Variedad racional

Variedad algebraica

En matemáticas , una variedad racional es una variedad algebraica , sobre un cuerpo dado K , que es biracionalmente equivalente a un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre K. Esto significa que su cuerpo de funciones es isomorfo a

${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d}),}$

el campo de todas las funciones racionales para algún conjunto de indeterminados , donde d es la dimensión de la variedad. ${\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{d}\}}$

Racionalidad y parametrización

Sea V una variedad algebraica afín de dimensión d definida por un ideal primo I  = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ en . Si V es racional, entonces existen n  + 1 polinomios g ₀ , ..., g _n en tales que En otras palabras, tenemos un ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$ ${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$parametrización racional de la variedad. ${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})}$

Por el contrario, una parametrización racional de este tipo induce un homomorfismo de campo del campo de funciones de V en . Pero este homomorfismo no es necesariamente sobre . Si existe una parametrización de este tipo, se dice que la variedad es uniracional. El teorema de Lüroth (véase más abajo) implica que las curvas uniracionales son racionales. El teorema de Castelnuovo implica también que, en característica cero, toda superficie uniracional es racional. ${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$

Cuestiones de racionalidad

Una pregunta de racionalidad pregunta si una extensión de campo dada es racional , en el sentido de ser (salvo isomorfismo) el campo de funciones de una variedad racional; tales extensiones de campo también se describen como puramente trascendentales . Más precisamente, la pregunta de racionalidad para la extensión de campo es esta: ¿es isomorfa a un campo de funciones racional sobre en el número de indeterminados dado por el grado de trascendencia ? ${\displaystyle K\subset L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Hay varias variaciones diferentes de esta pregunta, que surgen de la forma en que se construyen los campos y . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Por ejemplo, sea un campo, y sea ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \{y_{1},\dots ,y_{n}\}}$

sean indeterminadas sobre K y sea L el campo generado sobre K por ellas. Considérese un grupo finito que permuta esas indeterminadas sobre K . Según la teoría estándar de Galois , el conjunto de puntos fijos de esta acción de grupo es un subcuerpo de , típicamente denotado . La cuestión de racionalidad para se llama problema de Noether y pregunta si este campo de puntos fijos es o no una extensión puramente trascendental de K . En el artículo (Noether 1918) sobre la teoría de Galois estudió el problema de parametrizar las ecuaciones con un grupo de Galois dado, que redujo al "problema de Noether". (Mencionó este problema por primera vez en (Noether 1913) donde atribuyó el problema a E. Fischer.) Demostró que esto era cierto para n = 2, 3 o 4. RG Swan  (1969) encontró un contraejemplo para el problema de Noether, con n = 47 y G un grupo cíclico de orden 47. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{G}}$ ${\displaystyle K\subset L^{G}}$

Teorema de Lüroth

Un caso célebre es el problema de Lüroth , que Jacob Lüroth resolvió en el siglo XIX. El problema de Lüroth concierne a las subextensiones L de K ( X ), las funciones racionales en la única indeterminada X . Cualquier cuerpo de este tipo es igual a K o también es racional, es decir, L = K ( F ) para alguna función racional F . En términos geométricos, esto establece que una función racional no constante de la línea proyectiva a una curva C solo puede ocurrir cuando C también tiene género 0. Ese hecho se puede deducir geométricamente de la fórmula de Riemann-Hurwitz .

Aunque el teorema de Lüroth suele considerarse un resultado no elemental, desde hace mucho tiempo se conocen varias demostraciones elementales breves. Estas demostraciones sencillas utilizan únicamente los principios básicos de la teoría de campos y el lema de Gauss para polinomios primitivos (véase, por ejemplo , ^[1] ).

Unirracionalidad

Una variedad uniracional V sobre un cuerpo K es una dominada por una variedad racional, de modo que su cuerpo de funciones K ( V ) se encuentra en un cuerpo trascendental puro de tipo finito (que puede elegirse para que sea de grado finito sobre K ( V ) si K es infinito). La solución del problema de Lüroth muestra que para las curvas algebraicas, racional y uniracional son lo mismo, y el teorema de Castelnuovo implica que para superficies complejas uniracional implica racional, porque ambos se caracterizan por la desaparición tanto del género aritmético como del segundo plurigenus . Zariski encontró algunos ejemplos ( superficies de Zariski ) en característica p  > 0 que son uniracionales pero no racionales. Clemens y Griffiths (1972) demostraron que una triple cúbica en general no es una variedad racional, proporcionando un ejemplo para tres dimensiones de que la uniracionalidad no implica racionalidad. Su trabajo utilizó un jacobiano intermedio . Iskovskih y Manin (1971) demostraron que todas las ternas cuárticas no singulares son irracionales, aunque algunas de ellas son uniracionales. Artin y Mumford (1972) encontraron algunas ternas uniracionales con torsión no trivial en su tercer grupo de cohomología, lo que implica que no son racionales.

Para cualquier cuerpo K , János Kollár demostró en 2000 que una hipersuperficie cúbica lisa de dimensión al menos 2 es uniracional si tiene un punto definido sobre K . Esto es una mejora de muchos resultados clásicos, empezando por el caso de las superficies cúbicas (que son variedades racionales sobre un cierre algebraico). Otros ejemplos de variedades que se demuestra que son uniracionales son muchos casos del espacio de módulos de curvas. ^[2]

Variedad conectada racionalmente

Una variedad racionalmente conexa V es una variedad algebraica proyectiva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tal que por cada dos puntos pasa la imagen de una función regular desde la línea proyectiva hacia V . De manera equivalente, una variedad es racionalmente conexa si cada dos puntos están conectados por una curva racional contenida en la variedad. ^[3]

Esta definición difiere de la de conexidad de caminos sólo por la naturaleza del camino, pero es muy diferente, ya que las únicas curvas algebraicas que están racionalmente conectadas son las racionales.

Toda variedad racional, incluidos los espacios proyectivos , es racionalmente conexa, pero la proposición inversa es falsa. La clase de las variedades racionalmente conexas es, por tanto, una generalización de la clase de las variedades racionales. Las variedades uniracionales son racionalmente conexas, pero no se sabe si se cumple la proposición inversa.

Variedades racionales estables

Una variedad V se denomina racional estable si es racional para algún . Por lo tanto, cualquier variedad racional es, por definición, racional estable. Los ejemplos construidos por Beauville et al. (1985) muestran que, sin embargo, lo inverso es falso. ${\displaystyle V\times \mathbf {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

Schreieder (2019) demostró que las hipersuperficies muy generales no son establemente racionales, siempre que el grado de V sea al menos . ${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{N+1}}$ ${\displaystyle \log _{2}N+2}$

Véase también

• Curva racional
• Superficie racional
• Variedad Severi-Brauer
• Geometría birracional

Notas

1. Bensimhoun, Michael (mayo de 2004). "Otra prueba elemental del teorema de Luroth" (PDF) . Jerusalén. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. János Kollár (2002). "Unirracionalidad de hipersuperficies cúbicas". Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu . 1 (3): 467–476. arXiv : math/0005146 . doi :10.1017/S1474748002000117. MR  1956057. S2CID  6775041.
3. Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.

Referencias

• Artin, Michael ; Mumford, David (1972), "Algunos ejemplos elementales de variedades uniracionales que no son racionales", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 25 : 75–95, CiteSeerX  10.1.1.121.2765 , doi :10.1112/plms/s3-25.1.75, ISSN  0024-6115, MR  0321934
• Beauville, Arnaud; Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter (1985), "Variétés stablement rationnelles non rationnelles", Annals of Mathematics , segunda serie, 121 (2): 283–318, doi :10.2307/1971174, JSTOR  1971174, SEÑOR  0786350
• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), "El jacobiano intermedio de la cúbica triple", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi :10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, MR  0302652
• Iskovskih, VA; Manin, Ju. I. (1971), "Cuárticas tridimensionales y contraejemplos del problema de Lüroth", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode :1971SbMat..15..141I, doi :10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR  0291172
• Kollár, János ; Smith, Karen E. ; Corti, Alessio (2004), Variedades racionales y casi racionales, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 92, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, Sr.  2062787
• Noether, Emmy (1913), "Rationale Funktionenkörper", J. Ber. d. DMV , 22 : 316–319.
• Noether, Emmy (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe", Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi :10.1007/BF01457099, S2CID  122353858.
• Swan, RG (1969), "Funciones racionales invariantes y un problema de Steenrod", Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode :1969InMat...7..148S, doi :10.1007/BF01389798, S2CID  121951942
• Martinet, J. (1971), "Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);", Séminaire Bourbaki. vol. 1969/70: Exposés 364–381 , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0272580
• Schreieder, Stefan (2019), "Hipersuperficies irracionales estables de pendientes pequeñas", Journal of the American Mathematical Society , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi :10.1090/jams/928, S2CID  119326067