En matemáticas , particularmente en geometría algebraica , análisis complejo y teoría algebraica de números , una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico , es decir, tiene una ley de grupo que puede definirse por funciones regulares . Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y herramientas indispensables para la investigación sobre otros temas en geometría algebraica y teoría de números.
Una variedad abeliana puede definirse mediante ecuaciones que tengan coeficientes en cualquier cuerpo ; entonces se dice que la variedad está definida sobre ese cuerpo. Históricamente, las primeras variedades abelianas que se estudiaron fueron aquellas definidas sobre el cuerpo de los números complejos . Dichas variedades abelianas resultan ser exactamente aquellos toros complejos que pueden incrustarse holomorfamente en un espacio proyectivo complejo .
Las variedades abelianas definidas sobre cuerpos numéricos algebraicos son un caso especial, que es importante también desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización conducen naturalmente de las variedades abelianas definidas sobre cuerpos numéricos a las definidas sobre cuerpos finitos y varios cuerpos locales . Dado que un cuerpo numérico es el cuerpo fraccionario de un dominio de Dedekind , para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind, existe una función del dominio de Dedekind al cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un cuerpo finito para todos los primos finitos. Esto induce una función del cuerpo fraccionario a cualquier cuerpo finito de ese tipo. Dada una curva con ecuación definida sobre el cuerpo numérico, podemos aplicar esta función a los coeficientes para obtener una curva definida sobre algún cuerpo finito, donde las opciones de cuerpo finito corresponden a los primos finitos del cuerpo numérico.
Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conexos de cero en las variedades de Picard ) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad es no singular . Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen dimensión Kodaira 0.
A principios del siglo XIX, la teoría de funciones elípticas logró sentar las bases para la teoría de integrales elípticas , lo que dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar de las integrales elípticas implicaban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos . Cuando se las reemplazaba por polinomios de grado superior, por ejemplo, polinomios de quinto grado , ¿qué sucedía?
En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi se formuló la respuesta: esto implicaría funciones de dos variables complejas , con cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto dio el primer atisbo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica de género 2 .
Después de Abel y Jacobi, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré y Picard . El tema era muy popular en la época y ya contaba con una amplia literatura.
A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas. Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de las funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece ser el primero en utilizar el nombre de "variedad abeliana". Fue André Weil en la década de 1940 quien le dio a la materia sus fundamentos modernos en el lenguaje de la geometría algebraica.
Hoy en día, las variedades abelianas constituyen una herramienta importante en la teoría de números, en los sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de los sistemas hamiltonianos ) y en la geometría algebraica (especialmente las variedades de Picard y las variedades albanesas ).
Un toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2 g que lleva la estructura de una variedad compleja . Siempre se puede obtener como el cociente de un espacio vectorial complejo de dimensión g por una red de rango 2 g . Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que también es una variedad algebraica proyectiva sobre el cuerpo de números complejos. Al invocar el teorema de incrustación de Kodaira y el teorema de Chow , se puede definir de manera equivalente una variedad abeliana compleja de dimensión g como un toro complejo de dimensión g que admite un fibrado lineal positivo. Dado que son toros complejos, las variedades abelianas llevan la estructura de un grupo . Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que conserva el elemento identidad para la estructura del grupo. Una isogenia es un morfismo finito a uno.
Cuando un toro complejo tiene la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso , la noción de variedad abeliana es la misma que la de curva elíptica , y todo toro complejo da lugar a una curva de este tipo; ya que se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.
El siguiente criterio de Riemann decide si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si puede o no ser incrustado en un espacio proyectivo. Sea X un toro g -dimensional dado como donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es una red en V . Entonces X es una variedad abeliana si y solo si existe una forma hermítica definida positiva en V cuya parte imaginaria toma valores enteros en . Tal forma en X generalmente se llama forma de Riemann (no degenerada) . Eligiendo una base para V y L , uno puede hacer esta condición más explícita. Hay varias formulaciones equivalentes de esto; todas ellas se conocen como las condiciones de Riemann.
Cada curva algebraica C de género está asociada con una variedad abeliana J de dimensión g , por medio de una función analítica de C en J . Como toro, J lleva una estructura de grupo conmutativa , y la imagen de C genera a J como grupo. Más exactamente, J está cubierto por : [1] cualquier punto en J proviene de una g -tupla de puntos en C . El estudio de las formas diferenciales en C , que dan lugar a las integrales abelianas con las que comenzó la teoría, se puede derivar de la teoría más simple e invariante a la traslación de las diferenciales en J . La variedad abeliana J se llama variedad jacobiana de C , para cualquier curva no singular C sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría biracional , su campo de funciones es el campo fijo del grupo simétrico sobre g letras que actúan sobre el campo de funciones de .
Una función abeliana es una función meromórfica de una variedad abeliana, que puede considerarse, por tanto, como una función periódica de n variables complejas, que tiene 2 n periodos independientes; de manera equivalente, es una función en el cuerpo de funciones de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX hubo mucho interés en las integrales hiperelípticas que pueden expresarse en términos de integrales elípticas. Esto se reduce a preguntar si J es un producto de curvas elípticas, hasta una isogenia.
Un teorema de estructura importante de las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka . Este afirma que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cada variedad abeliana es el cociente del jacobiano de alguna curva; es decir, existe alguna sobreyección de variedades abelianas donde es un jacobiano. Este teorema sigue siendo válido si el cuerpo base es infinito. [2]
Se utilizan habitualmente dos definiciones equivalentes de variedad abeliana sobre un cuerpo general k :
Cuando la base es el cuerpo de los números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. Sobre todas las bases, las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1.
A principios de los años 1940, Weil utilizó la primera definición (sobre un cuerpo base arbitrario), pero al principio no pudo demostrar que implicaba la segunda. Recién en 1948 demostró que los grupos algebraicos completos pueden ser incorporados en el espacio proyectivo. Mientras tanto, para que la prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos que había anunciado en 1940 funcionara, tuvo que introducir la noción de variedad abstracta y reescribir los fundamentos de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin incorporaciones proyectivas (véase también la sección de historia en el artículo Geometría algebraica ).
Según las definiciones, una variedad abeliana es una variedad de grupo. Se puede demostrar que su grupo de puntos es conmutativo .
Para el cuerpo , y por lo tanto por el principio de Lefschetz para cada cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, el grupo de torsión de una variedad abeliana de dimensión g es isomorfo a . Por lo tanto, su parte de n -torsión es isomorfa a , es decir, el producto de 2 g copias del grupo cíclico de orden n .
Cuando el cuerpo base es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p , la n -torsión sigue siendo isomorfa a cuando n y p son coprimos . Cuando n y p no son coprimos, se puede recuperar el mismo resultado siempre que se lo interprete como que la n -torsión define un esquema de grupo plano finito de rango 2 g . Si en lugar de observar la estructura completa del esquema en la n -torsión, se consideran solo los puntos geométricos, se obtiene un nuevo invariante para variedades en característica p (el llamado p -rango cuando ).
El grupo de puntos k -racionales para un cuerpo global k se genera finitamente mediante el teorema de Mordell-Weil . Por lo tanto, mediante el teorema de estructura para grupos abelianos generados finitamente , es isomorfo a un producto de un grupo abeliano libre y un grupo conmutativo finito para algún entero no negativo r llamado rango de la variedad abeliana. Se obtienen resultados similares para algunas otras clases de cuerpos k .
El producto de una variedad abeliana A de dimensión m y una variedad abeliana B de dimensión n sobre el mismo cuerpo es una variedad abeliana de dimensión . Una variedad abeliana es simple si no es isógena a un producto de variedades abelianas de menor dimensión. Cualquier variedad abeliana es isógena a un producto de variedades abelianas simples.
A una variedad abeliana A sobre un cuerpo k , se le asocia una variedad abeliana dual (sobre el mismo cuerpo), que es la solución del siguiente problema de módulos . Una familia de fibrados lineales de grado 0 parametrizados por una k -variedad T se define como un fibrado lineal L en tal que
Entonces hay una variedad y una familia de fibrados lineales de grado 0 P , el fibrado de Poincaré, parametrizado por tal que a una familia L en T se le asocia un morfismo único de modo que L es isomorfo al pullback de P a lo largo del morfismo . Aplicando esto al caso en que T es un punto, vemos que los puntos de corresponden a fibrados lineales de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural sobre dada por el producto tensorial de fibrados lineales, lo que lo convierte en una variedad abeliana.
Esta asociación es una dualidad en el sentido de que es functorial contravariante , es decir, asocia a todos los morfismos morfismos duales de manera compatible, y hay un isomorfismo natural entre el doble dual y (definido mediante el fibrado de Poincaré). La n -torsión de una variedad abeliana y la n -torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas de grupo de n- torsiones de variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.
Una polarización de una variedad abeliana es una isogenia de una variedad abeliana a su dual que es simétrica con respecto a la doble dualidad para variedades abelianas y para la cual el pullback del fibrado de Poincaré a lo largo del morfismo de grafo asociado es amplio (por lo que es análoga a una forma cuadrática definida positiva). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos de automorfismos finitos . Una polarización principal es una polarización que es un isomorfismo. Los jacobianos de curvas están naturalmente equipados con una polarización principal tan pronto como uno elige un punto base racional arbitrario en la curva, y la curva puede reconstruirse a partir de su jacobiano polarizado cuando el género es . No todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son jacobianos de curvas; véase el problema de Schottky . Una polarización induce una involución de Rosati en el anillo de endomorfismo de A .
Sobre los números complejos, una variedad abeliana polarizada puede definirse como una variedad abeliana A junto con una elección de una forma de Riemann H . Dos formas de Riemann y se denominan equivalentes si hay números enteros positivos n y m tales que . Una elección de una clase de equivalencia de formas de Riemann en A se denomina polarización de A ; sobre el número complejo esto es equivalente a la definición de polarización dada anteriormente. Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo de variedades abelianas tal que el pullback de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A .
También se puede definir un esquema de variedades abelianas -teóricamente y en relación con una base . Esto permite un tratamiento uniforme de fenómenos como la reducción mod p de variedades abelianas (véase Aritmética de variedades abelianas ), y familias de parámetros de variedades abelianas. Un esquema abeliano sobre un esquema base S de dimensión relativa g es un esquema de grupo suave y propio sobre S cuyas fibras geométricas están conectadas y de dimensión g . Las fibras de un esquema abeliano son variedades abelianas, por lo que se podría pensar en un esquema abeliano sobre S como una familia de variedades abelianas parametrizadas por S .
Para un esquema abeliano , el grupo de n puntos de torsión forma un esquema de grupo plano finito . La unión de los puntos de torsión, para todo n , forma un grupo p-divisible . Las deformaciones de los esquemas abelianos están regidas, según el teorema de Serre-Tate , por las propiedades de deformación de los grupos p -divisibles asociados.
Sea tal que no tiene raíces complejas repetidas. Entonces el discriminante es distinto de cero. Sea , por lo que es un subesquema abierto de . Entonces es un esquema abeliano sobre . Puede extenderse a un modelo de Néron sobre , que es un esquema de grupo suave sobre , pero el modelo de Néron no es propio y, por lo tanto, no es un esquema abeliano sobre .
Viktor Abrashkin [3] y Jean-Marc Fontaine [4] demostraron de forma independiente que no existen variedades abelianas distintas de cero sobre con buena reducción en todos los primos. De forma equivalente, no existen esquemas abelianos distintos de cero sobre . La prueba implica mostrar que las coordenadas de los puntos de torsión generan cuerpos numéricos con muy poca ramificación y, por lo tanto, de discriminante pequeño, mientras que, por otro lado, existen límites inferiores en los discriminantes de los cuerpos numéricos. [5]
Una variedad semiabeliana es una variedad de grupo conmutativo que es una extensión de una variedad abeliana por un toro . [6]
![{\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db78c7c6981e8b96dff61f40dc4ea0ff1c3275e3)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}zx^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc22d0899e4d3075856d76d5e49ee05953a56c92)
