Cohomología de gavillas

Herramienta en topología algebraica

En matemáticas , la cohomología de haces es la aplicación del álgebra homológica para analizar las secciones globales de un haz en un espacio topológico . En términos generales, la cohomología de haces describe las obstrucciones para resolver un problema geométrico globalmente cuando se puede resolver localmente. El trabajo central para el estudio de la cohomología de haces es el artículo Tôhoku de Grothendieck de 1957 .

Los haces, la cohomología de haces y las secuencias espectrales fueron introducidos por Jean Leray en el campo de prisioneros de guerra Oflag XVII-A en Austria. ^[1] Entre 1940 y 1945, Leray y otros prisioneros organizaron una "université en captivité" en el campo.

Las definiciones de Leray se simplificaron y aclararon en la década de 1950. Quedó claro que la cohomología de haces no solo era un nuevo enfoque de la cohomología en topología algebraica , sino también un método poderoso en geometría analítica compleja y geometría algebraica . Estos temas a menudo implican la construcción de funciones globales con propiedades locales específicas, y la cohomología de haces es ideal para tales problemas. Muchos resultados anteriores, como el teorema de Riemann-Roch y el teorema de Hodge, se han generalizado o se han entendido mejor utilizando la cohomología de haces.

Definición

La categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico X es una categoría abeliana , y por eso tiene sentido preguntar cuándo un morfismo f : B → C de haces es inyectivo (un monomorfismo ) o sobreyectivo (un epimorfismo ). Una respuesta es que f es inyectivo (respectivamente sobreyectivo) si y solo si el homomorfismo asociado en tallos B _x → C _x es inyectivo (respectivamente sobreyectivo ) para cada punto x en X. De ello se sigue que f es inyectivo si y solo si el homomorfismo B ( U ) → C ( U ) de secciones sobre U es inyectivo para cada conjunto abierto U en X. Sin embargo, la sobreyectividad es más sutil: el morfismo f es sobreyectivo si y sólo si para cada conjunto abierto U en X , cada sección s de C sobre U y cada punto x en U , hay un entorno abierto V de x en U tal que s restringido a V es la imagen de alguna sección de B sobre V . (En palabras: cada sección de C se eleva localmente a secciones de B .)

Como resultado, surge la pregunta: dada una sobreyección B → C de haces y una sección s de C sobre X , ¿cuándo es s la imagen de una sección de B sobre X ? Este es un modelo para todo tipo de preguntas locales versus globales en geometría. La cohomología de haces da una respuesta general satisfactoria. Es decir, sea A el núcleo de la sobreyección B → C , dando una secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de haces en X. Luego hay una secuencia larga y exacta de grupos abelianos, llamados grupos de cohomología de haces:

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to H^{1}(X,A)\to \cdots ,}$

donde H ⁰ ( X , A ) es el grupo A ( X ) de secciones globales de A en X . Por ejemplo, si el grupo H ¹ ( X , A ) es cero, entonces esta secuencia exacta implica que cada sección global de C se eleva a una sección global de B . En términos más generales, la secuencia exacta hace que el conocimiento de grupos de cohomología superiores sea una herramienta fundamental para intentar comprender las secciones de haces.

La definición de cohomología de haces de Grothendieck , ahora estándar, utiliza el lenguaje del álgebra homológica. El punto esencial es fijar un espacio topológico X y pensar en la cohomología como un funtor desde haces de grupos abelianos en X hasta grupos abelianos. Con más detalle, comience con el funtor E ↦ E ( X ) desde haces de grupos abelianos en X hasta grupos abelianos. Esto es exacto por la izquierda , pero en general no exacto por la derecha. Luego, los grupos H ⁱ ( X , E ) para los enteros i se definen como los funtores derivados por la derecha del funtor E ↦ E ( X ). Esto hace que sea automático que H ⁱ ( X , E ) sea cero para i < 0, y que H ⁰ ( X , E ) sea el grupo E ( X ) de secciones globales. La larga secuencia exacta anterior también es directa a partir de esta definición.

La definición de funtores derivados utiliza que la categoría de haces de grupos abelianos en cualquier espacio topológico X tiene suficientes inyectivos; es decir, para cada haz E hay un haz inyectivo I con una inyección E → I . ^[2] De ello se deduce que cada haz E tiene una resolución inyectiva :

${\displaystyle 0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .}$

Entonces los grupos de cohomología del haz H ⁱ ( X , E ) son los grupos de cohomología (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior) del complejo de cadena de grupos abelianos:

${\displaystyle 0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .}$

Los argumentos estándar en álgebra homológica implican que estos grupos de cohomología son independientes de la elección de la resolución inyectiva de E.

La definición rara vez se utiliza directamente para calcular la cohomología de haces. No obstante, es potente, porque funciona en gran generalidad (cualquier haz de grupos abelianos en cualquier espacio topológico) e implica fácilmente las propiedades formales de la cohomología de haces, como la larga secuencia exacta anterior. Para clases específicas de espacios o haces, existen muchas herramientas para calcular la cohomología de haces, algunas de las cuales se analizan a continuación.

Funcionalidad

Para cualquier mapa continuo f : X → Y de espacios topológicos, y cualquier haz E de grupos abelianos en Y , existe un homomorfismo de pullback

${\displaystyle f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*}(E))}$

para cada entero j , donde f *( E ) denota el haz de imagen inversa o el haz de retroceso . ^[3] Si f es la inclusión de un subespacio X de Y , f *( E ) es la restricción de E a X , a menudo llamada simplemente E de nuevo, y el retroceso de una sección s de Y a X se llama restricción s | _X .

Los homomorfismos pullback se utilizan en la sucesión de Mayer-Vietoris , un importante resultado computacional. Es decir, sea X un espacio topológico que es una unión de dos subconjuntos abiertos U y V , y sea E un haz en X . Entonces hay una larga sucesión exacta de grupos abelianos: ^[4]

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,E)\to H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\to H^{0}(U\cap V,E)\to H^{1}(X,E)\to \cdots .}$

Cohomología de haces con coeficientes constantes

Para un espacio topológico y un grupo abeliano , el haz constante significa el haz de funciones localmente constantes con valores en . Los grupos de cohomología de haces con coeficientes constantes a menudo se escriben simplemente como , a menos que esto pueda causar confusión con otra versión de cohomología como la cohomología singular . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{j}(X,A_{X})}$ ${\displaystyle H^{j}(X,A)}$

Para una función continua f : X → Y y un grupo abeliano A , el haz de pullback f *( A _Y ) es isomorfo a A _X . Como resultado, el homomorfismo de pullback convierte la cohomología de haces con coeficientes constantes en un funtor contravariante de espacios topológicos a grupos abelianos.

Para cualquier espacio X e Y y cualquier grupo abeliano A , dos mapas homotópicos f y g de X a Y inducen el mismo homomorfismo en la cohomología de haces: ^[5]

${\displaystyle f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).}$

De ello se deduce que dos espacios equivalentes de homotopía tienen cohomología de haces isomorfa con coeficientes constantes.

Sea X un espacio de Hausdorff paracompacto que es localmente contráctil , incluso en el sentido débil de que cada entorno abierto U de un punto x contiene un entorno abierto V de x tal que la inclusión V → U es homotópica a una función constante. Entonces los grupos de cohomología singulares de X con coeficientes en un grupo abeliano A son isomorfos a la cohomología de haces con coeficientes constantes, H *( X , A _X ). ^[6] Por ejemplo, esto se cumple para X una variedad topológica o un complejo CW .

Como resultado, muchos de los cálculos básicos de la cohomología de haces con coeficientes constantes son los mismos que los cálculos de la cohomología singular. Consulte el artículo sobre cohomología para conocer la cohomología de esferas, espacios proyectivos, toros y superficies.

Para espacios topológicos arbitrarios, la cohomología singular y la cohomología de haces (con coeficientes constantes) pueden ser diferentes. Esto sucede incluso para H ⁰ . La cohomología singular H ⁰ ( X , Z ) es el grupo de todas las funciones del conjunto de componentes de la trayectoria de X a los enteros Z , mientras que la cohomología de haces H ⁰ ( X , Z _X ) es el grupo de funciones localmente constantes de X a Z . Estos son diferentes, por ejemplo, cuando X es el conjunto de Cantor . De hecho, la cohomología de haces H ⁰ ( X , Z _X ) es un grupo abeliano contable en ese caso, mientras que la cohomología singular H ⁰ ( X , Z ) es el grupo de todas las funciones de X a Z , que tiene cardinalidad

${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$

Para un espacio de Hausdorff paracompacto X y cualquier haz E de grupos abelianos en X , los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) son cero para j mayor que la dimensión de recubrimiento de X . ^[7] (Esto no se cumple con la misma generalidad para la cohomología singular: por ejemplo, hay un subconjunto compacto del espacio euclidiano R ³ que tiene cohomología singular distinta de cero en infinitos grados. ^[8] ) La dimensión de recubrimiento concuerda con la noción usual de dimensión para una variedad topológica o un complejo CW.

Gavillas blandas y flácidas

Un haz E de grupos abelianos en un espacio topológico X se denomina acíclico si H ^j ( X , E ) = 0 para todo j > 0. Por la larga secuencia exacta de cohomología de haces, la cohomología de cualquier haz se puede calcular a partir de cualquier resolución acíclica de E (en lugar de una resolución inyectiva). Los haces inyectivos son acíclicos, pero para los cálculos es útil tener otros ejemplos de haces acíclicos.

Un haz E en X se llama flácido (en francés: flasque ) si cada sección de E en un subconjunto abierto de X se extiende a una sección de E en todo X. Los haces flácidos son acíclicos. ^[9] Godement definió la cohomología de haces a través de una resolución flácida canónica de cualquier haz; dado que los haces flácidos son acíclicos, la definición de Godement concuerda con la definición de cohomología de haces anterior. ^[10]

Un haz E en un espacio de Hausdorff paracompacto X se llama blando si cada sección de la restricción de E a un subconjunto cerrado de X se extiende a una sección de E en todo X. Todo haz blando es acíclico. ^[11]

Algunos ejemplos de haces suaves son el haz de funciones continuas de valor real en cualquier espacio de Hausdorff paracompacto, o el haz de funciones suaves ( C ^{∞ ) en cualquier} variedad suave . ^[12] De manera más general, cualquier haz de módulos sobre un haz suave de anillos conmutativos es suave; por ejemplo, el haz de secciones suaves de un fibrado vectorial sobre una variedad suave es suave. ^[13]

Por ejemplo, estos resultados forman parte de la demostración del teorema de De Rham . Para una variedad lisa X , el lema de Poincaré dice que el complejo de De Rham es una resolución del haz constante R _X :

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{1}\to \cdots ,}$

donde Ω _X ^j es el haz de j -formas suaves y la función Ω _X ^j → Ω _X ^{j +1} es la derivada exterior d . Por los resultados anteriores, los haces Ω _X ^j son suaves y por lo tanto acíclicos. De ello se deduce que la cohomología del haz de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham de X , definida como la cohomología del complejo de espacios vectoriales reales :

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .}$

La otra parte del teorema de De Rham es identificar la cohomología del haz y la cohomología singular de X con coeficientes reales; esto se cumple con mayor generalidad, como se explicó anteriormente.

Cohomología de Chech

La cohomología de Čech es una aproximación a la cohomología de haces que suele ser útil para los cálculos. Es decir, sea una cubierta abierta de un espacio topológico X , y sea E un haz de grupos abelianos en X . Escriba los conjuntos abiertos en la cubierta como U _i para los elementos i de un conjunto I , y fije un ordenamiento de I . Entonces la cohomología de Čech se define como la cohomología de un complejo explícito de grupos abelianos con el grupo j ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

${\displaystyle C^{j}({\mathcal {U}},E)=\prod _{i_{0}<\cdots <i_{j}}E(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{j}}).}$

Existe un homomorfismo natural . Por lo tanto, la cohomología de Čech es una aproximación a la cohomología de haces utilizando solo las secciones de E en intersecciones finitas de los conjuntos abiertos U _i . ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)\to H^{j}(X,E)}$

Si cada intersección finita V de los conjuntos abiertos en no tiene una cohomología superior con coeficientes en E , lo que significa que H ^j ( V , E ) = 0 para todo j > 0, entonces el homomorfismo de la cohomología de Čech a la cohomología de haces es un isomorfismo. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

Otro enfoque para relacionar la cohomología de Čech con la cohomología de haces es el siguiente. Los grupos de cohomología de Čech se definen como el límite directo de todas las coberturas abiertas de X (donde las coberturas abiertas se ordenan por refinamiento ). Existe un homomorfismo de la cohomología de Čech a la cohomología de haces, que es un isomorfismo para j ≤ 1. Para espacios topológicos arbitrarios, la cohomología de Čech puede diferir de la cohomología de haces en grados superiores. Sin embargo, convenientemente, la cohomología de Čech es isomorfa a la cohomología de haces para cualquier haz en un espacio de Hausdorff paracompacto. ^[15] ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)}$

El isomorfismo implica una descripción de H ¹ ( X , E ) para cualquier haz E de grupos abelianos en un espacio topológico X : este grupo clasifica los E - torsores (también llamados E -fibrados principales ) sobre X , hasta el isomorfismo. (Esta afirmación se generaliza a cualquier haz de grupos G , no necesariamente abelianos, usando el conjunto de cohomología no abeliano H ¹ ( X , G ).) Por definición, un E -torsor sobre X es un haz S de conjuntos junto con una acción de E sobre X tal que cada punto en X tiene un vecindario abierto en el que S es isomorfo a E , con E actuando sobre sí mismo por traslación. Por ejemplo, en un espacio anillado ( X , O _X ), se deduce que el grupo de Picard de haces invertibles en X es isomorfo al grupo de cohomología de haces H ¹ ( X , O _X *), donde O _X * es el haz de unidades en O _X . ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,E)\cong H^{1}(X,E)}$

Cohomología relativa

Para un subconjunto Y de un espacio topológico X y un haz E de grupos abelianos en X , se pueden definir grupos de cohomología relativa ^{: [16]}

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)=H^{j}(X,X-Y;E)}$

para números enteros j . Otros nombres son cohomología de X con soporte en Y , o (cuando Y está cerrado en X ) cohomología local . Una secuencia larga exacta relaciona la cohomología relativa con la cohomología de haces en el sentido habitual:

${\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)\to H^{j}(X-Y,E)\to H_{Y}^{j+1}(X,E)\to \cdots .}$

Cuando Y está cerrado en X , la cohomología con soporte en Y se puede definir como los funtores derivados del funtor

${\displaystyle H_{Y}^{0}(X,E):=\{s\in E(X):s|_{X-Y}=0\},}$

el grupo de secciones de E que se apoyan en Y .

Existen varios isomorfismos conocidos como escisión . Por ejemplo, si X es un espacio topológico con subespacios Y y U tales que la clausura de Y está contenida en el interior de U , y E es un haz en X , entonces la restricción

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)\to H_{Y}^{j}(U,E)}$

es un isomorfismo. ^[17] (Por lo tanto, la cohomología con apoyo en un subconjunto cerrado Y solo depende del comportamiento del espacio X y del haz E cerca de Y ). Además, si X es un espacio de Hausdorff paracompacto que es la unión de los subconjuntos cerrados A y B , y E es un haz en X , entonces la restricción

${\displaystyle H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B;E)}$

es un isomorfismo. ^[18]

Cohomología con soporte compacto

Sea X un espacio topológico localmente compacto . (En este artículo, se entiende por espacio localmente compacto a Hausdorff.) Para un haz E de grupos abelianos en X , se puede definir la cohomología con soporte compacto H _c ^j ( X , E ). ^[19] Estos grupos se definen como los funtores derivados del funtor de secciones con soporte compacto:

${\displaystyle H_{c}^{0}(X,E)=\{s\in E(X):{\text{there is a compact subset }}K{\text{ of }}X{\text{ with }}s|_{X-K}=0\}.}$

Existe un homomorfismo natural H _c ^j ( X , E ) → H ^j ( X , E ), que es un isomorfismo para X compacto.

Para un haz E en un espacio localmente compacto X , la cohomología con soporte compacto de X × R con coeficientes en el retroceso de E es un desplazamiento de la cohomología con soporte compacto de X : ^[20]

${\displaystyle H_{c}^{j+1}(X\times \mathbf {R} ,E)\cong H_{c}^{j}(X,E).}$

De ello se deduce, por ejemplo, que H _c ^j ( R ⁿ , Z ) es isomorfo a Z si j = n y es cero en caso contrario.

La cohomología con soporte compacto no es funcional con respecto a aplicaciones continuas arbitrarias. Sin embargo, para una aplicación propia f : Y → X de espacios localmente compactos y un haz E en X , existe un homomorfismo de pullback

${\displaystyle f^{*}\colon H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,f^{*}(E))}$

sobre cohomología con soporte compacto. Además, para un subconjunto abierto U de un espacio localmente compacto X y un haz E en X , existe un homomorfismo de empuje hacia adelante conocido como extensión por cero : ^[21]

${\displaystyle H_{c}^{j}(U,E)\to H_{c}^{j}(X,E).}$

Ambos homomorfismos ocurren en la secuencia de localización exacta larga para cohomología con soporte compacto, para un espacio localmente compacto X y un subconjunto cerrado Y : ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{j}(X-Y,E)\to H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,E)\to H_{c}^{j+1}(X-Y,E)\to \cdots .}$

Producto de taza

Para cualesquiera haces A y B de grupos abelianos en un espacio topológico X , existe una función bilineal, el producto de copa

${\displaystyle H^{i}(X,A)\times H^{j}(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),}$

para todos i y j . ^[23] Aquí A ⊗ B denota el producto tensorial sobre Z , pero si A y B son haces de módulos sobre algún haz O _X de anillos conmutativos, entonces se puede mapear más desde H ^{i + j} (X, A ⊗ _Z B ) a H ^{i + j} (X, A ⊗ _{O X} B ). En particular, para un haz O _X de anillos conmutativos, el producto de copa hace la suma directa

${\displaystyle H^{*}(X,O_{X})=\bigoplus _{j}H^{j}(X,O_{X})}$

en un anillo conmutativo graduado , lo que significa que

${\displaystyle vu=(-1)^{ij}uv}$

para todos u en H ⁱ y v en H ^j . ^[24]

Complejos de haces

La definición de cohomología de haces como un funtor derivado se extiende para definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo E de haces:

${\displaystyle \cdots \to E_{j}\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots }$

En particular, si el complejo E está acotado inferiormente (el haz E _j es cero para j suficientemente negativo), entonces E tiene una resolución inyectiva I tal como la tiene un único haz. (Por definición, I es un complejo acotado inferiormente de haces inyectivos con una función de cadena E → I que es un cuasi-isomorfismo ). Entonces los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) se definen como la cohomología del complejo de grupos abelianos

${\displaystyle \cdots \to I_{j}(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to \cdots .}$

La cohomología de un espacio con coeficientes en un complejo de haces antes se llamaba hipercohomología , pero ahora normalmente se la denomina simplemente "cohomología".

De manera más general, para cualquier complejo de haces E (no necesariamente acotado inferiormente) en un espacio X , el grupo de cohomología H ^j ( X , E ) se define como un grupo de morfismos en la categoría derivada de haces en X :

${\displaystyle H^{j}(X,E)=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} _{X},E[j]),}$

donde Z _X es el haz constante asociado a los números enteros, y E [ j ] significa el complejo E desplazado j pasos hacia la izquierda.

Dualidad de Poincaré y generalizaciones

Un resultado central en topología es el teorema de dualidad de Poincaré : para una variedad topológica conexa y orientada cerrada X de dimensión n y un cuerpo k , el grupo H ⁿ ( X , k ) es isomorfo a k , y el producto de copa

${\displaystyle H^{j}(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^{n}(X,k)\cong k}$

es un emparejamiento perfecto para todos los números enteros j . Es decir, la función resultante de H ^j ( X , k ) al espacio dual H ^{n − j} ( X , k )* es un isomorfismo. En particular, los espacios vectoriales H ^j ( X , k ) y H ^{n − j} ( X , k )* tienen la misma dimensión (finita) .

Son posibles muchas generalizaciones utilizando el lenguaje de la cohomología de haces. Si X es una variedad n orientada , no necesariamente compacta o conexa, y k es un cuerpo, entonces la cohomología es el dual de la cohomología con soporte compacto:

${\displaystyle H^{j}(X,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Para cualquier variedad X y cuerpo k , existe un haz o _X en X , el haz de orientación , que es localmente (pero quizás no globalmente) isomorfo al haz constante k . Una versión de la dualidad de Poincaré para una variedad n arbitraria X es el isomorfismo: ^[25]

${\displaystyle H^{j}(X,o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

De manera más general, si E es un haz localmente constante de espacios vectoriales k en una variedad n X y los tallos de E tienen dimensión finita, entonces hay un isomorfismo.

${\displaystyle H^{j}(X,E^{*}\otimes o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,E)^{*}.}$

Con coeficientes en un anillo conmutativo arbitrario en lugar de un campo, la dualidad de Poincaré se formula naturalmente como un isomorfismo de la cohomología a la homología de Borel-Moore .

La dualidad de Verdier es una amplia generalización. Para cualquier espacio localmente compacto X de dimensión finita y cualquier cuerpo k , existe un objeto D _X en la categoría derivada D ( X ) de haces sobre X llamada complejo dualizante (con coeficientes en k ). Un caso de dualidad de Verdier es el isomorfismo: ^[26]

${\displaystyle H^{j}(X,D_{X})\cong H_{c}^{-j}(X,k)^{*}.}$

Para una variedad n X , el complejo dualizante D _X es isomorfo al desplazamiento o _X [ n ] del haz de orientación. Como resultado, la dualidad de Verdier incluye la dualidad de Poincaré como un caso especial.

La dualidad de Alexander es otra generalización útil de la dualidad de Poincaré. Para cualquier subconjunto cerrado X de unavariedad n orientada M y cualquier cuerpo k , existe un isomorfismo: ^[27]

${\displaystyle H_{X}^{j}(M,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Esto es interesante ya para X, un subconjunto compacto de M = R ⁿ , donde dice (a grandes rasgos) que la cohomología de R ⁿ − X es el dual de la cohomología del haz de X . En esta afirmación, es esencial considerar la cohomología del haz en lugar de la cohomología singular, a menos que uno haga suposiciones adicionales sobre X, como la contractibilidad local.

Imágenes directas superiores y secuencia espectral de Leray

Sea f : X → Y una función continua de espacios topológicos, y sea E un haz de grupos abelianos en X . El haz imagen directa f _* E es el haz en Y definido por

${\displaystyle (f_{*}E)(U)=E(f^{-1}(U))}$

para cualquier subconjunto abierto U de Y . Por ejemplo, si f es la función de X en un punto, entonces f _* E es el haz en un punto correspondiente al grupo E ( X ) de secciones globales de E .

El funtor f _* de haces en X a haces en Y es exacto a la izquierda, pero en general no exacto a la derecha. Los haces de imagen directa superiores R ⁱ f _* E en Y se definen como los funtores derivados a la derecha del funtor f _* . Otra descripción es que R ⁱ f _* E es el haz asociado al prehaz.

${\displaystyle U\mapsto H^{i}(f^{-1}(U),E)}$

en Y . ^[28] Por lo tanto, los haces de imágenes directas superiores describen la cohomología de imágenes inversas de conjuntos abiertos pequeños en Y , en términos generales.

La secuencia espectral de Leray relaciona la cohomología en X con la cohomología en Y. Es decir, para cualquier función continua f : X → Y y cualquier haz E en X , existe una secuencia espectral

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,R^{j}f_{*}E)\Rightarrow H^{i+j}(X,E).}$

Este es un resultado muy general. El caso especial donde f es una fibración y E es un haz constante juega un papel importante en la teoría de homotopía bajo el nombre de secuencia espectral de Serre . En ese caso, los haces de imagen directa superiores son localmente constantes, con tallos, los grupos de cohomología de las fibras F de f , y por lo tanto la secuencia espectral de Serre puede escribirse como

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,H^{j}(F,A))\Rightarrow H^{i+j}(X,A)}$

para un grupo abeliano A .

Un caso simple pero útil de la secuencia espectral de Leray es que para cualquier subconjunto cerrado X de un espacio topológico Y y cualquier haz E en X , escribiendo f : X → Y para la inclusión, hay un isomorfismo ^[29]

${\displaystyle H^{i}(Y,f_{*}E)\cong H^{i}(X,E).}$

Como resultado, cualquier pregunta sobre la cohomología del haz en un subespacio cerrado puede traducirse a una pregunta sobre el haz de imagen directa en el espacio ambiente.

Finitud de la cohomología

Hay un fuerte resultado de finitud en la cohomología de haces. Sea X un espacio de Hausdorff compacto, y sea R un dominio ideal principal , por ejemplo un cuerpo o el anillo Z de números enteros. Sea E un haz de R -módulos en X , y supongamos que E tiene "cohomología localmente finitamente generada", lo que significa que para cada punto x en X , cada número entero j y cada entorno abierto U de x , hay un entorno abierto V ⊂ U de x tal que la imagen de H ^j ( U , E ) → H ^j ( V , E ) es un R -módulo finitamente generado. Entonces los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) son R -módulos finitamente generados. ^[30]

Por ejemplo, para un espacio de Hausdorff compacto X que es localmente contráctil (en el sentido débil discutido anteriormente), el grupo de cohomología de haces H ^j ( X , Z ) se genera finitamente para cada entero j .

Un caso en el que se aplica el resultado de finitud es el de un haz construible . Sea X un espacio estratificado topológicamente . En particular, X viene con una secuencia de subconjuntos cerrados

${\displaystyle X=X_{n}\supset X_{n-1}\supset \cdots \supset X_{-1}=\emptyset }$

tal que cada diferencia X _i − X _{i −1} es una variedad topológica de dimensión i . Un haz E de R -módulos en X es construible con respecto a la estratificación dada si la restricción de E a cada estrato X _i − X _{i −1 es localmente constante, con tallo un} R -módulo generado finitamente . Un haz E en X que es construible con respecto a la estratificación dada tiene cohomología generada finitamente localmente. ^[31] Si X es compacto, se deduce que los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) de X con coeficientes en un haz construible son generados finitamente.

De manera más general, supongamos que X es compactificable, lo que significa que hay un espacio estratificado compacto W que contiene a X como un subconjunto abierto, con W – X una unión de componentes conexos de estratos. Entonces, para cualquier haz construible E de R -módulos en X , los R -módulos H ^j ( X , E ) y H _c ^j ( X , E ) se generan finitamente. ^{[32] Por ejemplo, cualquier} variedad algebraica compleja X , con su topología clásica (euclidiana), es compactificable en este sentido.

Cohomología de haces coherentes

En geometría algebraica y geometría analítica compleja, los haces coherentes son una clase de haces de particular importancia geométrica. Por ejemplo, un fibrado vectorial algebraico (en un esquema localmente noetheriano ) o un fibrado vectorial holomorfo (en un espacio analítico complejo ) pueden considerarse como un fibrado coherente, pero los haces coherentes tienen la ventaja sobre los haces vectoriales de que forman una categoría abeliana. En un esquema, también es útil considerar los haces cuasi-coherentes , que incluyen los haces localmente libres de rango infinito.

Se sabe mucho sobre los grupos de cohomología de un esquema o espacio analítico complejo con coeficientes en un haz coherente. Esta teoría es una herramienta técnica clave en geometría algebraica. Entre los principales teoremas se encuentran resultados sobre la desaparición de la cohomología en diversas situaciones, resultados sobre la dimensionalidad finita de la cohomología, comparaciones entre la cohomología del haz coherente y la cohomología singular como la teoría de Hodge y fórmulas sobre las características de Euler en la cohomología del haz coherente como el teorema de Riemann-Roch .

Gavillas en un sitio

En la década de 1960, Grothendieck definió la noción de un sitio , es decir, una categoría equipada con una topología de Grothendieck . Un sitio C axiomatiza la noción de un conjunto de morfismos V _α → U en C siendo un recubrimiento de U. Un espacio topológico X determina un sitio de manera natural: la categoría C tiene objetos los subconjuntos abiertos de X , con morfismos siendo inclusiones, y con un conjunto de morfismos V _α → U siendo llamado un recubrimiento de U si y solo si U es la unión de los subconjuntos abiertos V _α . El ejemplo motivador de una topología de Grothendieck más allá de ese caso fue la topología étale en esquemas. Desde entonces, muchas otras topologías de Grothendieck se han utilizado en geometría algebraica: la topología fpqc , la topología de Nisnevich , etc.

La definición de un haz funciona en cualquier sitio. Por lo tanto, se puede hablar de un haz de conjuntos en un sitio, un haz de grupos abelianos en un sitio, y así sucesivamente. La definición de cohomología de haces como un funtor derivado también funciona en un sitio. Por lo tanto, se tienen grupos de cohomología de haces H ^j ( X , E ) para cualquier objeto X de un sitio y cualquier haz E de grupos abelianos. Para la topología étale, esto da la noción de cohomología étale , que condujo a la prueba de las conjeturas de Weil . La cohomología cristalina y muchas otras teorías de cohomología en geometría algebraica también se definen como cohomología de haces en un sitio apropiado.

Véase también

• Teorema de De Rham

Notas

1. (Miller 2000)
2. (Iversen 1986, Teorema II.3.1.)
3. (Iversen 1986, II.5.1.)
4. (Iversen 1986, II.5.10.)
5. (Iversen 1986, Teorema IV.1.1.)
6. (Bredon 1997, Teorema III.1.1.)
7. (Godement 1973, II.5.12.)
8. (Barratt y Milnor 1962)
9. (Iversen 1986, Teorema II.3.5.)
10. (Iversen 1986, II.3.6.)
11. (Bredon 1997, Teorema II.9.11.)
12. (Bredon 1997, Ejemplo II.9.4.)
13. (Bredon 1997, Teorema II.9.16.)
14. (Godement 1973, sección II.5.4.)
15. (Godement 1973, sección II.5.10.)
16. (Bredon 1997, sección II.12.)
17. (Bredon 1997, Teorema II.12.9.)
18. (Bredon 1997, Corolario II.12.5.)
19. (Iversen 1986, Definición III.1.3.)
20. (Bredon 1997, Teorema II.15.2.)
21. (Iversen 1986, II.7.4.)
22. (Iversen 1986, II.7.6.)
23. (Iversen 1986, II.10.1.)
24. (Iversen 1986, II.10.3.)
25. (Iversen 1986, Teorema V.3.2.)
26. (Iversen 1986, IX.4.1.)
27. (Iversen 1986, Teorema IX.4.7 y sección IX.1.)
28. (Iversen 1986, Proposición II.5.11.)
29. (Iversen 1986, II.5.4.)
30. (Bredon 1997, Teorema II.17.4), (Borel 1984, V.3.17.)
31. (Borel 1984, Proposición V.3.10.)
32. (Borel 1984, Lema V.10.13.)

Referencias

• Barratt, MG; Milnor, John (1962), "Un ejemplo de homología singular anómala", Actas de la American Mathematical Society , 13 (2): 293–297, doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0137110-9 , MR  0137110
• Borel, Armand (1984), Cohomología de intersección , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3274-3, Sr.  0788171
• Bredon, Glen E. (1997) [1967], Sheaf Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 170 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, Sr.  1481706
• Godement, Roger (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR  0345092
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978], Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523
• Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , SEÑOR  0102537Traducción al inglés.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, Sr.  0842190
• Miller, Haynes (2000). "Leray en Oag XVIIA: Los orígenes de la teoría de haces, la cohomología de haces y las secuencias espectrales" (PDF) . S2CID  13024093.

Enlaces externos

• El hilo "Cohomología de haces y resoluciones inyectivas" en MathOverflow
• La "cohomología de gavilla" en Stack Exchange