Proyecto de construcción

Análogo proyectivo del espectro de un anillo

En geometría algebraica , Proj es una construcción análoga a la construcción del espectro de un anillo de esquemas afines , que produce objetos con las propiedades típicas de los espacios proyectivos y las variedades proyectivas . La construcción, aunque no es funcional , es una herramienta fundamental en la teoría de esquemas .

En este artículo, se supondrá que todos los anillos son conmutativos y con identidad.

Proyecto de un anillo graduado

Proyecto como un conjunto

Sea un anillo graduado conmutativo , donde es la descomposición en suma directa asociada con la gradación. El ideal irrelevante de es el ideal de elementos de grado positivo Decimos que un ideal es homogéneo si es generado por elementos homogéneos. Entonces, como un conjunto, Para abreviar, a veces escribiremos para . ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proyección como espacio topológico

Podemos definir una topología , llamada topología de Zariski , definiendo los conjuntos cerrados como aquellos de la forma ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

donde es un ideal homogéneo de . Como en el caso de los esquemas afines se verifica rápidamente que forman los conjuntos cerrados de una topología en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle X}$

En efecto, si somos una familia de ideales, entonces tenemos y si el conjunto de indexación I es finito, entonces ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ ${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

De manera equivalente, podemos tomar los conjuntos abiertos como punto de partida y definir

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

Una forma abreviada habitual es denotar por , donde es el ideal generado por . Para cualquier ideal , los conjuntos y son complementarios y, por lo tanto, la misma prueba que antes muestra que los conjuntos forman una topología en . La ventaja de este enfoque es que los conjuntos , donde abarca todos los elementos homogéneos del anillo , forman una base para esta topología, que es una herramienta indispensable para el análisis de , así como el hecho análogo para el espectro de un anillo es igualmente indispensable. ${\displaystyle D(Sf)}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle Sf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proyecto como esquema

También construimos un haz sobre , llamado el “haz de estructura” como en el caso afín, que lo convierte en un esquema . Como en el caso de la construcción Spec hay muchas maneras de proceder: la más directa, que también es muy sugerente de la construcción de funciones regulares sobre una variedad proyectiva en geometría algebraica clásica, es la siguiente. Para cualquier conjunto abierto de (que es por definición un conjunto de ideales primos homogéneos de que no contienen ) definimos el anillo como el conjunto de todas las funciones ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(donde denota el subanillo del anillo de fracciones que consiste en fracciones de elementos homogéneos del mismo grado) tal que para cada ideal primo de : ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle S_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$es un elemento de ; ${\displaystyle S_{(p)}}$
2. Existe un subconjunto abierto que contiene elementos homogéneos de del mismo grado tal que para cada ideal primo de : ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$no esta en ; ${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

De la definición se deduce inmediatamente que la forma es un haz de anillos en , y se puede demostrar que el par ( , ) es de hecho un esquema (esto se logra mostrando que cada uno de los subconjuntos abiertos es de hecho un esquema afín). ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle D(f)}$

La gavilla asociada a un módulo graduado

La propiedad esencial de para la construcción anterior era la capacidad de formar localizaciones para cada ideal primo de . Esta propiedad también la posee cualquier módulo graduado sobre , y por lo tanto, con las modificaciones menores apropiadas, la sección precedente construye para cualquier haz de este tipo, denotado , de -módulos en . Este haz es cuasicoherente por construcción. Si se genera por un número finito de elementos de grado (por ejemplo, un anillo polinomial o un cociente homogéneo de este), todos los haces cuasicoherentes en surgen de módulos graduados por esta construcción. ^[1] El módulo graduado correspondiente no es único. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

La gavilla retorcida de Serre

Un caso particular del haz asociado a un módulo graduado es cuando tomamos como s mismo con una graduación diferente: es decir, dejamos que los elementos de grado de sean los elementos de grado de , por lo que y denotamos . Obtenemos entonces como un haz cuasicoherente en , denotado o simplemente , llamado el haz tortuoso de Serre . Se puede comprobar que es de hecho un haz invertible . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$ ${\displaystyle M=S(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Una razón de la utilidad de es que recupera la información algebraica de que se perdió cuando, en la construcción de , pasamos a fracciones de grado cero. En el caso Spec A para un anillo A , las secciones globales del haz de estructura forman A en sí, mientras que las secciones globales de aquí forman solo los elementos de grado cero de . Si definimos ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

entonces cada uno contiene la información de grado sobre , denotada , y tomadas en conjunto contienen toda la información de calificación que se perdió. De la misma manera, para cualquier haz de módulos calificados definimos ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

y esperamos que este haz “retorcido” contenga información de calificación sobre . En particular, si es el haz asociado a un módulo graduado, esperamos asimismo que contenga información de calificación perdida sobre . Esto sugiere, aunque erróneamente, que de hecho se puede reconstruir a partir de estos haces; como sin embargo, esto es cierto en el caso de que sea un anillo polinomial, a continuación. Esta situación debe contrastarse con el hecho de que el funtor spec es adjunto al funtor de secciones globales en la categoría de espacios anillados localmente . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$$ ${\displaystyle S}$

Descriptivonorte-espacio

Si es un anillo, definimos el n -espacio proyectivo como el esquema ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

La gradación en el anillo polinómico se define haciendo que cada uno tenga grado uno y cada elemento de , grado cero. Comparando esto con la definición de , anterior, vemos que las secciones de son de hecho polinomios homogéneos lineales, generados por ellos mismos. Esto sugiere otra interpretación de , a saber, como el haz de “coordenadas” para , ya que son literalmente las coordenadas para el espacio proyectivo . ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplos de Proyectos

Proyección sobre la línea afín

Si dejamos que el anillo base sea , entonces tiene un morfismo proyectivo canónico hacia la recta afín cuyas fibras son curvas elípticas excepto en los puntos donde las curvas degeneran en curvas nodales. Por lo tanto, hay una fibración que es también un morfismo suave de esquemas (lo que se puede comprobar utilizando el criterio jacobiano ). ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$ $${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$ ${\displaystyle \lambda =0,1}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$

Hipersuperficies proyectivas y variedades

La hipersuperficie proyectiva es un ejemplo de una tripleta de Fermat de quinto grado que también es una variedad de Calabi-Yau . Además de las hipersuperficies proyectivas, cualquier variedad proyectiva recortada por un sistema de polinomios homogéneos en variables se puede convertir en un esquema proyectivo utilizando la construcción proj para el álgebra graduada, lo que da una incrustación de variedades proyectivas en esquemas proyectivos. ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$ $${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$

Espacio proyectivo ponderado

Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando un anillo polinómico cuyas variables tienen grados no estándar. Por ejemplo, el espacio proyectivo ponderado corresponde a tomar el anillo donde tienen peso mientras que tiene peso 2. ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Anillos bigrados

La construcción proy se extiende a anillos bigrados y multigrados. Geométricamente, esto corresponde a tomar productos de esquemas proyectivos. Por ejemplo, dados los anillos graduados con el grado de cada generador . Entonces, el producto tensorial de estas álgebras sobre da el álgebra bigrado donde tienen peso y tienen peso . Entonces la construcción proy da que es un producto de esquemas proyectivos. Hay una incrustación de tales esquemas en el espacio proyectivo al tomar el álgebra graduada total donde un elemento de grado se considera como un elemento de grado. Esto significa que la -ésima pieza graduada de es el módulo Además, el esquema ahora viene con haces bigrados que son el producto tensorial de los haces donde y son las proyecciones canónicas que provienen de las inyecciones de estas álgebras del diagrama de producto tensorial de álgebras conmutativas. $${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ $${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$ $${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a+b)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{\bullet }}$ $${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$ ${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$ $${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$ $${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

Proyecto Global

Una generalización de la construcción Proj reemplaza el anillo S por un haz de álgebras y produce, como resultado, un esquema que podría considerarse como una fibración de Proj de anillos. Esta construcción se utiliza a menudo, por ejemplo, para construir fibrados espaciales proyectivos sobre un esquema base .

Suposiciones

Formalmente, sea X cualquier esquema y S un haz de -álgebras graduadas (cuya definición es similar a la definición de -módulos en un espacio anillado localmente ): es decir, un haz con una descomposición en suma directa ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

donde cada uno es un -módulo tal que para cada subconjunto abierto U de X , S ( U ) es un -álgebra y la descomposición de suma directa resultante ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

es una gradación de esta álgebra como un anillo. Aquí suponemos que . Hacemos la suposición adicional de que S es un haz cuasi coherente ; este es un supuesto de “consistencia” sobre las secciones sobre diferentes conjuntos abiertos que es necesario para que la construcción continúe. ${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

Construcción

En esta configuración podemos construir un esquema y un mapa de “proyección” p sobre X tal que para cada U afín abierto de X , ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

Esta definición sugiere que construyamos definiendo primero esquemas para cada U afín abierto , estableciendo ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

y mapas , y luego mostrar que estos datos se pueden pegar juntos “sobre” cada intersección de dos afines abiertos U y V para formar un esquema Y que definimos como . No es difícil mostrar que definir cada uno como el mapa correspondiente a la inclusión de en S ( U ) como los elementos de grado cero produce la consistencia necesaria de los , mientras que la consistencia de los mismos se desprende del supuesto de cuasi coherencia en S . ${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

La gavilla retorcida

Si S tiene la propiedad adicional de ser un haz coherente y genera localmente S sobre (es decir, cuando pasamos al tallo del haz S en un punto x de X , que es un álgebra graduada cuyos elementos de grado cero forman el anillo , entonces los elementos de grado uno forman un módulo finitamente generado sobre y también generan el tallo como un álgebra sobre él), entonces podemos hacer una construcción adicional. Sobre cada afín abierto U , Proj S ( U ) lleva un haz invertible O(1) , y la suposición que acabamos de hacer asegura que estos haces pueden estar pegados como el anterior; el haz resultante en también se denota O (1) y sirve para el mismo propósito que el haz giratorio en el Proj de un anillo. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

Proyección de un haz cuasi coherente

Sea un haz cuasi-coherente en un esquema . El haz de álgebras simétricas es naturalmente un haz cuasi-coherente de módulos graduados, generados por elementos de grado 1. El esquema resultante se denota por . Si es de tipo finito, entonces su morfismo canónico es un morfismo proyectivo . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

Para cualquier , la fibra del morfismo anterior sobre es el espacio proyectivo asociado al dual del espacio vectorial sobre . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$ ${\displaystyle k(x)}$

Si es un haz cuasi coherente de módulos graduados, generado por y tal que es de tipo finito, entonces es un subesquema cerrado de y es entonces proyectivo sobre . De hecho, todo subesquema cerrado de un proyectivo es de esta forma. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Fibrados espaciales proyectivos

Como caso especial, cuando es localmente libre de rango , obtenemos un fibrado proyectivo sobre de dimensión relativa . En efecto, si tomamos una cobertura abierta de X por afines abiertos tal que cuando se restringe a cada uno de estos, es libre sobre A , entonces ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

y por lo tanto es un fibrado espacial proyectivo. Muchas familias de variedades pueden construirse como subesquemas de estos fibrados proyectivos, como la familia de curvas elípticas de Weierstrass. Para más detalles, consulte el artículo principal. ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Ejemplo de Proyecto Global

La proyección global se puede utilizar para construir lápices de Lefschetz . Por ejemplo, sean y sean polinomios homogéneos de grado k. Podemos considerar el haz ideal de y construir la proyección global de este haz cociente de álgebras . Esto se puede describir explícitamente como el morfismo proyectivo . ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

Véase también

• Espacio proyectivo
• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Proyectivización

Referencias

1. Ravi Vakil (2015). Fundamentos de geometría algebraica (PDF) ., Corolario 15.4.3.
2. EGA , II.5.5.
3. EGA , II.5.5.1.

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157