Secuencia de haces exponenciales

En matemáticas , la secuencia de haces exponenciales es una secuencia fundamental, corta y exacta de haces utilizada en geometría compleja .

Sea M una variedad compleja y escriba O _M para el haz de funciones holomorfas en M . Sea O _M * el subhaz que consiste en las funciones holomorfas no nulas. Ambos son haces de grupos abelianos . La función exponencial da un homomorfismo de haces

${\displaystyle \exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}$

porque para una función holomorfa f , exp( f ) es una función holomorfa no nula, y exp( f  +  g ) = exp( f )exp( g ). Su núcleo es el haz 2π i Z de funciones localmente constantes en M que toman los valores 2π en , con n un entero . La secuencia de haces exponenciales es, por lo tanto

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

La aplicación exponencial aquí no siempre es una aplicación sobreyectiva en secciones; esto se puede ver, por ejemplo, cuando M es un disco perforado en el plano complejo. La aplicación exponencial es sobreyectiva en los tallos : Dado un germen g de una función holomorfa en un punto P tal que g ( P ) ≠ 0, se puede tomar el logaritmo de g en un entorno de P . La larga secuencia exacta de cohomología de haces muestra que tenemos una secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots }$

para cualquier conjunto abierto U de M . Aquí H ⁰ significa simplemente las secciones sobre U , y la cohomología del haz H ¹ (2π i Z | _U ) es la cohomología singular de U .

Se puede pensar en H ¹ (2π i Z | _U ) como la asociación de un entero a cada bucle en U . Para cada sección de O _M *, el homomorfismo de conexión a H ¹ (2π i Z | _U ) da el número de vueltas para cada bucle. Por lo tanto, este homomorfismo es un número de vueltas generalizado y mide la incapacidad de U para ser contráctil . En otras palabras, existe una obstrucción topológica potencial para tomar un logaritmo global de una función holomorfa no nula, algo que siempre es posible localmente .

Una consecuencia adicional de la secuencia es la exactitud de

${\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots .}$

Aquí H ¹ ( O _M *) puede identificarse con el grupo de Picard de fibrados lineales holomórficos en M . El homomorfismo de conexión envía un fibrado lineal a su primera clase de Chern .

Referencias

• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523, véase especialmente pág. 37 y pág. 139