Métrica de Bergman

En geometría diferencial , la métrica de Bergman es una métrica hermítica que se puede definir en ciertos tipos de variedades complejas . Se llama así porque se deriva del núcleo de Bergman , ambos llamados así en honor a Stefan Bergman .

Definición

Sea un dominio y sea el núcleo de Bergman en G . Definimos una métrica hermítica en el fibrado tangente por ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle K(z,w)}$ ${\displaystyle T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z),}$

para . Entonces la longitud de un vector tangente está dada por ${\displaystyle z\in G}$ ${\displaystyle \xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{j}}}.}$

Esta métrica se llama métrica de Bergman en G.

La longitud de una curva C 1 (por partes) se calcula entonces como ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt.}$

La distancia entre dos puntos se define entonces como ${\displaystyle d_{G}(p,q)}$ ${\displaystyle p,q\in G}$

${\displaystyle d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ all piecewise }}C^{1}{\text{ curves }}\gamma {\text{ such that }}\gamma (0)=p{\text{ and }}\gamma (1)=q\}.}$

La distancia d _G se llama distancia de Bergman .

La métrica de Bergman es, de hecho, una matriz definida positiva en cada punto si G es un dominio acotado. Más importante aún, la distancia d _G es invariante bajo aplicaciones biholomórficas de G a otro dominio . Es decir, si f es un biholomorfismo de G y , entonces . ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))}$

Referencias

• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

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