Grupo Picard

Grupo matemático que se presenta en la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas.

En matemáticas , el grupo de Picard de un espacio anillado X , denotado por Pic( X ), es el grupo de clases de isomorfismo de haces invertibles (o fibrados lineales ) en X , siendo la operación de grupo el producto tensorial . Esta construcción es una versión global de la construcción del grupo de clases divisorias, o grupo de clases ideales , y se utiliza mucho en geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas .

Alternativamente, el grupo de Picard se puede definir como el grupo de cohomología de haces.

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

Para los esquemas integrales, el grupo de Picard es isomorfo al grupo de clases de divisores de Cartier . Para las variedades complejas, la sucesión de haces exponenciales proporciona información básica sobre el grupo de Picard.

El nombre proviene de las teorías de Émile Picard , en particular de los divisores en superficies algebraicas .

Ejemplos

• El grupo de Picard del espectro de un dominio de Dedekind es su grupo de clase ideal .
• Las haces invertibles en el espacio proyectivo P ⁿ ( k ) para un campo k , son las haces torsionantes por lo que el grupo de Picard de P ⁿ ( k ) es isomorfo a Z . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$
• El grupo de Picard de la línea afín con dos orígenes sobre k es isomorfo a Z.
• El grupo de Picard del espacio afín complejo -dimensional : , de hecho, la secuencia exponencial produce la siguiente secuencia larga y exacta en cohomología ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

y como ^[1] tenemos porque es contráctil, entonces y podemos aplicar el isomorfismo de Dolbeault para calcular mediante el lema de Dolbeault-Grothendieck . ${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$

Esquema de Picard

La construcción de una estructura de esquema sobre ( versión representable de functor) el grupo de Picard, el esquema de Picard , es un paso importante en la geometría algebraica, en particular en la teoría de dualidad de variedades abelianas . Fue construido por Grothendieck (1962), y también descrito por Mumford (1966) y Kleiman (2005).

En los casos de mayor importancia para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa no singular V sobre un cuerpo de característica cero, el componente conexo de la identidad en el esquema de Picard es una variedad abeliana llamada variedad de Picard y denotada Pic ⁰ ( V ). El dual de la variedad de Picard es la variedad albanesa , y en el caso particular donde V es una curva, la variedad de Picard es naturalmente isomorfa a la variedad jacobiana de V . Sin embargo, para cuerpos de característica positiva, Igusa construyó un ejemplo de una superficie proyectiva suave S con Pic ⁰ ( S ) no reducida y, por lo tanto, no una variedad abeliana .

El cociente Pic( V )/Pic ⁰ ( V ) es un grupo abeliano finitamente generado denotado NS( V ), el grupo de Néron-Severi de V . En otras palabras, el grupo de Picard encaja en una secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

El hecho de que el rango de NS( V ) sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi ; el rango es el número de Picard de V , a menudo denotado ρ( V ). Geométricamente, NS( V ) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V ; es decir, utilizando una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de la equivalencia lineal de divisores , la clasificación se vuelve susceptible de invariantes discretos. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica , una clasificación esencialmente topológica por números de intersección .

Esquema relativo de Picard

Sea f : X → S un morfismo de esquemas . El funtor de Picard relativo (o esquema de Picard relativo si es un esquema) viene dado por: ^[2] para cualquier S -esquema T ,

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

donde es el cambio de base de f y f _T ^* es el retroceso. ${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$

Decimos que una L tiene grado r si para cualquier punto geométrico s → T el retroceso de L a lo largo de s tiene grado r como un haz invertible sobre la fibra X _s (cuando el grado está definido para el grupo de Picard de X _s ). ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$ ${\displaystyle s^{*}L}$

Véase también

• Cohomología de gavillas
• Variedad de Chow
• Divisor de Cartier
• Haz de líneas holomorfo
• Grupo de clase ideal
• Grupo de clase de Arakelov
• Pila de grupos
• Categoría Picard

Notas

1. Cohomología de haces#Cohomología de haces con coeficientes constantes
2. Kleiman 2005, Definición 9.2.2.

Referencias

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: año 1961/62, exposiciones 223-240, núm. 7, Charla no. 232, págs. 143-161
• Grothendieck, A. (1962), VI. Los esquemas de Picard. Propiedades generales, Séminaire Bourbaki, t. 14: año 1961/62, exposiciones 223-240, núm. 7, Charla no. 236, págs. 221-243
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Igusa, Jun-Ichi (1955), "Sobre algunos problemas en geometría algebraica abstracta", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 41 (11): 964–967, Bibcode :1955PNAS...41..964I, doi : 10.1073/pnas.41.11.964 , PMC  534315 , PMID  16589782
• Kleiman, Steven L. (2005), "El esquema de Picard", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode :2005math......4020K, MR  2223410
• Mumford, David (1966), Lecciones sobre curvas en una superficie algebraica , Anales de estudios matemáticos, vol. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, MR  0209285, OCLC  171541070
• Mumford, David (1970), Variedades abelianas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290