Teoría de la homotopía

rama de las matemáticas

En matemáticas , la teoría de la homotopía es un estudio sistemático de situaciones en las que pueden surgir mapas con homotopías entre ellos. Se originó como un tema de topología algebraica pero hoy en día se aprende como una disciplina independiente. Además de la topología algebraica, la teoría también se ha utilizado en otras áreas de las matemáticas, como la geometría algebraica (p. ej., teoría de la homotopía A 1 ) y la teoría de categorías (específicamente el estudio de categorías superiores ).

Conceptos

Espacios y mapas

En teoría de homotopía y topología algebraica, la palabra "espacio" denota un espacio topológico . Para evitar patologías , rara vez se trabaja con espacios arbitrarios; en cambio, se requieren espacios para cumplir con restricciones adicionales, como ser generado de forma compacta , o Hausdorff , o un complejo CW .

En la misma línea que lo anterior, un " mapa " es una función continua, posiblemente con algunas restricciones adicionales.

A menudo se trabaja con un espacio puntiagudo , es decir, un espacio con un "punto distinguido", llamado punto base. Un mapa puntiagudo es entonces un mapa que conserva puntos base; es decir, envía el punto base del dominio al del codominio. Por el contrario, un mapa libre es aquel que no necesita conservar los puntos de base.

homotopía

Denotemos el intervalo unitario. Una familia de aplicaciones indexadas por I se denomina homotopía desde a si es una aplicación (por ejemplo, debe ser una función continua ). Cuando X , Y son espacios puntiagudos, es necesario preservar los puntos base. Se puede demostrar que una homotopía es una relación de equivalencia . Dado un espacio puntiagudo X y un número entero , sean las clases de homotopía de mapas basados ​​desde una n -esfera (puntiaguda) hasta X. Resulta que son grupos ; en particular, se llama grupo fundamental de X. ${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}}$ ${\displaystyle S^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Si se prefiere trabajar con un espacio en lugar de un espacio puntiagudo, existe la noción de grupoide fundamental (y variantes superiores): por definición, el grupoide fundamental de un espacio X es la categoría donde los objetos son los puntos de X y los morfismos son caminos.

Cofibración y fibración.

Un mapa se llama cofibración si dado (1) un mapa y (2) una homotopía , existe una homotopía que se extiende y tal que . En cierto sentido, es un análogo del diagrama definitorio de un módulo inyectivo en álgebra abstracta . El ejemplo más básico es un par CW ; Dado que muchos trabajan sólo con complejos CW, la noción de cofibración suele estar implícita. ${\displaystyle f:A\to X}$ ${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$ ${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Una fibración en el sentido de Serre es la noción dual de una cofibración: es decir, una aplicación es una fibración si dada (1) una aplicación y (2) una homotopía , existe una homotopía tal que es la dada y . Un ejemplo básico es un mapa de cobertura (de hecho, una fibración es una generalización de un mapa de cobertura). Si es un paquete G principal , es decir, un espacio con una acción de grupo (topológica) libre y transitiva de un grupo ( topológico ), entonces el mapa de proyección es un ejemplo de fibración. ${\displaystyle p:X\to B}$ ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$ ${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p:E\to X}$

Clasificación de espacios y operaciones de homotopía.

Dado un grupo topológico G , el espacio de clasificación para G -paquetes principales ("el" hasta la equivalencia) es un espacio tal que, para cada espacio X , ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle [X,BG]=}${ paquete G principal en X } / ~ ${\displaystyle ,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG}$

dónde

• el lado izquierdo es el conjunto de clases de mapas de homotopía , ${\displaystyle X\to BG}$
• ~ se refiere al isomorfismo de paquetes, y
• = se obtiene haciendo retroceder el paquete distinguido ( llamado paquete universal) a lo largo de un mapa . ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X\to BG}$

El teorema de representabilidad de Brown garantiza la existencia de espacios clasificadores.

Espectro y cohomología generalizada.

La idea de que un espacio de clasificación clasifica paquetes principales puede llevarse más lejos. Por ejemplo, se podría intentar clasificar las clases de cohomología: dado un grupo abeliano A (como ), ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)}$

¿ Dónde está el espacio de Eilenberg-MacLane ? La ecuación anterior conduce a la noción de una teoría de cohomología generalizada; es decir, un functor contravariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface los axiomas que generalizan la teoría de la cohomología ordinaria. Resulta que tal funtor puede no ser representable mediante un espacio, pero siempre puede representarse mediante una secuencia de espacios (puntiagudos) con mapas de estructura llamados espectro. En otras palabras, dar una teoría de cohomología generalizada es dar un espectro. ${\displaystyle K(A,n)}$

Un ejemplo básico de espectro es un espectro de esfera : ${\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }$

Teoremas clave

• Teorema de Seifert-van Kampen
• Teorema de escisión de homotopía
• Teorema de suspensión de Freudenthal (un corolario del teorema de escisión)
• Teorema del funtor exacto de Landweber
• Correspondencia Dold-Kan
• Argumento de Eckmann-Hilton : esto muestra, por ejemplo, que los grupos de homotopía superior son abelianos .
• Teorema del coeficiente universal

Teoría de la obstrucción y clase característica.

Ver también: Clase característica , Torre Postnikov , Torsión de Whitehead

Localización y finalización de un espacio.

Teorías específicas

Hay varias teorías específicas.

• teoría de la homotopía simple
• teoría de la homotopía estable
• teoría de la homotopía cromática
• teoría de la homotopía racional
• teoría de la homotopía p-ádica
• teoría de la homotopía equivariante

Hipótesis de homotopía

Una de las cuestiones básicas en los fundamentos de la teoría de la homotopía es la naturaleza de un espacio. La hipótesis de la homotopía pregunta si un espacio es algo fundamentalmente algebraico.

Teoría abstracta de la homotopía

Conceptos

• secuencia de fibras
• secuencia de cofibra

Categorías de modelos

Teoría de la homotopía simple

• Homotopía simple

Ver también

• Espectro de anillo altamente estructurado
• Teoría del tipo de homotopía
• Persiguiendo pilas
• Teoría de la forma

Referencias

• May, J. Un curso conciso en topología algebraica
• George William Whitehead (1978). Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 61 (3ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. págs. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. SEÑOR  0516508 . Consultado el 6 de septiembre de 2011 .
• Ronald Brown, Topología y grupoides (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 . 

Otras lecturas

• Las notas de Cisinski
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
• Matemáticas 527 - Teoría de la homotopía Primavera de 2013, Sección F1, conferencias de Martin Frankland

enlaces externos

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory