Localización (álgebra conmutativa)

Construcción de un anillo de fracciones

En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la localización es una forma formal de introducir los "denominadores" en un anillo o módulo dado . Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de un anillo/módulo existente R , de modo que esté formado por fracciones tales que el denominador s pertenece a un subconjunto dado S de R. Si S es el conjunto de los elementos no nulos de un dominio integral , entonces la localización es el cuerpo de fracciones : este caso generaliza la construcción del cuerpo de números racionales a partir del anillo de números enteros . ${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La técnica se ha vuelto fundamental, particularmente en geometría algebraica , ya que proporciona un vínculo natural con la teoría de haces . De hecho, el término localización se originó en geometría algebraica : si R es un anillo de funciones definidas en algún objeto geométrico ( variedad algebraica ) V , y uno quiere estudiar esta variedad "localmente" cerca de un punto p , entonces se considera el conjunto S de todas las funciones que no son cero en p y se localiza R con respecto a S. El anillo resultante contiene información sobre el comportamiento de V cerca de p , y excluye información que no es "local", como los ceros de funciones que están fuera de V (cf el ejemplo dado en anillo local ). ${\displaystyle S^{-1}R}$

Localización de un anillo

La localización de un anillo conmutativo R por un conjunto multiplicativamente cerrado S es un nuevo anillo cuyos elementos son fracciones con numeradores en R y denominadores en S. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Si el anillo es un dominio entero, la construcción generaliza y sigue de cerca la del campo de fracciones y, en particular, la de los números racionales como campo de fracciones de los números enteros. Para anillos que tienen divisores de cero , la construcción es similar pero requiere más cuidado.

Conjunto multiplicativo

La localización se realiza comúnmente con respecto a un conjunto multiplicativamente cerrado S (también llamado conjunto multiplicativo o sistema multiplicativo ) de elementos de un anillo R , que es un subconjunto de R que está cerrado bajo la multiplicación y contiene 1 .

El requisito de que S debe ser un conjunto multiplicativo es natural, ya que implica que todos los denominadores introducidos por la localización pertenecen a S . La localización por un conjunto U que no es multiplicativamente cerrado también puede definirse, tomando como posibles denominadores todos los productos de elementos de U . Sin embargo, la misma localización se obtiene utilizando el conjunto multiplicativamente cerrado S de todos los productos de elementos de U . Como esto a menudo simplifica el razonamiento y la notación, es una práctica estándar considerar solo localizaciones por conjuntos multiplicativos.

Por ejemplo, la localización por un solo elemento s introduce fracciones de la forma pero también productos de dichas fracciones, como por ejemplo, los denominadores pertenecerán al conjunto multiplicativo de las potencias de s . Por lo tanto, generalmente se habla de "la localización por las potencias de un elemento" en lugar de "la localización por un elemento". ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$ ${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$

La localización de un anillo R por un conjunto multiplicativo S se denota generalmente, pero se usan comúnmente otras notaciones en algunos casos especiales: si consiste en las potencias de un solo elemento, a menudo se denota si es el complemento de un ideal primo , entonces se denota ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{t};}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

En el resto de este artículo solo se consideran las localizaciones mediante un conjunto multiplicativo.

Dominios integrales

Cuando el anillo R es un dominio integral y S no contiene 0 , el anillo es un subanillo del cuerpo de fracciones de R. Por lo tanto, la localización de un dominio es un dominio. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Más precisamente, es el subanillo del campo de fracciones de R , que consiste en las fracciones tales que Este es un subanillo ya que la suma y el producto de dos elementos de están en Esto resulta de la propiedad definitoria de un conjunto multiplicativo, lo que implica también que En este caso, R es un subanillo de Se muestra a continuación que esto ya no es cierto en general, típicamente cuando S contiene divisores de cero . ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$ ${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Por ejemplo, las fracciones decimales son la localización del anillo de los números enteros por el conjunto multiplicativo de las potencias de diez. En este caso, consiste en los números racionales que pueden escribirse como donde n es un número entero y k es un número entero no negativo. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

Construcción general

En el caso general, surge un problema con divisores de cero . Sea S un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R. Supóngase que y es un divisor de cero con Entonces es la imagen en de y uno tiene Por lo tanto, algunos elementos distintos de cero de R deben ser cero en La construcción que sigue está diseñada para tener esto en cuenta. ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\neq a\in R}$ ${\displaystyle as=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle a\in R,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Dados R y S como se indica anteriormente, se considera la relación de equivalencia que se define por si existe un tal que ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

La localización se define como el conjunto de clases de equivalencia para esta relación. La clase de ( r , s ) se denota como o Por lo tanto, se tiene si y solo si existe un tal que La razón de esto es manejar casos como el anterior donde es distinto de cero aunque las fracciones se deben considerar iguales. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle r/s,}$ ${\displaystyle s^{-1}r.}$ ${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$

La localización es un anillo conmutativo con adición. ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

multiplicación

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

Identidad aditiva e identidad multiplicativa ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

La función

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

define un homomorfismo de anillo de en el cual es inyectivo si y sólo si S no contiene ningún divisor de cero. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$

Si entonces es el anillo cero que tiene 0 como único elemento. ${\displaystyle 0\in S,}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Si S es el conjunto de todos los elementos regulares de R (es decir, los elementos que no son divisores de cero), se llama anillo total de fracciones de R. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Propiedad universal

El homomorfismo de anillos (definido anteriormente) satisface una propiedad universal que se describe a continuación. Esto caracteriza hasta un isomorfismo . Por lo tanto, todas las propiedades de las localizaciones se pueden deducir de la propiedad universal, independientemente de la forma en que se hayan construido. Además, muchas propiedades importantes de la localización se deducen fácilmente de las propiedades generales de las propiedades universales, mientras que su demostración directa puede ser técnica, sencilla y aburrida. ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

La propiedad universal que satisface es la siguiente: ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$

Si es un homomorfismo de anillo que asigna cada elemento de S a una unidad (elemento invertible) en T , existe un homomorfismo de anillo único tal que ${\displaystyle f\colon R\to T}$ ${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$ ${\displaystyle f=g\circ j.}$

Usando la teoría de categorías , esto puede expresarse diciendo que la localización es un funtor que es adjunto izquierdo a un funtor olvidadizo . Más precisamente, sean y las categorías cuyos objetos son pares de un anillo conmutativo y un submonoide de, respectivamente, el monoide multiplicativo o el grupo de unidades del anillo. Los morfismos de estas categorías son los homomorfismos de anillo que mapean el submonoide del primer objeto en el submonoide del segundo. Finalmente, sea el funtor olvidadizo que olvida que los elementos del segundo elemento del par son invertibles. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

Entonces la factorización de la propiedad universal define una biyección. ${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

Esta puede parecer una forma bastante complicada de expresar la propiedad universal, pero es útil para mostrar fácilmente muchas propiedades, utilizando el hecho de que la composición de dos funtores adjuntos izquierdos es un funtor adjunto izquierdo.

Ejemplos

• Si es el anillo de los números enteros , y entonces es el campo de los números racionales . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Si R es un dominio integral , entonces es el campo de fracciones de R. El ejemplo anterior es un caso especial de éste. ${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$
• Si R es un anillo conmutativo y si S es el subconjunto de sus elementos que no son divisores de cero , entonces es el anillo total de fracciones de R. En este caso, S es el conjunto multiplicativo más grande tal que el homomorfismo es inyectivo. El ejemplo anterior es un caso especial de este. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Si es un elemento de un anillo conmutativo R y entonces puede identificarse (es canónicamente isomorfo a) (La prueba consiste en mostrar que este anillo satisface la propiedad universal anterior). Este tipo de localización juega un papel fundamental en la definición de un esquema afín . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$
• Si es un ideal primo de un anillo conmutativo R , el complemento de conjunto de en R es un conjunto multiplicativo (por la definición de un ideal primo). El anillo es un anillo local que generalmente se denota y se llama anillo local de R en Este tipo de localización es fundamental en el álgebra conmutativa , porque muchas propiedades de un anillo conmutativo se pueden leer en sus anillos locales. Tal propiedad a menudo se llama propiedad local . Por ejemplo, un anillo es regular si y solo si todos sus anillos locales son regulares. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

Propiedades del anillo

La localización es una construcción rica que tiene muchas propiedades útiles. En esta sección, sólo se consideran las propiedades relativas a anillos y a una única localización. Las propiedades relativas a ideales , módulos o varios conjuntos multiplicativos se consideran en otras secciones.

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ si y sólo si S contiene 0 .
• El homomorfismo de anillo es inyectivo si y sólo si S no contiene ningún divisor de cero . ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• El homomorfismo de anillos es un epimorfismo en la categoría de anillos , que no es sobreyectivo en general. ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• El anillo es un módulo R plano (ver § Localización de un módulo para más detalles). ${\displaystyle S^{-1}R}$
• Si es el complemento de un ideal primo , entonces se denota un anillo local ; es decir, tiene solo un ideal maximal . ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$

Propiedades que se trasladarán a otra sección

• La localización conmuta con formaciones de sumas finitas, productos, intersecciones y radicales; ^[1] p. ej., si denotamos el radical de un ideal I en R , entonces ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

En particular, R se reduce si y sólo si su anillo total de fracciones se reduce. ^[2]

• Sea R un dominio integral con el cuerpo de fracciones K . Entonces su localización en un ideal primo puede verse como un subanillo de K . Además, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

donde la primera intersección es sobre todos los ideales primos y la segunda sobre los ideales máximos. ^[3]

• Existe una biyección entre el conjunto de ideales primos de S ⁻¹ R y el conjunto de ideales primos de R que no intersecan a S . Esta biyección es inducida por el homomorfismo dado R → S  ⁻¹ R .

Saturación de un conjunto multiplicativo

Sea un conjunto multiplicativo. La saturación de es el conjunto ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

El conjunto multiplicativo S está saturado si es igual a su saturación, es decir, si , o equivalentemente, si implica que r y s están en S . ${\displaystyle {\hat {S}}=S}$ ${\displaystyle rs\in S}$

Si S no está saturado, y entonces es un inverso multiplicativo de la imagen de r en Entonces, las imágenes de los elementos de son todas invertibles en y la propiedad universal implica que y son canónicamente isomorfos , es decir, hay un isomorfismo único entre ellos que fija las imágenes de los elementos de R. ${\displaystyle rs\in S,}$ ${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

Si S y T son dos conjuntos multiplicativos, entonces y son isomorfos si y sólo si tienen la misma saturación, o, equivalentemente, si s pertenece a uno de los conjuntos multiplicativos, entonces existe tal que st pertenece al otro. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle T^{-1}R}$ ${\displaystyle t\in R}$

Los conjuntos multiplicativos saturados no se utilizan ampliamente de forma explícita, ya que, para verificar que un conjunto está saturado, uno debe conocer todas las unidades del anillo.

Terminología explicada por el contexto

El término localización tiene su origen en la tendencia general de las matemáticas modernas a estudiar los objetos geométricos y topológicos localmente , es decir en términos de su comportamiento cerca de cada punto. Ejemplos de esta tendencia son los conceptos fundamentales de variedades , gérmenes y haces . En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín puede identificarse con un anillo cociente de un anillo de polinomios de tal manera que los puntos del conjunto algebraico corresponden a los ideales máximos del anillo (esto es el Nullstellensatz de Hilbert ). Esta correspondencia se ha generalizado para hacer del conjunto de los ideales primos de un anillo conmutativo un espacio topológico dotado de la topología de Zariski ; este espacio topológico se llama espectro del anillo .

En este contexto, una localización por un conjunto multiplicativo puede verse como la restricción del espectro de un anillo al subespacio de los ideales primos (vistos como puntos ) que no intersecan el conjunto multiplicativo.

Se consideran más comúnmente dos clases de localizaciones:

• El conjunto multiplicativo es el complemento de un ideal primo de un anillo R . En este caso, se habla de "localización en ", o "localización en un punto". El anillo resultante, denotado como anillo local , es el análogo algebraico de un anillo de gérmenes . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• El conjunto multiplicativo está formado por todas las potencias de un elemento t de un anillo R . El anillo resultante se denota comúnmente como y su espectro es el conjunto abierto de Zariski de los ideales primos que no contienen t . Por lo tanto, la localización es análoga a la restricción de un espacio topológico a una vecindad de un punto (cada ideal primo tiene una base de vecindad que consiste en conjuntos abiertos de Zariski de esta forma). ${\displaystyle R_{t},}$

En teoría de números y topología algebraica , cuando se trabaja sobre el anillo de números enteros , se hace referencia a una propiedad relativa a un número entero n como una propiedad verdadera en n o lejos de n , dependiendo de la localización que se considere. " Lejos de n " significa que la propiedad se considera después de la localización por las potencias de n , y, si p es un número primo , "en p " significa que la propiedad se considera después de la localización en el ideal primo . Esta terminología se puede explicar por el hecho de que, si p es primo, los ideales primos distintos de cero de la localización de son el conjunto singleton {p} o su complemento en el conjunto de números primos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Localización y saturación de ideales

Sea S un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R , y sea el homomorfismo de anillo canónico. Dado un ideal I en R , sea el conjunto de las fracciones cuyo numerador está en I . Este es un ideal de que es generado por j ( I ) , y llamado localización de I por S . ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}I}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$

La saturación de I por S es un ideal de R , que también puede definirse como el conjunto de elementos tales que existe con ${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle sr\in I.}$

Muchas propiedades de los ideales se conservan por saturación y localización, o pueden caracterizarse por propiedades más simples de localización y saturación. En lo que sigue, S es un conjunto multiplicativo en un anillo R , e I y J son ideales de R ; la saturación de un ideal I por un conjunto multiplicativo S se denota o, cuando el conjunto multiplicativo S se desprende del contexto, ${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$ ${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)}$
  (Esto no siempre es cierto para inclusiones estrictas )
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• Si es un ideal primo tal que entonces es un ideal primo y ; si la intersección no está vacía, entonces y ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$ ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$ ${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

Localización de un módulo

Sea R un anillo conmutativo , S un conjunto multiplicativo en R y M un R - módulo . La localización del módulo M por S , denotada S ⁻¹ M , es un S ⁻¹ R -módulo que se construye exactamente como la localización de R , excepto que los numeradores de las fracciones pertenecen a M. Es decir, como conjunto, consta de clases de equivalencia , denotadas , de pares ( m , s ) , donde y y dos pares ( m , s ) y ( n , t ) son equivalentes si hay un elemento u en S tal que ${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s\in S,}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

La suma y la multiplicación escalar se definen como para las fracciones habituales (en la siguiente fórmula, y ): ${\displaystyle r\in R,}$ ${\displaystyle s,t\in S,}$ ${\displaystyle m,n\in M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

Además, S ⁻¹ M también es un módulo R con multiplicación escalar

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

Es sencillo comprobar que estas operaciones están bien definidas, es decir, dan el mismo resultado para diferentes elecciones de representantes de fracciones.

La localización de un módulo se puede definir de forma equivalente utilizando productos tensoriales :

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

La prueba de equivalencia (hasta un isomorfismo canónico ) se puede realizar mostrando que las dos definiciones satisfacen la misma propiedad universal.

Propiedades del módulo

Si M es un submódulo de un R -módulo N , y S es un conjunto multiplicativo en R , se tiene Esto implica que, si es un homomorfismo de módulo inyectivo , entonces ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

También es un homomorfismo inyectivo.

Dado que el producto tensorial es un funtor exacto recto , esto implica que la localización por S asigna secuencias exactas de R -módulos a secuencias exactas de -módulos. En otras palabras, la localización es un funtor exacto y es un R -módulo plano . ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Esta planicidad y el hecho de que la localización resuelve una propiedad universal hacen que la localización conserve muchas propiedades de módulos y anillos, y sea compatible con soluciones de otras propiedades universales. Por ejemplo, la función natural

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

es un isomorfismo. Si es un módulo finitamente presentado , la función natural ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

También es un isomorfismo. ^[4]

Si un módulo M es finitamente generado sobre R , se tiene

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

donde denota aniquilador , es decir el ideal de los elementos del anillo que asignan a cero todos los elementos del módulo. ^[5] En particular, ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

es decir, si por algún motivo ^[6] ${\displaystyle tM=0}$ ${\displaystyle t\in S.}$

Localización en números primos

La definición de un ideal primo implica inmediatamente que el complemento de un ideal primo en un anillo conmutativo R es un conjunto multiplicativo. En este caso, la localización se denota comúnmente como El anillo es un anillo local , que se llama anillo local de R en Esto significa que es el único ideal maximalista del anillo ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

Estas localizaciones son fundamentales para el álgebra conmutativa y la geometría algebraica por varias razones. Una de ellas es que los anillos locales suelen ser más fáciles de estudiar que los anillos conmutativos generales, en particular debido al lema de Nakayama . Sin embargo, la razón principal es que muchas propiedades son verdaderas para un anillo si y solo si son verdaderas para todos sus anillos locales. Por ejemplo, un anillo es regular si y solo si todos sus anillos locales son anillos locales regulares .

Las propiedades de un anillo que pueden caracterizarse en sus anillos locales se denominan propiedades locales y, a menudo, son la contraparte algebraica de las propiedades locales geométricas de las variedades algebraicas , que son propiedades que pueden estudiarse mediante la restricción a un pequeño vecindario de cada punto de la variedad. (Existe otro concepto de propiedad local que se refiere a la localización en conjuntos abiertos de Zariski; consulte § Localización en conjuntos abiertos de Zariski, a continuación).

Muchas propiedades locales son consecuencia del hecho de que el módulo

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

es un módulo fielmente plano cuando se toma la suma directa sobre todos los ideales primos (o sobre todos los ideales máximos de R ). Véase también Descenso fielmente plano .

Ejemplos de propiedades locales

Una propiedad P de un R -módulo M es una propiedad local si las siguientes condiciones son equivalentes:

• P es válido para M.
• P es válido para todos los casos en los que es un ideal primo de R . ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• P es válido para todos los casos en los que es un ideal máximo de R . ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Las siguientes son propiedades locales:

• M es cero.
• M no tiene torsión (en el caso en que R es un dominio conmutativo ).
• M es un módulo plano .
• M es un módulo invertible (en el caso donde R es un dominio conmutativo y M es un submódulo del campo de fracciones de R ).
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$es inyectiva (resp. sobreyectiva), donde N es otro R -módulo.

Por otra parte, algunas propiedades no son propiedades locales. Por ejemplo, un producto directo infinito de cuerpos no es un dominio integral ni un anillo noetheriano , mientras que todos sus anillos locales son cuerpos y, por lo tanto, dominios integrales noetherianos.

Caso no conmutativo

La localización de anillos no conmutativos es más difícil. Si bien la localización existe para cada conjunto S de unidades prospectivas, puede adoptar una forma diferente a la descrita anteriormente. Una condición que garantiza que la localización se comporte bien es la condición Ore .

Un caso de anillos no conmutativos en el que la localización tiene un claro interés es el de los anillos de operadores diferenciales. Tiene la interpretación, por ejemplo, de adjuntar una inversa formal D ⁻¹ para un operador de diferenciación D . Esto se hace en muchos contextos en métodos para ecuaciones diferenciales . Ahora existe una gran teoría matemática al respecto, llamada microlocalización , que se conecta con numerosas otras ramas. La etiqueta micro tiene que ver con conexiones con la teoría de Fourier , en particular.

Véase también

• Análisis local
• Localización de una categoría
• Localización de un espacio topológico

Referencias

1. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 3.11. (v).
2. Borel, AG. 3.3
3. Matsumura, Teorema 4.7
4. Eisenbud 1995, Proposición 2.10
5. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 3.14.
6. Borel, AG. 3.1

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2 . 
• Cohn, PM (1989). "§ 9.3". Álgebra . Vol. 2 (2.ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. págs. xvi+428. ISBN 0-471-92234-X.Señor 1006872  .
• Cohn, PM (1991). "§ 9.1". Álgebra . Vol. 3 (2.ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. págs. xii+474. ISBN 0-471-92840-2.Señor 1098018  .
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Matsumura. Álgebra conmutativa. Benjamin-Cummings
• Stenström, Bo (1971). Anillos y módulos de cocientes . Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 237. Berlín: Springer-Verlag. págs. vii+136. ISBN 978-3-540-05690-4.Sr. 0325663  .
• Serge Lang , "Teoría de números algebraicos", Springer, 2000, páginas 3–4.

Enlaces externos

• Localización de MathWorld .