En álgebra abstracta , un grupo abeliano se llama generado finitamente si existen un número finito de elementos en tales que cada uno puede escribirse en la forma de algunos números enteros . En este caso decimos que el conjunto es un conjunto generador de o que generan .
Todo grupo abeliano finito se genera de forma finita. Los grupos abelianos generados finitamente se pueden clasificar completamente.
No hay otros ejemplos (hasta el isomorfismo). En particular, el grupo de números racionales no se genera de forma finita: [1] si son números racionales, elija un número natural coprimo a todos los denominadores; entonces no puede ser generado por . El grupo de números racionales distintos de cero tampoco se genera de forma finita. Los grupos de números reales mediante suma y números reales distintos de cero mediante multiplicación tampoco se generan de forma finita. [1] [2]
El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos generados se puede enunciar de dos maneras, generalizando las dos formas del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos . El teorema, en ambas formas, a su vez se generaliza al teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , que a su vez admite más generalizaciones.
La formulación de descomposición primaria establece que cada grupo abeliano G generado finitamente es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos primarios y grupos cíclicos infinitos . Un grupo cíclico primario es aquel cuyo orden es una potencia de un primo . Es decir, todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un grupo de la forma
donde n ≥ 0 es el rango , y los números q 1 , ..., q t son potencias de números primos (no necesariamente distintos). En particular, G es finito si y sólo si n = 0. Los valores de n , q 1 , ..., q t están ( hasta reordenar los índices) determinados unívocamente por G , es decir, hay uno y sólo uno manera de representar G como tal descomposición.
La prueba de esta afirmación utiliza el teorema básico del grupo abeliano finito : cada grupo abeliano finito es una suma directa de grupos cíclicos primarios . Denota el subgrupo de torsión de G como tG . Entonces, G/tG es un grupo abeliano libre de torsión y, por tanto, es abeliano libre. tG es una suma directa de G , lo que significa que existe un subgrupo F de G st , donde . Entonces, F también es abeliano libre. Dado que tG se genera de forma finita y cada elemento de tG tiene orden finito, tG es finito. Según el teorema de base para un grupo abeliano finito, tG se puede escribir como suma directa de grupos cíclicos primarios.
También podemos escribir cualquier grupo abeliano G generado finitamente como una suma directa de la forma
donde k 1 divide k 2 , que divide k 3 y así sucesivamente hasta k u . Nuevamente, el rango n y los factores invariantes k 1 , ..., k u están determinados únicamente por G (aquí con un orden único). El rango y la secuencia de factores invariantes determinan el grupo hasta el isomorfismo.
Estas afirmaciones son equivalentes como resultado del teorema chino del resto , que implica que si y sólo si j y k son coprimos .
La historia y el crédito del teorema fundamental se complican por el hecho de que se demostró cuando la teoría de grupos no estaba bien establecida y, por lo tanto, las primeras formas, si bien son esencialmente el resultado y la prueba modernos, a menudo se afirman para un caso específico. Brevemente, Gauss demostró una forma temprana del caso finito en 1801, Kronecker demostró el caso finito en 1870 y Frobenius y Stickelberger lo expresaron en términos de teoría de grupos en 1878. [ cita necesaria ] El caso presentado finitamente está resuelto por Smith forma normal , y por lo tanto frecuentemente acreditado a (Smith 1861), [3] aunque el caso generado finitamente a veces se atribuye a Poincaré en 1900; [ cita necesaria ] a continuación los detalles.
El teórico de grupos László Fuchs afirma: [3]
En lo que respecta al teorema fundamental sobre los grupos abelianos finitos, no está claro hasta dónde hay que remontarse en el tiempo para rastrear su origen. ... tomó mucho tiempo formular y demostrar el teorema fundamental en su forma actual ...
El teorema fundamental para grupos abelianos finitos fue demostrado por Leopold Kronecker en 1870, [ cita necesaria ] utilizando una prueba de teoría de grupos, [4] aunque sin expresarlo en términos de teoría de grupos; [5] se ofrece una presentación moderna de la prueba de Kronecker en (Stillwell 2012), 5.2.2 Teorema de Kronecker, 176-177. Esto generalizó un resultado anterior de Carl Friedrich Gauss de Disquisitiones Arithmeticae (1801), que clasificaba formas cuadráticas; Kronecker citó este resultado de Gauss. El teorema fue enunciado y demostrado en el lenguaje de grupos por Ferdinand Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger en 1878. [6] [7] El alumno de Kronecker, Eugen Netto, dio otra formulación de teoría de grupos en 1882. [8] [9]
El teorema fundamental para los grupos abelianos presentados finitamente fue demostrado por Henry John Stephen Smith en (Smith 1861), [3] ya que las matrices enteras corresponden a presentaciones finitas de grupos abelianos (esto se generaliza a módulos presentados finitamente sobre un dominio ideal principal), y Smith La forma normal corresponde a clasificar grupos abelianos presentados finitamente.
El teorema fundamental para grupos abelianos generados finitamente fue demostrado por Henri Poincaré en 1900, utilizando una prueba matricial (que se generaliza a dominios ideales principales). [ cita necesaria ] Esto se hizo en el contexto de calcular la homología de un complejo, específicamente el número de Betti y los coeficientes de torsión de una dimensión del complejo, donde el número de Betti corresponde al rango de la parte libre y los coeficientes de torsión corresponden a la parte de torsión. [4]
La prueba de Kronecker fue generalizada a grupos abelianos generados de forma finita por Emmy Noether en 1926. [4]
Dicho de otra manera, el teorema fundamental dice que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, siendo cada uno de ellos único hasta el isomorfismo. El grupo abeliano finito es simplemente el subgrupo de torsión de G. El rango de G se define como el rango de la parte libre de torsión de G ; este es solo el número n en las fórmulas anteriores.
Un corolario del teorema fundamental es que todo grupo abeliano libre de torsión generado finitamente es abeliano libre. La condición generada finitamente es esencial aquí: es abeliano libre de torsión pero no libre.
Cada subgrupo y grupo de factores de un grupo abeliano finitamente generado es nuevamente abeliano finitamente generado. Los grupos abelianos generados finitamente, junto con los homomorfismos de grupo , forman una categoría abeliana que es una subcategoría de Serre de la categoría de grupos abelianos .
Tenga en cuenta que no todos los grupos abelianos de rango finito se generan de forma finita; el grupo de rango 1 es un contraejemplo, y el grupo de rango 0 dado por una suma directa de infinitas copias contables de es otro.
