Teorema de De Rham

En matemáticas, más específicamente en geometría diferencial , el teorema de De Rham dice que el homomorfismo de anillo de la cohomología de De Rham a la cohomología singular dada por la integración es un isomorfismo .

El lema de Poincaré implica que la cohomología de De Rham es la cohomología del haz con el haz constante . Por lo tanto, por razones abstractas, la cohomología de De Rham es isomorfa como grupo a la cohomología singular. Pero el teorema de De Rham proporciona un isomorfismo más explícito entre las dos cohomologías; conectando así el análisis y la topología de manera más directa. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Declaración

El homomorfismo de deRham está bien definido porque para cualquier que represente la misma clase de homología , entonces y si es una forma exacta entonces ${\displaystyle {\widetilde {c}},{\widetilde {c}}'}$ ${\displaystyle {\widetilde {c}}-{\widetilde {c}}'=\partial {\widetilde {b}}}$ ${\displaystyle \int _{\widetilde {c}}\omega -\int _{{\widetilde {c}}'}\omega =0'}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \int _{\widetilde {c}}\omega =0}$

La parte clave del teorema es una construcción del homomorfismo de De Rham. ^[1] Sea M una variedad. Entonces existe una función

${\displaystyle k:\Omega ^{p}(M)\to S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{p}(M)}$

del espacio de p -formas diferenciales al espacio de p -cocadenas singulares suaves dado por

${\displaystyle \omega \mapsto \left(\sigma \mapsto \int _{\sigma }\omega \right).}$

La fórmula de Stokes implica: ; es decir, es un mapa de cadena y por lo tanto induce: ${\displaystyle k\circ d=\partial \circ k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [k]:\operatorname {H} _{\textrm {deRham}}^{*}(M)\to \operatorname {H} _{\infty -\mathrm {sing} }^{*}(M)}$

donde estas cohomologías son las cohomologías con coeficientes reales de y , respectivamente. Resulta que es un homomorfismo de anillo y se llama homomorfismo de De Rham . No es difícil demostrar que el homomorfismo de De Rham es una transformación natural entre el funtor de cohomología de De Rham y el funtor de cohomología singular. ${\displaystyle \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{*}(M)}$ ${\displaystyle [k]}$

Finalmente, el teorema dice que el homomorfismo inducido es un isomorfismo (es decir, biyectivo). ^[2] ${\displaystyle [k]}$

También existe una variante del teorema que dice que la cohomología de De Rham de M es isomorfa como un anillo con la cohomología de Čech del mismo. ^[3] Esta versión de Čech se debe esencialmente a André Weil.

Discusión

Al considerar cohomologías singulares con coeficientes en otro grupo abeliano, por ejemplo los números enteros, entonces, por supuesto, no se debe esperar un isomorfismo similar. La botella de Klein , por ejemplo, tiene un grupo de homología , y dado que la cohomología con coeficientes reales no tiene en cuenta ningún grupo finito (más generalmente, de torsión), tenemos . Esto coincide de hecho con el grupo de cohomología de De Rham correspondiente. ${\displaystyle H_{1}(K)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(K;\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

Como se indicó anteriormente, el homomorfismo de De Rham es un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular suave con coeficientes reales, es decir, la cohomología con respecto a las cadenas suaves. Sin embargo, un resultado técnico implica que los grupos de homología singular coinciden con los grupos de homología singular suave. Esto demuestra que el teorema de De Rham en realidad muestra isomorfismo entre la cohomología de De Rham y los grupos de cohomología singular (no suave) (con coeficientes reales).

Idea de prueba

Una prueba sigue aproximadamente estas ideas: ^[4] Llamemos a una variedad "de Rham", si el teorema se cumple para ella. Llamemos a una cobertura abierta de una variedad una "cobertura de Rham", si todos los elementos de la cobertura son de Rham, así como todas sus intersecciones finitas. Se demuestra que los conjuntos convexos en son de Rham, básicamente por la invariancia de homotopía de ambas cohomologías en cuestión. A continuación, se demuestra inductivamente que las variedades que tienen una cobertura de Rham finita son de Rham, utilizando la sucesión de Mayer-Vietoris. Luego, el resultado se extiende a las variedades que tienen una base que es una cobertura de Rham. Este paso es más técnico. Finalmente, se demuestra fácilmente que los subconjuntos abiertos de y, en consecuencia, cualquier variedad tiene una base que es una cobertura de Rham. Por lo tanto, invocando el paso anterior, finaliza la prueba. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Aquí hay otro bosquejo de prueba, basado en la teoría de haces: ^[5] Hay dos complejos importantes de haces en nuestra variedad (en qué categorías viven estos complejos es un problema sutil, seamos vagos al principio). El primero es el complejo de Rham , que está dado por los haces de formas -diferenciales en . El segundo es el complejo singular , que está dado por los haces de cocadenas singulares de , y es la versión relativa sobre del complejo de cocadena de grupos abelianos . La integración sobre símplices nos da un morfismo de haces de complejos . Dado que ambos objetos admiten partición de unidades, es un hecho estándar que las segundas páginas de las secuencias espectrales de hipercohomología para ambos solo tienen una columna distinta de cero cada una, por lo que las hipercohomologías de los dos complejos de haces de hecho calculan las cohomologías de Rham y singulares de . Por lo tanto, para demostrar el teorema de De Rham, basta con mostrar que es un isomorfismo. Para ello, observamos que hay morfismos naturales desde el haz constante hasta y , y el triángulo obvio conmuta. Además, por contractibilidad local tanto de la cohomología de De Rham como de la singular, los morfismos naturales son de hecho isomorfismos. Por la conmutatividad del triángulo, hemos demostrado la isomorfía deseada de , y la prueba está completa, excepto que necesitamos volver al problema sutil del principio: ¿en qué categoría de haces de complejos tiene sentido el argumento anterior? Dado que hemos utilizado la contractibilidad local de las cohomologías para concluir la isomorfía de los dos morfismos que salen de , la categoría real de haces de complejos no puede funcionar, y necesitamos pasar a la categoría derivada . Sin embargo, aunque el resultado final es verdadero en la 1-categoría derivada triangulada , para que el argumento anterior funcione bien, la 1-categoría derivada no es suficiente. Por ejemplo, los isomorfismos en la 1-categoría derivada no se pueden comprobar localmente sobre , pero concluimos la isomorfía de los dos morfismos que salen de comprobándola localmente. En resumen, necesitamos una categoría que, por un lado, convierta los isomorfismos cohomológicos en isomorfismos reales y, por otro lado, satisfaga la descendencia . La -categoría derivada ^[6] resulta ser la noción correcta. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{\bullet }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{sing}^{\bullet }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \int :\Omega _{M}^{\bullet }\to C_{sing}^{\bullet }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{\bullet }}$ ${\displaystyle C_{sing}^{\bullet }}$ ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \infty }$

Versión de homología singular

También existe una versión del teorema que implica homología singular en lugar de cohomología. Dice que el emparejamiento

${\displaystyle (\omega ,\sigma )\mapsto \int _{\sigma }\omega }$

induce un emparejamiento perfecto entre la cohomología de De Rham y la homología singular (suave); es decir,

${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathrm {deRham} }^{*}(M)\to \operatorname {H} _{*}^{\mathrm {sing} }(M)^{*},\,[\omega ]\mapsto \left([\sigma ]\mapsto \int _{\sigma }\omega \right)}$

es un isomorfismo de espacios vectoriales. ^[7]

Este teorema tiene la siguiente consecuencia (que resulta familiar en el cálculo): es decir, una forma diferencial cerrada es exacta si y solo si sus integraciones a lo largo de ciclos arbitrarios son todas cero. Para una forma unitaria, significa que una forma unitaria cerrada es exacta (es decir, admite una función potencial) si y solo si es independiente de una trayectoria . Esto es exactamente una afirmación en el cálculo. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \int _{\gamma }\omega }$ ${\displaystyle \gamma }$

Versión actual

También existe una versión actual (una forma diferencial con coeficientes de distribución) del teorema de De Rham, que dice que la cohomología singular puede calcularse como la cohomología del complejo de corrientes. ^[8] Esta versión es más débil en el sentido de que el isomorfismo no es un homomorfismo de anillo (ya que las corrientes no se pueden multiplicar y, por lo tanto, el espacio de corrientes no es un anillo).

Referencias

1. Warner 1983, 5.35.
2. Warner 1983, 36.5, 45.
3. Apéndice D. de Conlon, Lawrence (2001). Variedades diferenciables (2.ª ed.). Springer. doi :10.1007/978-0-8176-4767-4. ISBN 978-0-8176-4766-7.
4. Lee 2012, pág. Capítulo 18
5. Clausen 2021, pág. Lecciones 1 y 3
6. Lurie, Jacob (2017). Álgebra superior (PDF) . pp. Sección 1.
7. Warner 1983, 4.17.
8. Griffiths & Harris 1994 ^{[ página necesaria ]}

• Clausen, Dustin (2021), Cohomología de De Rham algebraica{{citation}}: CS1 maint: url-status (link)
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994). Principios de geometría algebraica . doi :10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9.
• Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves . doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . Nueva York: Springer. ISBN. 0-387-90894-3.
• Weil, André (1952). "Sur les théorèmes de de Rham". Comentarios Mathematici Helvetici . 26 : 119-145. doi :10.1007/BF02564296. S2CID  124799328.