Haz proyectivo

Haz de fibras cuyas fibras son espacios proyectivos

En matemáticas , un haz proyectivo es un haz de fibras cuyas fibras son espacios proyectivos .

Por definición, un esquema X sobre un esquema noetheriano S es un fibrado P ⁿ si es localmente un n -espacio proyectivo; es decir, y los automorfismos de transición son lineales. Sobre un esquema regular S como una variedad suave , cada fibrado proyectivo es de la forma para algún fibrado vectorial ( haz localmente libre ) E . ^[1] ${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

El fibrado proyectivo de un fibrado vectorial

Todo fibrado vectorial sobre una variedad X da un fibrado proyectivo tomando los espacios proyectivos de las fibras, pero no todos los fibrados proyectivos surgen de esta manera: hay una obstrucción en el grupo de cohomología H ² ( X ,O*). Para ver por qué, recordemos que un fibrado proyectivo viene equipado con funciones de transición en intersecciones dobles de una cubierta abierta adecuada. En superposiciones triples, cualquier elevación de estas funciones de transición satisface la condición de cociclo hasta una función invertible. La colección de estas funciones forma un 2-cociclo que se desvanece en H ² ( X ,O*) solo si el fibrado proyectivo es la proyectivización de un fibrado vectorial. En particular, si X es una superficie compacta de Riemann, entonces H ² ( X ,O*)=0, y por lo tanto esta obstrucción se desvanece.

El fibrado proyectivo de un fibrado vectorial E es lo mismo que el fibrado de Grassmann de 1-planos en E . ${\displaystyle G_{1}(E)}$

El fibrado proyectivo P ( E ) de un fibrado vectorial E se caracteriza por la propiedad universal que dice: ^[2]

Dado un morfismo f : T → X , factorizar f a través de la función de proyección p : P ( E ) → X es especificar un subfibrado lineal de f ^* E .

Por ejemplo, tomando f como p , se obtiene el subfibrado lineal O (-1) de p ^* E , llamado fibrado lineal tautológico en P ( E ). Además, este O (-1) es un fibrado universal en el sentido de que cuando un fibrado lineal L da una factorización f = p ∘ g , L es el pullback de O (-1) a lo largo de g . Véase también Cone# O (1) para una construcción más explícita de O (-1).

En P ( E ), hay una secuencia exacta natural (llamada secuencia exacta tautológica):

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

donde Q se llama fibrado cociente tautológico.

Sean E ⊂ F fibrados vectoriales (haces localmente libres de rango finito) en X y G = F / E . Sea q : P ( F ) → X la proyección. Entonces la función natural O (-1) → q ^* F → q ^* G es una sección global del haz hom Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1) . Además, esta función natural se anula en un punto exactamente cuando el punto es una línea en E ; en otras palabras, el lugar geométrico cero de esta sección es P ( E ).

Un ejemplo particularmente útil de esta construcción es cuando F es la suma directa E ⊕ 1 de E y el fibrado lineal trivial (es decir, el haz de estructura). Entonces P ( E ) es un hiperplano en P ( E ⊕ 1), llamado hiperplano en el infinito, y el complemento de P ( E ) puede identificarse con E . De esta manera, P ( E ⊕ 1) se conoce como la compleción proyectiva (o "compactificación") de E .

El fibrado proyectivo P ( E ) es estable bajo torsión E por un fibrado lineal; precisamente, dado un fibrado lineal L , existe el isomorfismo natural:

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

de modo que ^[3] (De hecho, se obtiene g mediante la propiedad universal aplicada al fibrado de líneas de la derecha). ${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$

Ejemplos

Se pueden encontrar muchos ejemplos no triviales de fibrados proyectivos utilizando fibraciones como las fibraciones de Lefschetz. Por ejemplo, una superficie elíptica K3 es una superficie K3 con una fibración ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

de manera que las fibras para son curvas genéricamente elípticas. Como cada curva elíptica es una curva de género 1 con un punto distinguido, existe una sección global de la fibración. Debido a esta sección global, existe un modelo de dar un morfismo al fibrado proyectivo ^[4] ${\displaystyle E_{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

definido por la ecuación de Weierstrass

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

donde representan las coordenadas locales de , respectivamente, y los coeficientes ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

son secciones de haces en . Nótese que esta ecuación está bien definida porque cada término en la ecuación de Weierstrass tiene grado total (es decir, el grado del coeficiente más el grado del monomio. Por ejemplo, ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$

Anillo de cohomología y grupo de Chow

Sea X una variedad proyectiva suave compleja y E un fibrado vectorial complejo de rango r sobre ella. Sea p : P ( E ) → X el fibrado proyectivo de E . Entonces el anillo de cohomología H ^* ( P ( E )) es un álgebra sobre H ^* ( X ) a través del pullback p ^* . Entonces la primera clase de Chern ζ = c ₁ ( O (1)) genera H ^* ( P ( E )) con la relación

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

donde c _i ( E ) es la i -ésima clase de Chern de E . Una característica interesante de esta descripción es que se pueden definir las clases de Chern como los coeficientes de la relación; este es el enfoque adoptado por Grothendieck.

En cuerpos distintos del cuerpo complejo, la misma descripción sigue siendo válida con el anillo de Chow en lugar del anillo de cohomología (aún suponiendo que X es suave). En particular, para los grupos de Chow, existe la descomposición de suma directa

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

Al final resultó que esta descomposición sigue siendo válida incluso si X no es suave ni proyectiva. ^[5] Por el contrario, A _k ( E ) = A _{k - r} ( X ), a través del homomorfismo de Gysin , moralmente porque las fibras de E , los espacios vectoriales, son contráctiles.

Véase también

• Proyecto de construcción
• cono (geometría algebraica)
• superficie reglada (un ejemplo de fibrado proyectivo)
• Variedad Severi-Brauer
• Superficie de Hirzebruch

Referencias

1. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejercicio 7.10. (c).
2. Hartshorne 1977, Cap. II, Proposición 7.12.
3. Hartshorne 1977, Cap. II, Lema 7.9.
4. Propp, Oron Y. (22 de mayo de 2019). "Construcción de espectros K3 explícitos". arXiv : 1810.08953 [math.AT].
5. Fulton 1998, Teorema 3.3.

• Elencwajg, G.; Narasimhan, MS (1983), "Haces proyectivos en un toro complejo", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1983 (340): 1–5, doi :10.1515/crll.1983.340.1, ISSN  0075-4102, MR  0691957 , S2CID  122557310
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157