Cohomología de Dolbeault

En matemáticas , en particular en geometría algebraica y geometría diferencial , la cohomología de Dolbeault (llamada así en honor a Pierre Dolbeault ) es un análogo de la cohomología de De Rham para variedades complejas . Sea M una variedad compleja. Entonces los grupos de cohomología de Dolbeault dependen de un par de números enteros p y q y se realizan como un subcociente del espacio de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$

Construcción de los grupos de cohomología.

Sea Ω ^{p , q} el paquete vectorial de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). En el artículo sobre formas complejas , el operador Dolbeault se define como un operador diferencial en tramos lisos.

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1}}$

Desde

${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$

este operador tiene alguna cohomología asociada . Específicamente, defina la cohomología como el espacio cociente

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$

Cohomología de Dolbeault de haces de vectores

Si E es un paquete de vectores holomorfos en una variedad compleja X , entonces se puede definir igualmente una resolución fina del haz de secciones holomorfas de E , utilizando el operador Dolbeault de E. Por lo tanto, esta es una resolución de la cohomología de la gavilla de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

En particular, asociado a la estructura holomorfa de hay un operador Dolbeault que toma secciones de to -forms con valores en . Esto satisface la regla característica de Leibniz con respecto al operador de Dolbeault en formas diferenciales y, por lo tanto, a veces se lo conoce como una conexión en . Por lo tanto, de la misma manera que una conexión en un paquete de vectores se puede extender a la derivada covariante exterior , la El operador Dolbeault de se puede ampliar a un operador. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E)}$$

${\displaystyle \alpha \otimes s\in \Omega ^{p,q}(E)}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(\alpha \otimes s)=({\bar {\partial }}\alpha )\otimes s+(-1)^{p+q}\alpha \wedge {\bar {\partial }}_{E}s}$$

la cohomología de Dolbeault con coeficientes en ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(X,(E,{\bar {\partial }}_{E}))={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E))}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q-1}(E)\to \Omega ^{p,q}(E))}}.}$$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Lema de Dolbeault-Grothendieck

Para establecer el isomorfismo de Dolbeault necesitamos probar el lema de Dolbeault-Grothendieck (o lema de -Poincaré ). Primero demostramos una versión unidimensional del lema de -Poincaré; Usaremos la siguiente forma generalizada de la representación integral de Cauchy para funciones suaves : ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Proposición : Dejemos que la bola abierta centrada en de radio se abra y , luego ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

Lema ( lema de -Poincaré en el plano complejo): Sea como antes y con una forma suave, entonces ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$ ${\displaystyle \alpha =fd{\bar {z}}\in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}$

satisface en ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}g}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0).}$

Prueba. Nuestra afirmación es que lo definido anteriormente es una función suave bien definida y . Para mostrar esto elegimos un punto y una vecindad abierta , luego podemos encontrar una función suave cuyo soporte es compacto y se encuentra en y Luego podemos escribir ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha =f\,d{\bar {z}}={\bar {\partial }}g}$ ${\displaystyle z\in B_{\varepsilon }(0)}$ ${\displaystyle z\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$ ${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$ ${\displaystyle \rho |_{V}\equiv 1.}$

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

y definir

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}.}$

Ya que en luego queda claramente bien definido y suave; notamos eso ${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&=\pi ^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f_{1}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta dr,\end{aligned}}}$

que de hecho está bien definido y es fluido, por lo tanto, lo mismo ocurre con . Ahora lo mostramos en . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}g=\alpha }$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

ya que es holomorfo en . ${\displaystyle (\xi -z)^{-1}}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)\setminus V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\frac {\partial f_{1}(z+re^{i\theta })}{\partial {\bar {z}}}}e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\Big (}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {z}}}}{\Big )}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}\end{aligned}}}$

aplicando la fórmula generalizada de Cauchy encontramos ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}}$

desde entonces , pero luego . Como era arbitrario, el lema ahora está demostrado. ${\displaystyle f_{1}|_{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$ ${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle z}$

Prueba del lema de Dolbeault-Grothendieck

Ahora estamos listos para demostrar el lema de Dolbeault-Grothendieck; la prueba aquí presentada se debe a Grothendieck . ^{[1] [2]} Denotamos con el polidisco abierto centrado con radio . ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$

Lema (Dolbeault-Grothendieck): Sea donde esté abierto y tal que , entonces existe lo que satisface: en ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q}(U)}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}}\subseteq U}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).}$

Antes de comenzar la demostración, observamos que cualquier forma se puede escribir como ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar {z}}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{I}\right)_{J}\wedge d{\bar {z}}_{J}}$

para índices múltiples , por lo tanto podemos reducir la prueba al caso . ${\displaystyle I,J,|I|=p,|J|=q}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$

Prueba. Sea el índice más pequeño tal que en el haz de módulos, procedamos por inducción en . Porque lo hemos hecho desde entonces ; a continuación suponemos que si entonces existe tal que en . Luego suponga y observe que podemos escribir ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle \omega \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k+1})}$

${\displaystyle \omega =d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu ,\qquad \psi ,\mu \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}).}$

Como está cerrado, se deduce que son holomórficos en las variables y suaves en las restantes del polidisco . Además, podemos aplicar el lema de -Poincaré a las funciones suaves en la bola abierta , por lo que existe una familia de funciones suaves que satisfacen ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \psi ,\mu }$ ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon _{k+1}}(0)}$ ${\displaystyle g_{J}}$

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle g_{J}}$también son holomorfos en . Definir ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}:=\sum _{J}g_{J}d{\bar {z}}_{J}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}d{\bar {z}}_{k+1}\wedge d{\bar {z}}_{J}+\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=\mu +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}),\end{aligned}}}$

por lo tanto podemos aplicarle la hipótesis de inducción, existe tal que ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$

${\displaystyle \omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}={\bar {\partial }}\eta \quad {\text{on}}\quad \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

y finaliza el paso de inducción. QED ${\displaystyle \zeta :=\eta +{\tilde {\psi }}}$

El lema anterior se puede generalizar admitiendo polidiscos con para algunos de los componentes del poliradio. ${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\infty }$

Lema (Dolbeault-Grothendieck ampliado). Si es un polidisco abierto con y , entonces ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \mathbb {R} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0))=0.}$

Prueba. Consideramos dos casos: y . ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$

Caso 1. Sea , y cubrimos con polidiscos , luego por el lema de Dolbeault-Grothendieck podemos encontrar formas de bigrado en abierto tales que ; queremos mostrar eso ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subset \Delta _{i+1}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle (p,q-1)}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{i}}={\bar {\partial }}\beta _{i}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}|_{\Delta _{i}}=\beta _{i}.}$

Procedemos por inducción sobre : ​​el caso cuando se cumple el lema anterior. Deje que la afirmación sea cierta y tómela con ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle \Delta _{k+1}}$

${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta _{i}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Delta _{k}}}\subset \Delta _{k+1}.}$

Luego encontramos una forma definida en una vecindad abierta de tal que . Sea una vecindad abierta de then on y podemos aplicar nuevamente el lema de Dolbeault-Grothendieck para encontrar una forma tal que on . Ahora, sea un conjunto abierto con una función suave tal que: ${\displaystyle (p,q-1)}$ ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$ ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta _{k+1}}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle (p,q-2)}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}\subset V_{k}\subsetneq U_{k}}$ ${\displaystyle \rho _{k}:\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho |_{V_{k}}=1,\qquad \rho _{k}|_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\setminus U_{k}}=0.}$

Entonces es una forma suave y bien definida en la que se satisface ${\displaystyle \rho _{k}\gamma _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

${\displaystyle \beta _{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}}\quad \Delta _{k},}$

de ahí la forma

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})}$

satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1}|_{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

Caso 2. Si por el contrario no podemos aplicar el lema de Dolbeault-Grothendieck dos veces; tomamos y como antes, queremos demostrar que ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$

${\displaystyle \left\|\left.\left({\beta _{i}}_{I}-{\beta _{i+1}}_{I}\right)\right|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-i}.}$

Nuevamente procedemos por inducción sobre : porque la respuesta la da el lema de Dolbeault-Grothendieck. A continuación suponemos que la afirmación es cierta para . Tomamos tal que cubre , entonces podemos encontrar una forma tal que ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle \Delta _{k+1}\supset {\overline {\Delta _{k}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{k+1}\cup \lbrace \Delta _{i}\rbrace _{i=1}^{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle (p,0)}$ ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$

${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta '_{k+1},}$

que también satisface en , es decir, es una forma holomorfa dondequiera que se defina, por lo tanto, según el teorema de Stone-Weierstrass podemos escribirla como ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$ ${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{|I|=p}(P_{I}+r_{I})dz_{I}}$

donde estan los polinomios y ${\displaystyle P_{I}}$

${\displaystyle \left\|r_{I}|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-k},}$

pero luego la forma

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{|I|=p}P_{I}dz_{I}}$

satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\\\left\|({\beta _{k}}_{I}-{\beta _{k+1}}_{I})|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }&=\|r_{I}\|_{\infty }<2^{-k}\end{aligned}}}$

que completa el paso de inducción; por lo tanto, hemos construido una secuencia que converge uniformemente a alguna forma tal que . QED ${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (p,0)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}={\bar {\partial }}\beta }$

teorema de dolbeault

El teorema de Dolbeault es un análogo complejo ^[3] del teorema de De Rham . Afirma que la cohomología de Dolbeault es isomorfa a la cohomología del haz de formas diferenciales holomorfas. Específicamente,

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

¿Dónde está el haz de formas p holomorfas en M ? ${\displaystyle \Omega ^{p}}$

Una versión del teorema de Dolbeault también es válida para la cohomología de Dolbeault con coeficientes en un paquete de vectores holomórficos . Es decir, uno tiene un isomorfismo. ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(M,E)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p}\otimes E).}$$

También se ha establecido una versión para formas logarítmicas . ^[4]

Prueba

Sea el fino haz de formas de tipo . Entonces el lema de -Poincaré dice que la secuencia ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

es exacto. Como cualquier secuencia larga y exacta, esta secuencia se divide en secuencias cortas y exactas. Las largas secuencias exactas de cohomología correspondientes a estas dan como resultado, una vez que se usan, que las cohomologías superiores de una gavilla fina desaparecen.

Ejemplo explícito de cálculo

La cohomología de Dolbeault del espacio proyectivo complejo de dimensiones es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})={\begin{cases}\mathbb {C} &p=q\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Aplicamos el siguiente hecho bien conocido de la teoría de Hodge :

${\displaystyle H_{\rm {dR}}^{k}\left(P_{\mathbb {C} }^{n},\mathbb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})}$

porque es una variedad compleja de Kähler compacta . Entonces y ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle b_{2k+1}=0}$

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq q}h^{p,q}=1.}$

Además sabemos que es Kähler, y dónde está la forma fundamental asociada a la métrica del Estudio Fubini (que de hecho es Kähler), por lo tanto y cuando sea que arroje el resultado. ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h^{k,k}=1}$ ${\displaystyle h^{p,q}=0}$ ${\displaystyle p\neq q,}$

Ver también

• dualidad serre
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema , que describe el potencial de una forma diferencial exacta en el entorno de variedades compactas de Kähler . ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Notas a pie de página

1. Serre, Jean-Pierre (1953-1954), "Faisceaux analytiques sur l'espace projectif", Séminaire Henri Cartan , 6 (Charla n.° 18): 1-10
2. "Cálculo de variedades complejas". Varias variables complejas y variedades complejas II . 1982, págs. 1–64. doi :10.1017/CBO9780511629327.002. ISBN 9780521288880.
3. A diferencia de la cohomología de De Rham, la cohomología de Dolbeault ya no es una invariante topológica porque depende estrechamente de una estructura compleja.
4. Navarro Aznar, Vicente (1987), "Sur la théorie de Hodge–Deligne", Inventiones Mathematicae , 90 (1): 11–76, Bibcode :1987InMat..90...11A, doi :10.1007/bf01389031, S2CID  122772976, Sección 8

Referencias

• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 236 : 175–277.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial de variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.
• Armado, Robert C. (1990). Introducción a las funciones holomorfas de varias variables, volumen 1 . Chapman y Hall/CRC. pag. 198.ISBN​ 9780534133085.
• Griffiths, Phillip ; Harris, José (2014). Principios de Geometría Algebraica . John Wiley e hijos. pag. 832.ISBN​ 9781118626320.