En matemáticas , específicamente en geometría algebraica y topología algebraica , el teorema del hiperplano de Lefschetz es un enunciado preciso de ciertas relaciones entre la forma de una variedad algebraica y la forma de sus subvariedades. Más precisamente, el teorema dice que para una variedad X incrustada en el espacio proyectivo y una sección de hiperplano Y , los grupos de homología , cohomología y homotopía de X determinan los de Y. Solomon Lefschetz fue el primero en establecer un resultado de este tipo para grupos de homología de variedades algebraicas complejas. Desde entonces se han encontrado resultados similares para grupos de homotopía, en características positivas y en otras teorías de homología y cohomología.
El teorema de descomposición proporciona una generalización de gran alcance del teorema duro de Lefschetz .
Sea X una variedad algebraica proyectiva compleja de n dimensiones en CP N , y sea Y una sección de hiperplano de X tal que U = X ∖ Y es suave. El teorema de Lefschetz se refiere a cualquiera de los siguientes enunciados: [1] [2]
Utilizando una secuencia larga y exacta , se puede demostrar que cada una de estas afirmaciones es equivalente a un teorema evanescente para ciertas invariantes topológicas relativas. En orden, estos son:
Solomon Lefschetz [3] utilizó su idea del lápiz Lefschetz para demostrar el teorema. En lugar de considerar solo la sección del hiperplano Y , la colocó en una familia de secciones del hiperplano Y t , donde Y = Y 0 . Debido a que una sección de hiperplano genérica es suave, todos menos un número finito de Y t son variedades suaves. Después de eliminar estos puntos del plano t y hacer un número finito adicional de rendijas, la familia resultante de secciones de hiperplano es topológicamente trivial. Es decir, es un producto de un Y t genérico con un subconjunto abierto del plano t . Por lo tanto, X puede entenderse si se comprende cómo se identifican las secciones de hiperplano a través de las rendijas y en los puntos singulares. Lejos de los puntos singulares, la identificación se puede describir de forma inductiva. En los puntos singulares, el lema de Morse implica que existe una elección de sistema de coordenadas para X de una forma particularmente simple. Este sistema de coordenadas se puede utilizar para demostrar el teorema directamente. [4]
Aldo Andreotti y Theodore Frankel [5] reconocieron que el teorema de Lefschetz podría reformularse utilizando la teoría Morse . [6] Aquí el parámetro t desempeña el papel de una función Morse. La herramienta básica en este enfoque es el teorema de Andreotti-Frankel , que establece que una variedad afín compleja de dimensión compleja n (y por lo tanto de dimensión real 2 n ) tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión (real) n . Esto implica que los grupos de homología relativa de Y en X son triviales en grado menor que n . La larga secuencia exacta de homología relativa da el teorema.
Ni la prueba de Lefschetz ni la prueba de Andreotti y Frankel implican directamente el teorema del hiperplano de Lefschetz para grupos de homotopía. René Thom encontró un enfoque que sí lo hace a más tardar en 1957 y fue simplificado y publicado por Raoul Bott en 1959. [7] Thom y Bott interpretan Y como el lugar geométrico de fuga en X de una sección de un conjunto de líneas. Una aplicación de la teoría Morse a esta sección implica que X puede construirse a partir de Y uniendo celdas de dimensión no más. De esto se deduce que los grupos de homología relativa y homotopía de Y en X se concentran en grados n y superiores, lo que produce el teorema.
Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer descubrieron que, bajo ciertas restricciones, es posible demostrar un teorema de tipo Lefschetz para los grupos de Hodge H p , q . Específicamente, supongamos que Y es suave y que el conjunto de líneas es amplio. Entonces el mapa de restricción H p , q ( X ) → H p , q ( Y ) es un isomorfismo si p + q < n − 1 y es inyectivo si p + q = n − 1 . [8] [9] Según la teoría de Hodge, estos grupos de cohomología son iguales a los grupos de cohomología de la gavilla y . Por lo tanto, el teorema se deriva de aplicar el teorema de desaparición de Akizuki-Nakano y utilizar una secuencia larga y exacta.
La combinación de esta prueba con el teorema del coeficiente universal casi produce el teorema habitual de Lefschetz para la cohomología con coeficientes en cualquier campo de característica cero. Sin embargo, es ligeramente más débil debido a los supuestos adicionales sobre Y.
Michael Artin y Alexander Grothendieck encontraron una generalización del teorema del hiperplano de Lefschetz al caso en el que los coeficientes de la cohomología no se encuentran en un campo sino en un haz construible . Demuestran que para una gavilla construible F en una variedad afín U , los grupos de cohomología desaparecen siempre que . [10]
La motivación detrás de la prueba de Artin y Grothendieck para haces construibles fue dar una prueba que pudiera adaptarse al entorno de la cohomología étale y -adic. Hasta algunas restricciones sobre las gavillas construibles, el teorema de Lefschetz sigue siendo válido para gavillas construibles en característica positiva.
El teorema también se puede generalizar a la homología de intersección . En este contexto, el teorema es válido para espacios muy singulares.
Un teorema de tipo Lefschetz también es válido para los grupos de Picard . [11]
Sea X una variedad proyectiva compleja no singular de n dimensiones en . Luego, en el anillo de cohomología de X , el producto k veces con la clase de cohomología de un hiperplano da un isomorfismo entre y .
Este es el teorema duro de Lefschetz , bautizado en francés por Grothendieck más coloquialmente como Théorème de Lefschetz vache . [12] [13] Implica inmediatamente la parte de inyectividad del teorema del hiperplano de Lefschetz.
De hecho, el duro teorema de Lefschetz es válido para cualquier variedad compacta de Kähler , con el isomorfismo en la cohomología de De Rham dado por la multiplicación por una potencia de la clase de la forma de Kähler. Puede fallar en variedades que no son de Kähler: por ejemplo, las superficies de Hopf tienen segundos grupos de cohomología que desaparecen, por lo que no existe un análogo de la segunda clase de cohomología de una sección de hiperplano.
Pierre Deligne (1980) demostró el teorema duro de Lefschetz para la cohomología -ádica de variedades proyectivas suaves sobre campos algebraicamente cerrados de característica positiva .
