Relación de equivalencia adecuada

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una relación de equivalencia adecuada es una relación de equivalencia sobre ciclos algebraicos de variedades proyectivas suaves que se utiliza para obtener una teoría que funcione bien de dichos ciclos y, en particular, productos de intersección bien definidos . Pierre Samuel formalizó el concepto de relación de equivalencia adecuada en 1958. ^[1] Desde entonces, se ha vuelto central para la teoría de motivos. Para cada relación de equivalencia adecuada, se puede definir la categoría de motivos puros con respecto a esa relación.

Las relaciones de equivalencia adecuadas posibles (y útiles) incluyen la equivalencia racional , algebraica , homológica y numérica . Se denominan "adecuadas" porque la división por la relación de equivalencia es funcional , es decir, el avance (con cambio de codimensión) y el retroceso de los ciclos están bien definidos. Los ciclos de codimensión 1 módulo equivalencia racional forman el grupo clásico de divisores módulo equivalencia lineal. Todos los ciclos módulo equivalencia racional forman el anillo de Chow .

Definición

Sea Z ^* ( X ) := Z [ X ] el grupo abeliano libre sobre los ciclos algebraicos de X . Entonces una relación de equivalencia adecuada es una familia de relaciones de equivalencia , ~ _X sobre Z ^* ( X ), una para cada variedad proyectiva suave X , que satisface las tres condiciones siguientes:

1. (Linealidad) La relación de equivalencia es compatible con la adición de ciclos.
2. ( Lema móvil ) Si hay ciclos en X , entonces existe un ciclo tal que ~ _X y se interseca adecuadamente. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$ ${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \beta }$
3. (Empujar hacia adelante) Sean y ciclos tales que se intersecan correctamente. Si ~ _X 0, entonces ~ _Y 0, donde es la proyección. ${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$ ${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \times Y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$ ${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$

El ciclo de avance en el último axioma a menudo se denota

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

Si es el gráfico de una función , entonces esto se reduce al avance de la función. Las generalizaciones de funciones de X a Y a ciclos en X × Y se conocen como correspondencias . El último axioma nos permite avanzar ciclos mediante una correspondencia. ${\displaystyle \beta }$

Ejemplos de relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia más comunes, ordenadas de más fuerte a más débil, se recogen en la siguiente tabla.

Notas

1. Samuel, Pierre (1958), "Relations d'équivalence en géométrie algébrique" (PDF) , Proc. ICM , Universidad de Cambridge. Prensa: 470–487, archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2017 , consultado el 22 de julio de 2015
2. André, Yves (2004), Une introducción aux motivos (motivos purs, motivos mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, Sr.  2115000
3. Voevodsky, V. (1995), "Un teorema de nilpotencia para ciclos algebraicamente equivalentes a 0", Int. Math. Res. Notices , 4 : 1–12
4. André, Yves (2004), Une introducción aux motivos (motivos purs, motivos mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, Sr.  2115000

Referencias

• Kleiman, Steven L. (1972), "Motivos", en Oort, F. (ed.), Geometría algebraica, Oslo 1970 (Proc. Quinta Escuela Nórdica de Verano en Matemáticas, Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff, págs. 53–82, MR  0382267
• Jannsen, U. (2000), "Relaciones de equivalencia en ciclos algebraicos", Aritmética y geometría de ciclos algebraicos, NATO, 200 , Kluwer Ac. Publ. Co.: 225–260