Superficie de Hirzebruch

Superficie reglada sobre la línea proyectiva

En matemáticas, una superficie de Hirzebruch es una superficie reglada sobre la línea proyectiva . Fue estudiada por Friedrich Hirzebruch  (1951).

Definición

La superficie de Hirzebruch es el fibrado - (un fibrado proyectivo ) sobre la línea proyectiva , asociada al haz La notación aquí significa: es la n -ésima potencia tensorial del haz de torsión de Serre , el haz invertible o fibrado de línea con divisor de Cartier asociado un solo punto. La superficie es isomorfa a ; y es isomorfa al plano proyectivo ampliado en un punto, por lo que no es mínima. ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Cociente GIT

Un método para construir la superficie de Hirzebruch es usando un cociente GIT ^{[1] : 21} donde la acción de está dada por Esta acción puede interpretarse como la acción de sobre los primeros dos factores proviene de la acción de sobre definiendo , y la segunda acción es una combinación de la construcción de una suma directa de fibrados de líneas sobre y su proyectivización. Para la suma directa esto puede ser dado por la variedad de cociente ^{[1] : 24} donde la acción de está dada por Entonces, la proyectivización está dada por otra -acción ^{[1] : 22} enviando una clase de equivalencia a Combinando estas dos acciones se obtiene el cociente original arriba. $${\displaystyle \Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle (\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle \lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle \mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]}$$

Mapas de transición

Una forma de construir este fibrado es mediante el uso de funciones de transición. Dado que los fibrados vectoriales afines son necesariamente triviales, sobre los gráficos de definidos por existe el modelo local del fibrado. Luego, los mapas de transición, inducidos a partir de los mapas de transición de dan el mapa que envía donde es la función de coordenadas afines en . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U_{0},U_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$ $${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}}$$ $${\displaystyle (X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Propiedades

Paquetes proyectivos de rango 2 sobre P1

Nótese que por el teorema de Grothendieck , para cualquier fibrado vectorial de rango 2 en hay números tales que Como tomando el fibrado proyectivo es invariante bajo tensoramiento por un fibrado lineal, ^[3] la superficie reglada asociada a es la superficie de Hirzebruch ya que este fibrado puede ser tensorado por . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).}$$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}$ ${\displaystyle \Sigma _{b-a}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-a)}$

Isomorfismos de superficies de Hirzebruch

En particular, la observación anterior da un isomorfismo entre y puesto que existe el isomorfismo de los fibrados vectoriales ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{-n}}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}}$$

Análisis del álgebra simétrica asociada

Recordemos que los fibrados proyectivos se pueden construir utilizando Relative Proj , que se forma a partir del haz graduado de álgebras Los primeros módulos simétricos son especiales ya que hay un módulo antisimétrico no trivial . Estos haces se resumen en la tabla Para los haces simétricos se dan por $${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{i}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{0}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\\\operatorname {Sym} ^{1}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\\\operatorname {Sym} ^{2}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-2n)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i>2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{k}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathcal {O}}^{\otimes (n-i)}\otimes {\mathcal {O}}(-in)\\&\cong {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-kn)\end{aligned}}}$$

Teoría de la intersección

Las superficies de Hirzebruch para n > 0 tienen una curva racional especial C sobre ellas: La superficie es el fibrado proyectivo de y la curva C es la sección cero . Esta curva tiene número de autointersección − n , y es la única curva irreducible con número de autointersección negativo. Las únicas curvas irreducibles con número de autointersección cero son las fibras de la superficie de Hirzebruch (considerada como un fibrado sobre ). El grupo de Picard es generado por la curva C y una de las fibras, y estos generadores tienen matriz de intersección por lo que la forma bilineal es unimodular bidimensional, y es par o impar dependiendo de si n es par o impar. La superficie de Hirzebruch Σ _n ( n > 1 ) expandida en un punto sobre la curva especial C es isomorfa a Σ _{n +1} expandida en un punto que no está sobre la curva especial. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},}$$

Variedad tórica

A la superficie de Hirzebruch se le puede dar una acción del toro complejo , con uno actuando sobre la base con dos puntos de eje fijos, y el otro actuando sobre las fibras del fibrado vectorial , específicamente sobre el primer componente del fibrado lineal, y por lo tanto sobre el fibrado proyectivo. Esto produce una órbita abierta de T , lo que da lugar a una variedad tórica . Su abanico asociado divide la red estándar en cuatro conos (cada uno correspondiente a un gráfico de coordenadas), separados por los rayos a lo largo de los cuatro vectores: ^[4] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (1,0),(0,1),(0,-1),(-1,n).}$

Toda la teoría anterior se generaliza a variedades tóricas arbitrarias, incluida la construcción de la variedad como cociente y mediante gráficos de coordenadas, así como la teoría de intersección explícita.

Cualquier superficie tórica lisa, excepto T, se puede construir inflando repetidamente una superficie de Hirzebruch en puntos fijos en T. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Véase también

• Haz proyectivo

Referencias

1. Manetti, Marco (14 de julio de 2005). "Conferencias sobre deformaciones de variedades complejas". arXiv : math/0507286 .
2. Gathmann, Andreas. «Geometría algebraica» (PDF) . Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern .
3. "Sección 27.20 (02NB): Torsión por haces invertibles y proyección relativa: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 23 de mayo de 2020 .
4. Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Henry K. (2011). Variedades tóricas . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence (RI): Sociedad matemática estadounidense. p. 112. ISBN 978-0-8218-4819-7.
5. Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Henry K. (2011). Variedades tóricas . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence (RI): Sociedad matemática americana. p. 496. ISBN 978-0-8218-4819-7.

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, Sr. 1406314
• Hirzebruch, Friedrich (1951), "Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen , 124 : 77–86, doi : 10.1007/BF01343552, hdl : 21.11116/0000-0004-3A56-B ,  0025-5831, señor  0045384, S2CID  122844063

Enlaces externos

• Atlas de colectores
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://matoverflow.net/q/122952