Paquete de vectores holomórficos

Fibrado vectorial complejo en una variedad compleja

En matemáticas , un fibrado vectorial holomorfo es un fibrado vectorial complejo sobre una variedad compleja X tal que el espacio total E es una variedad compleja y la función de proyección π : E → X es holomorfa . Ejemplos fundamentales son el fibrado tangente holomorfo de una variedad compleja y su dual, el fibrado cotangente holomorfo . Un fibrado lineal holomorfo es un fibrado vectorial holomorfo de rango uno.

Según la GAGA de Serre , la categoría de fibrados vectoriales holomórficos en una variedad proyectiva compleja suave X (vista como una variedad compleja) es equivalente a la categoría de fibrados vectoriales algebraicos (es decir, haces localmente libres de rango finito) en X.

Definición por trivialización

En concreto, se requiere que los mapas de trivialización

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

son mapas biholomórficos . Esto es equivalente a exigir que las funciones de transición

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

son aplicaciones holomorfas. La estructura holomorfa en el fibrado tangente de una variedad compleja está garantizada por la observación de que la derivada (en el sentido apropiado) de una función holomorfa de valor vectorial es en sí misma holomorfa.

El haz de secciones holomorfas

Sea E un fibrado vectorial holomorfo. Se dice que una sección local s  : U → E | _U es holomorfa si, en un entorno de cada punto de U , es holomorfa en alguna trivialización (cualquiera).

Esta condición es local, lo que significa que las secciones holomorfas forman un haz en X . Este haz a veces se denota por E , o de manera abusiva por E . Un haz de este tipo siempre es localmente libre y del mismo rango que el rango del fibrado vectorial. Si E es el fibrado lineal trivial , entonces este haz coincide con el haz de estructura de la variedad compleja X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Ejemplos básicos

Existen fibrados lineales sobre cuyas secciones globales corresponden polinomios homogéneos de grado (para un entero positivo). En particular, corresponde al fibrado lineal trivial. Si tomamos el recubrimiento entonces podemos encontrar gráficos definidos por ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

Podemos construir funciones de transición definidas por ${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Ahora bien, si consideramos el fibrado trivial podemos formar funciones de transición inducidas . Si utilizamos la coordenada en la fibra, entonces podemos formar funciones de transición. ${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi _{i,j}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

para cualquier entero . Cada uno de estos está asociado con un fibrado lineal . Dado que los fibrados vectoriales necesariamente se retraen, cualquier subvariedad holomorfa tiene un fibrado lineal asociado , a veces denotado . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

Operadores Dolbeault

Supongamos que E es un fibrado vectorial holomorfo. Entonces hay un operador distinguido definido de la siguiente manera. En una trivialización local de E , con marco local , cualquier sección puede escribirse para algunas funciones suaves . Defina un operador localmente mediante ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

donde es el operador regular de Cauchy–Riemann de la variedad base. Este operador está bien definido en todos los E porque en una superposición de dos trivializaciones con función de transición holomorfa , si donde es un marco local para E en , entonces , y así ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

porque las funciones de transición son holomorfas. Esto nos lleva a la siguiente definición: Un operador Dolbeault en un fibrado vectorial complejo suave es un operador -lineal ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

de tal manera que

• (Condición de Cauchy-Riemann) , ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• (Regla de Leibniz) Para cualquier sección y función en , se tiene ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

Mediante una aplicación del teorema de Newlander-Nirenberg , se obtiene una inversa a la construcción del operador de Dolbeault de un fibrado holomorfo: ^[1]

Teorema: Dado un operador de Dolbeault en un fibrado vectorial complejo suave , existe una estructura holomorfa única en tal que es el operador de Dolbeault asociado construido anteriormente. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Con respecto a la estructura holomorfa inducida por un operador Dolbeault , una sección suave es holomorfa si y solo si . Esto es moralmente similar a la definición de una variedad suave o compleja como un espacio anillado . Es decir, basta con especificar qué funciones en una variedad topológica son suaves o complejas, para imbuirla de una estructura suave o compleja. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

El operador de Dolbeault tiene inversa local en términos del operador de homotopía . ^[2]

Los haces de formas con valores en un haz vectorial holomórfico

Si denota el haz de formas diferenciales C ^∞ de tipo ( p , q ) , entonces el haz de formas de tipo ( p , q ) con valores en E puede definirse como el producto tensorial ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

Estos haces son finos , es decir, admiten particiones de unidad . Una distinción fundamental entre los fibrados vectoriales lisos y holomorfos es que en estos últimos existe un operador diferencial canónico, dado por el operador Dolbeault definido anteriormente:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

Cohomología de los fibrados vectoriales holomórficos

Si E es un fibrado vectorial holomorfo, la cohomología de E se define como la cohomología del haz de . En particular, tenemos ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

el espacio de secciones holomorfas globales de E . También tenemos que parametriza el grupo de extensiones del fibrado lineal trivial de X por E , es decir, secuencias exactas de fibrados vectoriales holomorfos 0 → E → F → X × C → 0 . Para la estructura del grupo, véase también suma de Baer así como extensión de haz . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

Por el teorema de Dolbeault , esta cohomología de haces puede describirse alternativamente como la cohomología del complejo de cadena definido por los haces de formas con valores en el fibrado holomorfo . Es decir, tenemos ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

El grupo Picard

En el contexto de la geometría diferencial compleja, el grupo de Picard Pic( X ) de la variedad compleja X es el grupo de clases de isomorfismo de fibras lineales holomorfas con ley de grupo dada por producto tensorial e inversión dada por dualización. Se puede definir de manera equivalente como el primer grupo de cohomología del haz de funciones holomorfas no nulas. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

Métricas hermíticas en un fibrado vectorial holomórfico

Sea E un fibrado vectorial holomorfo en una variedad compleja M y supongamos que existe una métrica hermítica en E ; es decir, las fibras E _x están equipadas con productos internos <·,·> que varían suavemente. Entonces existe una conexión única ∇ en E que es compatible tanto con la estructura compleja como con la estructura métrica, llamada conexión de Chern ; es decir, ∇ es una conexión tal que

(1) Para cualquier sección suave s de E , donde π _0,1 toma el componente (0, 1) de una forma 1 con valor E . ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

(2) Para cualquier sección suave s , t de E y un campo vectorial X en M ,

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

donde escribimos para la contracción de por X . (Esto es equivalente a decir que el transporte paralelo por ∇ preserva la métrica <·,·>.) ${\displaystyle \nabla _{X}s}$ ${\displaystyle \nabla s}$

De hecho, si u = ( e ₁ , …, e _n ) es un marco holomorfo, entonces sea y definamos ω _u por la ecuación , que escribimos de forma más simple como: ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

Si u' = ug es otro marco con un cambio de base holomórfico g , entonces

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

y entonces ω es de hecho una forma de conexión , dando lugar a ∇ por ∇ s = ds + ω · s . Ahora, dado que , ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

Es decir, ∇ es compatible con la estructura métrica. Finalmente, dado que ω es una forma (1, 0), el componente (0, 1) de es . ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

Sea la forma de curvatura de ∇. Puesto que los cuadrados son cero según la definición de un operador Dolbeault, Ω no tiene componente (0, 2) y puesto que se demuestra fácilmente que Ω es antihermítico, ^[3] tampoco tiene componente (2, 0). En consecuencia, Ω es una forma (1, 1) dada por ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

La curvatura Ω aparece de forma destacada en los teoremas de desaparición para una cohomología superior de los fibrados vectoriales holomórficos; por ejemplo, el teorema de desaparición de Kodaira y el teorema de desaparición de Nakano .

Véase también

• Teorema de Birkhoff-Grothendieck
• Métrica de Quillen
• Dualidad de Serre

Notas

1. Kobayashi, S. (2014). Geometría diferencial de fibrados vectoriales complejos (Vol. 793). Princeton University Press.
2. Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, las formas antiexactas y el oscilador armónico cuántico fermiónico". Resultados en Matemáticas . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383.
3. Por ejemplo, la existencia de una métrica hermítica en E significa que el grupo estructural del fibrado del marco puede reducirse al grupo unitario y Ω tiene valores en el álgebra de Lie de este grupo unitario, que consiste en métricas antihermíticas.

Referencias

• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523
• "Hacer vectorial, analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

• Principio de división de los fibrados vectoriales holomorfos