Subcategoría de localización

En matemáticas, Serre y las subcategorías de localización forman clases importantes de subcategorías de una categoría abeliana . Las subcategorías de localización son determinadas subcategorías de Serre. Están fuertemente vinculados a la noción de categoría de cociente .

Serre subcategorías

Sea una categoría abeliana . Una subcategoría completa no vacía se llama subcategoría Serre (o también subcategoría densa ), si por cada secuencia exacta corta en el objeto está en si y solo si los objetos y pertenecen a . En palabras: se cierra bajo subobjetos, objetos cocientes y extensiones. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Cada subcategoría de Serre es en sí misma una categoría abeliana y el funtor de inclusión es exacto . La importancia de esta noción surge del hecho de que los núcleos de functores exactos entre categorías abelianas son subcategorías de Serre, y que se puede construir (para localmente pequeñas ) la categoría cociente (en el sentido de Gabriel , Grothendieck , Serre ) , que tiene el mismo objetos como , es abeliano y viene con un funtor exacto (llamado functor cociente) cuyo núcleo es . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Localizando subcategorías

Seamos localmente pequeños. La subcategoría de Serre se llama localización si el funtor cociente tiene un adjunto derecho . Desde entonces , como adjunto izquierdo, conserva colimits , cada subcategoría de localización está cerrada bajo colimits. El funtor (o a veces ) también se llama funtor de localización y funtor de sección . El functor de sección es exacto a la izquierda y totalmente fiel . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ST}$ ${\displaystyle S}$

Si la categoría abeliana es además cocompleta y tiene estructuras inyectivas (por ejemplo, si es una categoría de Grothendieck ), entonces una subcategoría de Serre se localiza si y sólo si está cerrada bajo coproductos arbitrarios (también conocidos como sumas directas). Por tanto, la noción de subcategoría localizadora es equivalente a la noción de clase de torsión hereditaria . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Si es una categoría de Grothendieck y una subcategoría de localización, entonces y la categoría del cociente son nuevamente categorías de Grothendieck. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$

El teorema de Gabriel-Popescu implica que cada categoría de Grothendieck es la categoría cociente de una categoría de módulo (con un anillo adecuado ) módulo de una subcategoría de localización. ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Ver también

• Subcategoría Giraud

Referencias

• Nicolae Popescu ; 1973; Categorías Abelianas con Aplicaciones a Anillos y Módulos ; Prensa académica, Inc.; agotado.