Relación de equivalencia adecuada

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una relación de equivalencia adecuada es una relación de equivalencia en ciclos algebraicos de variedades proyectivas suaves utilizadas para obtener una teoría que funcione bien de dichos ciclos y, en particular, productos de intersección bien definidos . Pierre Samuel formalizó el concepto de relación de equivalencia adecuada en 1958. ^[1] Desde entonces se ha vuelto central para la teoría de los motivos. Para cada relación de equivalencia adecuada, se puede definir la categoría de motivos puros con respecto a esa relación.

Las posibles (y útiles) relaciones de equivalencia adecuadas incluyen la equivalencia racional , algebraica , homológica y numérica . Se les llama "adecuados" porque la división por la relación de equivalencia es funcional , es decir, el avance (con cambio de codimensión) y el retroceso de los ciclos están bien definidos. Los ciclos de codimensión 1 módulo de equivalencia racional forman el grupo clásico de divisores módulo de equivalencia lineal. Todos los ciclos en módulo de equivalencia racional forman el anillo de Chow .

Definición

Sea Z ^* ( X ) := Z [ X ] el grupo abeliano libre en los ciclos algebraicos de X. Entonces una relación de equivalencia adecuada es una familia de relaciones de equivalencia , ~ _X sobre Z ^* ( X ), una para cada variedad proyectiva suave X , que satisface las tres condiciones siguientes:

1. (Linealidad) La relación de equivalencia es compatible con la suma de ciclos.
2. ( Lema en movimiento ) Si hay ciclos en X , entonces existe un ciclo tal que ~ _X y se cruza correctamente. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$ ${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \beta }$
3. (Empujar hacia adelante) Dejemos y sean ciclos tales que se crucen correctamente. Si ~ _X 0, entonces ~ _Y 0, ¿dónde está la proyección? ${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$ ${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \times Y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$ ${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$

El ciclo de avance en el último axioma a menudo se denota

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

Si es la gráfica de una función , entonces esto se reduce al avance de la función. Las generalizaciones de funciones de X a Y a ciclos en X × Y se conocen como correspondencias . El último axioma nos permite adelantar ciclos mediante una correspondencia. ${\displaystyle \beta }$

Ejemplos de relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia más comunes, enumeradas de más fuerte a más débil, se recogen en la siguiente tabla.

Notas

1. Samuel, Pierre (1958), "Relations d'équivalence en géométrie algébrique" (PDF) , Proc. ICM , Universidad de Cambridge. Prensa: 470–487, archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2017 , consultado el 22 de julio de 2015
2. André, Yves (2004), Une introducción aux motivos (motivos purs, motivos mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, señor  2115000
3. Voevodsky, V. (1995), "Un teorema de nilpotencia para ciclos algebraicamente equivalente a 0", Int. Matemáticas. Res. Avisos , 4 : 1–12
4. André, Yves (2004), Une introducción aux motivos (motivos purs, motivos mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, señor  2115000

Referencias

• Kleiman, Steven L. (1972), "Motives", en Oort, F. (ed.), Geometría algebraica, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff , págs. 53–82, SEÑOR  0382267
• Jannsen, U. (2000), "Relaciones de equivalencia en ciclos algebraicos", The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles, OTAN, 200 , Kluwer Ac. Publ. Condado: 225–260