En teoría de números y geometría algebraica , un punto racional de variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas pertenecen a un campo determinado . Si no se menciona el campo, generalmente se entiende el campo de los números racionales . Si el campo es el campo de números reales , un punto racional se llama más comúnmente punto real .
Comprender los puntos racionales es un objetivo central de la teoría de números y la geometría diofántica . Por ejemplo, el último teorema de Fermat se puede reformular como: para n > 2 , la curva de ecuación de Fermat no tiene otros puntos racionales que (1, 0) , (0, 1) y, si n es par, (–1, 0) y (0, –1) .
Dado un campo k y una extensión algebraicamente cerrada K de k , una variedad afín X sobre k es el conjunto de ceros comunes en K n de una colección de polinomios con coeficientes en k :
Estos ceros comunes se llaman puntos de X.
Un k - punto racional (o k - punto ) de X es un punto de X que pertenece a k n , es decir, una secuencia de n elementos de k tal que para todo j . El conjunto de k -puntos racionales de X a menudo se denota por X ( k ) .
A veces, cuando se entiende el cuerpo k , o cuando k es el campo de los números racionales , se dice "punto racional" en lugar de " k -punto racional".
Por ejemplo, los puntos racionales del círculo unitario de la ecuación
son los pares de números racionales
donde ( a, b, c ) es una terna pitagórica .
El concepto también tiene sentido en entornos más generales. Una variedad proyectiva X en el espacio proyectivo sobre un campo k puede definirse mediante una colección de ecuaciones polinómicas homogéneas en variables. Un punto k de escrito está dado por una secuencia de n + 1 elementos de k , no todos cero, en el entendido de que multiplicar todo por el mismo elemento distinto de cero de k da el mismo punto en el espacio proyectivo. Entonces un k -punto de X significa un k -punto en el que los polinomios dados desaparecen.
De manera más general, sea X un esquema sobre un campo k . Esto significa que se da un morfismo de esquemas f : X → Spec ( k ) . Entonces un punto k de X significa una sección de este morfismo, es decir, un morfismo a : Spec( k ) → X tal que la composición fa es la identidad en Spec( k ) . Esto concuerda con las definiciones anteriores cuando X es una variedad afín o proyectiva (vista como un esquema sobre k ).
Cuando X es una variedad sobre un campo algebraicamente cerrado k , gran parte de la estructura de X está determinada por su conjunto X ( k ) de k -puntos racionales. Sin embargo, para un campo general k , X ( k ) proporciona sólo información parcial sobre X. En particular, para una variedad X sobre un campo k y cualquier extensión de campo E de k , X también determina el conjunto X ( E ) de E - puntos racionales de X , es decir, el conjunto de soluciones de las ecuaciones que definen X con valores en E. .
Ejemplo: Sea X la curva cónica en el plano afín A 2 sobre los números reales. Entonces el conjunto de puntos reales está vacío, porque el cuadrado de cualquier número real no es negativo. Por otro lado, en la terminología de la geometría algebraica, la variedad algebraica X over no está vacía, porque el conjunto de puntos complejos no está vacío.
De manera más general, para un esquema X sobre un anillo conmutativo R y cualquier R - álgebra S conmutativa , el conjunto X ( S ) de S - puntos de X significa el conjunto de morfismos Spec( S ) → X sobre Spec( R ) . El esquema X está determinado hasta el isomorfismo por el funtor S ↦ X ( S ) ; esta es la filosofía de identificar un esquema con su funtor de puntos . Otra formulación es que el esquema X sobre R determina un esquema X S sobre S por cambio de base , y los puntos S de X (sobre R ) pueden identificarse con los puntos S de X S (sobre S ).
La teoría de las ecuaciones diofánticas tradicionalmente significó el estudio de puntos integrales , es decir, soluciones de ecuaciones polinómicas en números enteros en lugar de racionales. Para ecuaciones polinómicas homogéneas, como los dos problemas son esencialmente equivalentes, ya que cada punto racional se puede escalar para convertirse en un punto integral. .
Gran parte de la teoría de números puede verse como el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas, siendo un escenario conveniente las variedades proyectivas suaves . Para curvas proyectivas suaves , el comportamiento de los puntos racionales depende en gran medida del género de la curva.
Cada curva proyectiva suave X de género cero sobre un campo k es isomorfa a una curva cónica (grado 2) en Si X tiene un k -punto racional, entonces es isomorfa a sobre k , por lo que sus k -puntos racionales se entienden completamente . [1] Si k es el cuerpo de los números racionales (o más generalmente un campo numérico ), existe un algoritmo para determinar si una cónica dada tiene un punto racional, basado en el principio de Hasse : una cónica tiene un punto racional si y solo si tiene un punto sobre todas las terminaciones de es decir, sobre y todos los campos p -ádicos
Es más difícil determinar si una curva de género 1 tiene un punto racional. El principio de Hasse falla en este caso: por ejemplo, según Ernst Selmer , la curva cúbica tiene un punto sobre todas las terminaciones de pero ningún punto racional. [2] El fallo del principio de Hasse para curvas de género 1 lo mide el grupo de Tate-Shafarevich .
Si X es una curva de género 1 con un punto k -racional p 0 , entonces X se llama curva elíptica sobre k . En este caso, X tiene la estructura de un grupo algebraico conmutativo (con p 0 como elemento cero), por lo que el conjunto X ( k ) de k -puntos racionales es un grupo abeliano . El teorema de Mordell-Weil dice que para una curva elíptica (o, más generalmente, una variedad abeliana ) X sobre un campo numérico k , el grupo abeliano X ( k ) se genera de forma finita . Los programas de álgebra informática pueden determinar el grupo X ( k ) de Mordell-Weil en muchos ejemplos, pero no se sabe si existe un algoritmo que siempre tenga éxito en calcular este grupo. Eso se desprendería de la conjetura de que el grupo Tate-Shafarevich es finito, o de la conjetura relacionada de Birch-Swinnerton-Dyer . [3]
El teorema de Faltings (anteriormente la conjetura de Mordell) dice que para cualquier curva X de género al menos 2 sobre un campo numérico k , el conjunto X ( k ) es finito. [4]
Algunos de los grandes logros de la teoría de números equivalen a determinar los puntos racionales en curvas particulares. Por ejemplo, el último teorema de Fermat (probado por Richard Taylor y Andrew Wiles ) es equivalente a la afirmación de que para un número entero n al menos 3, los únicos puntos racionales de la curva en over son los obvios: [0,1,1] y [1,0,1] ; [0,1,−1] y [1,0,−1] para n par; y [1,−1,0] para n impar. La curva X (como cualquier curva suave de grado n en ) tiene género
No se sabe si existe un algoritmo para encontrar todos los puntos racionales en una curva arbitraria de género al menos 2 en un campo numérico. Existe un algoritmo que funciona en algunos casos. Su terminación en general se seguiría de las conjeturas de que el grupo Tate-Shafarevich de una variedad abeliana sobre un campo numérico es finito y que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse, en el caso de curvas. [5]
En dimensiones superiores, un objetivo unificador es la conjetura de Bombieri - Lang de que, para cualquier variedad X de tipo general sobre un campo numérico k , el conjunto de k -puntos racionales de X no es denso de Zariski en X. (Es decir, los k -puntos racionales están contenidos en una unión finita de subvariedades de dimensiones inferiores de X ). En la dimensión 1, este es exactamente el teorema de Faltings, ya que una curva es de tipo general si y sólo si tiene género al menos 2. Lang también hizo conjeturas más finas relacionando la finitud de los puntos racionales con la hiperbolicidad de Kobayashi . [6]
Por ejemplo, la conjetura de Bombieri-Lang predice que una hipersuperficie suave de grado d en el espacio proyectivo sobre un campo numérico no tiene puntos racionales densos de Zariski si d ≥ n + 2 . No se sabe mucho sobre ese caso. El resultado más sólido conocido de la conjetura de Bombieri-Lang es el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas (que generaliza el caso de las curvas). Es decir, si X es una subvariedad de una variedad abeliana A sobre un campo numérico k , entonces todos los k puntos racionales de X están contenidos en una unión finita de traducciones de subvariedades abelianas contenidas en X. [7] (Entonces, si X no contiene subvariedades abelianas traducidas de dimensión positiva, entonces X ( k ) es finito).
En la dirección opuesta, se dice que una variedad X sobre un campo numérico k tiene puntos racionales potencialmente densos si hay un campo de extensión finito E de k tal que los E -puntos racionales de X son densos en Zariski en X. Frédéric Campana conjeturó que una variedad es potencialmente densa si y sólo si no tiene fibración racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general. [8] Un caso conocido es que cada superficie cúbica en un campo numérico k tiene puntos racionales potencialmente densos, porque (más fuertemente) se vuelve racional sobre alguna extensión finita de k (a menos que sea el cono sobre una curva cúbica plana). La conjetura de Campana también implicaría que una superficie K3 X (como una superficie cuártica suave en ) sobre un campo numérico tiene puntos racionales potencialmente densos. Esto sólo se sabe en casos especiales, por ejemplo si X tiene una fibración elíptica . [9]
Cabe preguntarse cuándo una variedad tiene un punto racional sin ampliar el campo base. En el caso de una hipersuperficie X de grado d sobre un campo numérico, hay buenos resultados cuando d es mucho más pequeño que n , a menudo basado en el método del círculo de Hardy-Littlewood . Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski dice que el principio de Hasse se cumple para hipersuperficies cuádricas sobre un campo numérico (el caso d = 2 ). Christopher Hooley demostró el principio de Hasse para hipersuperficies cúbicas suaves cuando n ≥ 8 . [10] En dimensiones superiores, aún más es cierto: cada cúbica suave en over tiene un punto racional cuando n ≥ 9 , por Roger Heath-Brown . [11] De manera más general, el teorema de Birch dice que para cualquier entero positivo impar d , existe un número entero N tal que para todo n ≥ N , cada hipersuperficie de grado d en over tiene un punto racional.
Para hipersuperficies de menor dimensión (en términos de grado), las cosas pueden ser más complicadas. Por ejemplo , el principio de Hasse falla para la superficie cúbica lisa de Ian Cassels y Richard Guy. [12] Jean-Louis Colliot-Thélène ha conjeturado que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse para superficies cúbicas. De manera más general, esto debería ser válido para toda variedad racionalmente conectada en un campo numérico. [13]
En algunos casos, se sabe que X tiene "muchos" puntos racionales siempre que tenga uno. Por ejemplo, ampliando el trabajo de Beniamino Segre y Yuri Manin , János Kollár demostró: para una hipersuperficie cúbica X de dimensión al menos 2 sobre un campo perfecto k con X no un cono, X es uniracional sobre k si tiene un k -punto racional . [14] (En particular, para k infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de k -puntos racionales es denso en Zariski en X ). La conjetura de Manin es una afirmación más precisa que describiría las asintóticas del número de puntos racionales de altura acotada. sobre una variedad Fano .
Una variedad X sobre un cuerpo finito k tiene sólo un número finito de k puntos racionales. Las conjeturas de Weil , demostradas por André Weil en la dimensión 1 y por Pierre Deligne en cualquier dimensión, dan estimaciones sólidas del número de k puntos en términos de los números de Betti de X. Por ejemplo, si X es una curva proyectiva suave de género g sobre un campo k de orden q (una potencia prima), entonces
Para una hipersuperficie suave X de grado d sobre un campo k de orden q , el teorema de Deligne da el límite: [15]
También hay resultados significativos sobre cuándo una variedad proyectiva sobre un cuerpo finito k tiene al menos un k -punto racional. Por ejemplo, el teorema de Chevalley-Warning implica que cualquier hipersuperficie X de grado d sobre un campo finito k tiene un k -punto racional si d ≤ n . Para X suave , esto también se sigue del teorema de Hélène Esnault de que cada variedad proyectiva suave conectada racionalmente en cadena , por ejemplo cada variedad Fano, sobre un campo finito k tiene un k -punto racional. [dieciséis]
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