración de es una cadena de subespacios de dimensión finita ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

tal que se cumplan las siguientes condiciones:

1. La filtración es multiplicativa . Es decir, para todos . ${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$ ${\displaystyle i,j\geq 0}$
2. La filtración es compatible con la clasificación al proceder de las piezas clasificadas . Es decir, si , entonces cada pieza homogénea de está en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle f\in F_{i}R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{i}R}$
3. La filtración se agota . Es decir, tenemos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$

Dada una filtración , su álgebra de Rees se define por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

Decimos que una filtración se genera de forma finita si su álgebra de Rees se genera de forma finita. David Witt Nyström demostró que una filtración se genera de forma finita si y sólo si surge de una configuración de prueba, y Székelyhidi que cualquier filtración es un límite de filtraciones generadas de forma finita. ^[52] Combinando estos resultados, Székelyhidi observó que el ejemplo de Apostolov-Calderbank-Gauduchon-Tønnesen-Friedman no violaría la conjetura de Yau-Tian-Donaldson si la estabilidad del K fuera reemplazada por la estabilidad del K por filtración. Esto sugiere que es posible que sea necesario editar la definición de estabilidad K para tener en cuenta estos ejemplos limitantes.

Ver también

• colector Kähler
• Métrica de Kähler-Einstein
• K-estabilidad de las variedades Fano
• Teoría invariante geométrica
• conjetura de calabí
• Correspondencia Kobayashi-Hitchin
• Curva estable

Referencias

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Notas

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