En matemáticas, particularmente en geometría algebraica, una isogenia es un morfismo de grupos algebraicos (también conocidos como variedades de grupos) que es sobreyectivo y tiene un núcleo finito .
Si los grupos son variedades abelianas , entonces cualquier morfismo f : A → B de las variedades algebraicas subyacentes que sea sobreyectivo con fibras finitas es automáticamente una isogenia, siempre que f (1 A ) = 1 B. Tal isogenia f entonces proporciona un homomorfismo de grupo entre los grupos de puntos k -valorados de A y B , para cualquier campo k sobre el cual f esté definido.
Los términos "isogenia" e "isógeno" provienen de la palabra griega ισογενη-ς, que significa "iguales en especie o naturaleza". El término "isogenia" fue introducido por Weil ; Antes de esto, el término "isomorfismo" se usaba de manera algo confusa para lo que ahora se llama isogenia.
Para variedades abelianas , como las curvas elípticas , esta noción también puede formularse de la siguiente manera:
Sean E 1 y E 2 variedades abelianas de la misma dimensión sobre un campo k . Una isogenia entre E 1 y E 2 es un morfismo denso f : E 1 → E 2 de variedades que conserva puntos base (es decir, f asigna el punto de identidad en E 1 al de E 2 ).
Esto es equivalente a la noción anterior, ya que todo morfismo denso entre dos variedades abelianas de la misma dimensión es automáticamente sobreyectivo con fibras finitas, y si conserva identidades entonces es un homomorfismo de grupos.
Dos variedades abelianas E 1 y E 2 se llaman isógenas si existe una isogenia E 1 → E 2 . Se puede demostrar que esto es una relación de equivalencia; en el caso de las curvas elípticas, la simetría se debe a la existencia de la isogenia dual . Como arriba, cada isogenia induce homomorfismos de los grupos de puntos con valor k de las variedades abelianas.