Paquete tautológico

En matemáticas , el fibrado tautológico es un fibrado vectorial que se presenta sobre un Grassmanniano de forma tautológica natural: para un Grassmanniano de subespacios -dimensionales de , dado un punto en el Grassmanniano correspondiente a un subespacio vectorial -dimensional , la fibra sobre es el propio subespacio . En el caso del espacio proyectivo, el fibrado tautológico se conoce como fibrado lineal tautológico. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

El fibrado tautológico también se denomina fibrado universal , ya que cualquier fibrado vectorial (sobre un espacio compacto ^[1] ) es un pullback del fibrado tautológico; es decir, un Grassmanniano es un espacio de clasificación para fibrados vectoriales. Por ello, el fibrado tautológico es importante en el estudio de las clases características .

Los fibrados tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el fibrado lineal tautológico (como haz invertible ) es

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

el dual del fibrado hiperplano o haz tortuoso de Serre . El fibrado hiperplano es el fibrado lineal correspondiente al hiperplano ( divisor ) en . El fibrado lineal tautológico y el fibrado hiperplano son exactamente los dos generadores del grupo de Picard del espacio proyectivo. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En la "teoría K" de Michael Atiyah , el fibrado lineal tautológico sobre un espacio proyectivo complejo se denomina fibrado lineal estándar . El fibrado esférico del fibrado estándar se denomina habitualmente fibrado de Hopf (véase el generador de Bott).

De manera más general, también hay fibrados tautológicos en un fibrado proyectivo de un fibrado vectorial así como en un fibrado de Grassmann .

El término más antiguo "haz canónico" ha caído en desuso debido a que canónico ya está muy sobrecargado en la terminología matemática y (lo que es peor) la confusión con la clase canónica en geometría algebraica apenas podría evitarse.

Definición intuitiva

Los grassmannianos son por definición los espacios de parámetros para subespacios lineales , de una dimensión dada, en un espacio vectorial dado . Si es un grassmanniano, y es el subespacio de correspondiente a en , esto ya es casi el dato requerido para un fibrado vectorial: es decir, un espacio vectorial para cada punto , que varía continuamente. Todo lo que puede detener la definición del fibrado tautológico a partir de esta indicación, es la dificultad de que los se van a intersecar. Arreglar esto es una aplicación rutinaria del dispositivo de unión disjunta , de modo que la proyección del fibrado sea de un espacio total formado por copias idénticas de los , que ahora no se intersecan. Con esto, tenemos el fibrado. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle V_{g}}$

Se incluye el caso del espacio proyectivo. Por convención, puede resultar útil llevar el fibrado tautológico en el sentido del espacio dual . Es decir, con el espacio dual, los puntos de llevan los subespacios vectoriales de que son sus núcleos, cuando se consideran como (rayos de) funcionales lineales en . Si tiene dimensión , el fibrado lineal tautológico es un fibrado tautológico, y el otro, recién descrito, es de rango . ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Definición formal

Sea el Grassmanniano de subespacios vectoriales de n -dimensionalidad en como un conjunto es el conjunto de todos los subespacios vectoriales de n -dimensionalidad de Por ejemplo, si n = 1, es el k -espacio proyectivo real. ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$

Definimos el fibrado tautológico γ _{n , k} sobre lo siguiente. El espacio total del fibrado es el conjunto de todos los pares ( V , v ) que consisten en un punto V del Grassmanniano y un vector v en V ; se le da la topología del subespacio del producto cartesiano . La función de proyección π se da por π( V , v ) = V . Si F es la preimagen de V bajo π, se le da una estructura de un espacio vectorial por a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Finalmente, para ver la trivialidad local, dado un punto X en el Grassmanniano, sea U el conjunto de todos los V tales que la proyección ortogonal p sobre X mapea a V isomorfamente sobre X , ^[3] y luego definamos ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}$

lo cual es claramente un homeomorfismo. Por lo tanto, el resultado es un fibrado vectorial de rango n .

La definición anterior sigue teniendo sentido si la reemplazamos por el campo complejo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Por definición, el Grassmanniano infinito es el límite directo de como Tomando el límite directo de los fibrados γ _{n , k} da el fibrado tautológico γ _n de Es un fibrado universal en el sentido: para cada espacio compacto X , hay una biyección natural ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle k\to \infty .}$ ${\displaystyle G_{n}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

donde a la izquierda el corchete significa clase de homotopía y a la derecha el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales reales de rango n . La función inversa se da de la siguiente manera: dado que X es compacto, cualquier fibrado vectorial E es un subfibrado de un fibrado trivial: para algún k y por lo tanto E determina una función ${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

único hasta la homotopía.

Observación : A su vez, se puede definir un fibrado tautológico como un fibrado universal; supongamos que existe una biyección natural

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

para cualquier espacio paracompacto X . Como es el límite directo de los espacios compactos, es paracompacto y por lo tanto hay un único fibrado vectorial sobre que corresponde a la función identidad en Es precisamente el fibrado tautológico y, por restricción, se obtienen los fibrados tautológicos sobre todos los ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}.}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

Paquete de hiperplanos

El fibrado hiperplano H en un k -espacio proyectivo real se define de la siguiente manera. El espacio total de H es el conjunto de todos los pares ( L , f ) que consisten en una línea L que pasa por el origen en y f un funcional lineal en L . La función de proyección π está dada por π( L , f ) = L (de modo que la fibra sobre L es el espacio vectorial dual de L ). El resto es exactamente como el fibrado de líneas tautológico. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$

En otras palabras, H es el fibrado dual del fibrado lineal tautológico.

En geometría algebraica, el fibrado hiperplano es el fibrado lineal (como haz invertible ) correspondiente al divisor hiperplano.

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

Dado, por ejemplo, x ₀ = 0, cuando x _i son las coordenadas homogéneas . Esto se puede ver de la siguiente manera. Si D es un divisor (Weil) en uno, define el fibrado lineal correspondiente O ( D ) en X por ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

donde K es el campo de funciones racionales en X . Tomando D como H , tenemos:

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

donde x ₀ se considera, como es habitual, como una sección global del haz tortuoso O (1). (De hecho, el isomorfismo anterior es parte de la correspondencia habitual entre divisores de Weil y divisores de Cartier). Finalmente, el dual del haz tortuoso corresponde al fibrado lineal tautológico (véase más abajo).

Filo de líneas tautológico en geometría algebraica

En geometría algebraica, esta noción existe sobre cualquier cuerpo k . La definición concreta es la siguiente. Sean y . Nótese que tenemos: ${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

donde Spec es Spec relativo . Ahora, ponga:

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

donde I es el haz ideal generado por las secciones globales . Entonces L es un subesquema cerrado de sobre el mismo esquema base ; además, los puntos cerrados de L son exactamente aquellos ( x , y ) de tales que o bien x es cero o bien la imagen de x en es y . Por lo tanto, L es el fibrado lineal tautológico como se definió antes si k es el cuerpo de números reales o complejos. ${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En términos más concisos, L es la explosión del origen del espacio afín , donde el lugar geométrico x = 0 en L es el divisor excepcional . (cf. Hartshorne, Cap. I, final del § 4.) ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$

En general, es el fibrado vectorial algebraico correspondiente a un haz localmente libre E de rango finito. ^[4] Dado que tenemos la secuencia exacta: ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

El fibrado lineal tautológico L , tal como se definió anteriormente, corresponde al dual del haz tortuoso de Serre . En la práctica, ambas nociones (fibrado lineal tautológico y dual del haz tortuoso) se utilizan indistintamente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$

Sobre un cuerpo, su fibrado lineal dual es el fibrado lineal asociado al divisor hiperplano H , cuyas secciones globales son las formas lineales . Su clase de Chern es − H . Este es un ejemplo de fibrado lineal antiamplificado . Sobre esto es equivalente a decir que es un fibrado lineal negativo, es decir que menos su clase de Chern es la clase de Rham de la forma estándar de Kähler. ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Hechos

• El fibrado lineal tautológico γ _{1, k} es localmente trivial pero no trivial , para k ≥ 1. Esto sigue siendo cierto en otros campos. ^{[ cita requerida ]}

De hecho, es sencillo demostrar que, para k = 1, el fibrado lineal tautológico real no es otro que el conocido fibrado cuyo espacio total es la banda de Möbius . Para una prueba completa del hecho anterior, véase ^{[5] .}

• El grupo de Picard de fibrados lineales en es cíclico infinito , y el fibrado lineal tautológico es un generador. ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

• En el caso del espacio proyectivo, donde el fibrado tautológico es un fibrado lineal , el haz invertible de secciones asociado es , el inverso tensorial ( es decir , el fibrado vectorial dual) del fibrado hiperplano o haz de torsión de Serre ; en otras palabras, el fibrado hiperplano es el generador del grupo de Picard que tiene grado positivo (como divisor ) y el fibrado tautológico es su opuesto: el generador de grado negativo. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Véase también

• Paquete de Hopf
• Clase Stiefel-Whitney
• secuencia de Euler
• Clase de Chern (las clases de Chern de fibrados tautológicos son los generadores algebraicamente independientes del anillo de cohomología del Grassmanniano infinito).
• Teorema de Borel
• Espacio de Thom (los espacios de Thom de fibrados tautológicos γ _n cuando n →∞ se denominan espectro de Thom ).
• Paquete Grassmann

Referencias

1. Sobre una base no compacta pero paracompacta, esto sigue siendo cierto siempre que se utilice un Grassmanniano infinito.
2. En la literatura y en los libros de texto, a ambos se les suele llamar generadores canónicos.
3. U está abierto ya que se le da una topología tal que ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$

   ${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}}$

   donde es la proyección ortogonal sobre V , es un homeomorfismo sobre la imagen. ${\displaystyle p_{V}}$
4. Nota editorial: esta definición difiere de la de Hartshorne en que él no toma dualidad, pero es consistente con la práctica estándar y las otras partes de Wikipedia.
5. Milnor y Stasheff 1974, §2. Teorema 2.1.

Fuentes

• Atiyah, Michael Francis (1989), Teoría K , Advanced Book Classics (2.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, Sr.  1043170
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica (PDF) , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052.
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Anales de estudios matemáticos, vol. 76, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, MR  0440554
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica: un diccionario conciso , Berlín/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3