Localización de una categoría.

En matemáticas , la localización de una categoría consiste en agregar a una categoría morfismos inversos para alguna colección de morfismos, restringiéndolos a convertirse en isomorfismos . Esto es formalmente similar al proceso de localización de un anillo ; en general hace que los objetos sean isomórficos que antes no lo eran. En la teoría de la homotopía , por ejemplo, hay muchos ejemplos de asignaciones que son invertibles hasta la homotopía; y clases tan grandes de espacios equivalentes de homotopía ^{[ se necesita aclaración ]} . Cálculo de fracciones es otro nombre para trabajar en una categoría localizada.

Introducción y motivación.

Una categoría C consta de objetos y morfismos entre estos objetos. Los morfismos reflejan relaciones entre los objetos. En muchas situaciones, tiene sentido reemplazar C por otra categoría C' en la que ciertos morfismos se ven obligados a ser isomorfismos. Este proceso se llama localización.

Por ejemplo, en la categoría de R - módulos (para algún anillo conmutativo fijo R ), la multiplicación por un elemento fijo r de R normalmente (es decir, a menos que r sea una unidad ) no es un isomorfismo:

${\displaystyle M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}$

La categoría que está más estrechamente relacionada con R -módulos, pero donde este mapa es un isomorfismo resulta ser la categoría de -módulos. Aquí está la localización de R con respecto al subconjunto S (multiplicativamente cerrado) que consta de todas las potencias de r . La expresión "más estrechamente relacionado" está formalizada por dos condiciones: primero, hay un functor ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}}$

${\displaystyle \varphi :{\text{Mod}}_{R}\to {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}$

enviando cualquier R -módulo a su localización con respecto a S . Además, dada cualquier categoría C y cualquier funtor

${\displaystyle F:{\text{Mod}}_{R}\to C}$

enviando el mapa de multiplicación por r en cualquier módulo R (ver arriba) a un isomorfismo de C , hay un funtor único

${\displaystyle G:{\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to C}$

tal que . ${\displaystyle F=G\circ \varphi }$

Localización de categorías

Los ejemplos anteriores de localización de módulos R se resumen en la siguiente definición. De esta forma, se aplica en muchos más ejemplos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Dada una categoría C y alguna clase W de morfismos en C , la localización C [ W ⁻¹ ] es otra categoría que se obtiene invirtiendo todos los morfismos en W. Más formalmente, se caracteriza por una propiedad universal : hay un funtor de localización natural C → C [ W ⁻¹ ] y dada otra categoría D , un funtor F : C → D se factoriza únicamente sobre C [ W ⁻¹ ] si y sólo si F envía todas las flechas en W a isomorfismos.

Por tanto, la localización de una categoría es única hasta el isomorfismo único de categorías, siempre que exista. Una construcción de la localización se realiza declarando que sus objetos son los mismos que los de C , pero los morfismos se mejoran agregando un inverso formal para cada morfismo en W. Bajo hipótesis adecuadas sobre W , ^[1] los morfismos del objeto X al objeto Y están dados por techos

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\leftarrow }}X'\rightarrow Y}$

(donde X' es un objeto arbitrario de C y f está en la clase W dada de morfismos), módulo ciertas relaciones de equivalencia. Estas relaciones convierten el mapa que va en la dirección "incorrecta" en una inversa de f . Este "cálculo de fracciones" puede verse como una generalización de la construcción de números racionales como clases de equivalencia de pares de números enteros.

Este procedimiento, sin embargo, en general produce una clase adecuada de morfismos entre X e Y. Normalmente, a los morfismos de una categoría sólo se les permite formar un conjunto. Algunos autores simplemente ignoran estas cuestiones de la teoría de conjuntos.

Categorías de modelos

Una construcción rigurosa de localización de categorías, evitando estos problemas de la teoría de conjuntos, fue una de las razones iniciales para el desarrollo de la teoría de categorías modelo : una categoría modelo M es una categoría en la que hay tres clases de mapas; una de estas clases es la clase de equivalencias débiles . La categoría de homotopía Ho( M ) es entonces la localización con respecto a las equivalencias débiles. Los axiomas de una categoría de modelo aseguran que esta localización pueda definirse sin dificultades teóricas de conjuntos.

Definición alternativa

Algunos autores también definen una localización de una categoría C como un funtor idempotente y coaumentado. Un functor coaumentado es un par (L,l) donde L:C → C es un endofunctor y l:Id → L es una transformación natural del funtor identidad a L (llamado coaumento). Un functor coaumentado es idempotente si, para cada X , ambos mapas L(l _X ),l _L(X) :L(X) → LL(X) son isomorfismos. Se puede demostrar que en este caso ambos mapas son iguales. ^[2]

Esta definición está relacionada con la dada anteriormente de la siguiente manera: aplicando la primera definición, hay, en muchas situaciones, no solo un funtor canónico , sino también un funtor en la dirección opuesta, ${\displaystyle C\to C[W^{-1}]}$

${\displaystyle C[W^{-1}]\to C.}$

Por ejemplo, los módulos sobre la localización de un anillo también son módulos sobre el propio R , lo que da un functor ${\displaystyle R[S^{-1}]}$

${\displaystyle {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to {\text{Mod}}_{R}}$

En este caso, la composición

${\displaystyle L:C\to C[W^{-1}]\to C}$

es una localización de C en el sentido de un funtor idempotente y coaumentado.

Ejemplos

Teoría C de Serre

Serre introdujo la idea de trabajar en la teoría de la homotopía módulo alguna clase C de grupos abelianos . Esto significaba que los grupos A y B eran tratados como isomorfos, si por ejemplo A /B estaba en C.

Teoría del módulo

En la teoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , cuando R tiene dimensión de Krull ≥ 2, puede ser útil tratar los módulos M y N como pseudoisomorfos si M/N tiene soporte de codimensión al menos dos. Esta idea es muy utilizada en la teoría de Iwasawa .

Categorías derivadas

La categoría derivada de una categoría abeliana se usa mucho en álgebra homológica . Es la localización de la categoría de complejos de cadenas (hasta la homotopía) con respecto a los cuasiisomorfismos .

Cocientes de categorías abelianas

Dada una categoría abeliana A y una subcategoría B de Serre, se puede definir la categoría de cociente A/B, que es una categoría abeliana equipada con un functor exacto de A a A/B que es esencialmente sobreyectivo y tiene núcleo B. Esta categoría de cociente puede construirse como una localización de A por la clase de morfismos cuyo núcleo y cokernel están ambos en B.

Variedades abelianas hasta la isogenia.

Una isogenia de una variedad abeliana A a otra B es un morfismo sobreyectivo con núcleo finito . Algunos teoremas sobre variedades abelianas requieren la idea de variedad abeliana hasta la isogenia para su conveniente enunciado. Por ejemplo, dada una subvariedad abeliana A ₁ de A , existe otra subvariedad A ₂ de A tal que

Un ₁ × Un ₂

es isógeno a A (teorema de reducibilidad de Poincaré: ver, por ejemplo, Variedades abelianas de David Mumford ). Para llamar a esto una descomposición por suma directa , deberíamos trabajar en la categoría de variedades abelianas hasta la isogenia.

Conceptos relacionados

La localización de un espacio topológico , introducida por Dennis Sullivan , produce otro espacio topológico cuya homología es una localización de la homología del espacio original.

Un concepto mucho más general del álgebra homotópica , que incluye como casos especiales tanto la localización de espacios como de categorías, es la localización de Bousfield de una categoría modelo . La localización de Bousfield obliga a ciertos mapas a convertirse en equivalencias débiles , lo que en general es más débil que obligarlos a convertirse en isomorfismos. ^[3]

Ver también

• Localización sencilla

Referencias

1. Gabriel, Pedro ; Zisman, Michel (1967). Cálculo de fracciones y teoría de la homotopía (PDF) . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 35. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 12.
2. Idempotentes en categorías monoidales
3. Philip S. Hirschhorn: categorías de modelos y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 ., Definición 3.3.1