Lema de Gauss (polinomios)

El máximo común divisor de los coeficientes es una función multiplicativa

En álgebra , el lema de Gauss , ^[1] llamado así por Carl Friedrich Gauss , es un teorema ^{[nota 1]} sobre polinomios sobre los números enteros o, más generalmente, sobre un dominio de factorización único (es decir, un anillo que tiene una propiedad de factorización única similar al teorema fundamental de la aritmética ). El lema de Gauss subyace a toda la teoría de factorización y máximos divisores comunes de tales polinomios .

El lema de Gauss afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo. (Un polinomio con coeficientes enteros es primitivo si tiene 1 como máximo común divisor de sus coeficientes. ^{[nota 2]} )

Un corolario del lema de Gauss, a veces también llamado lema de Gauss , es que un polinomio primitivo es irreducible sobre los números enteros si y solo si es irreducible sobre los números racionales . De manera más general, un polinomio primitivo tiene la misma factorización completa sobre los números enteros y sobre los números racionales. En el caso de coeficientes en un dominio de factorización único R , "números racionales" debe reemplazarse por " cuerpo de fracciones de R ". Esto implica que, si R es un cuerpo , el anillo de números enteros o un dominio de factorización único, entonces cada anillo de polinomios (en uno o varios indeterminados) sobre R es un dominio de factorización único. Otra consecuencia es que la factorización y el cálculo del máximo común divisor de polinomios con números enteros o coeficientes racionales pueden reducirse a cálculos similares sobre números enteros y polinomios primitivos. Esto se utiliza sistemáticamente (explícita o implícitamente) en todos los algoritmos implementados (ver Máximo común divisor de polinomios y Factorización de polinomios ).

El lema de Gauss, y todas sus consecuencias que no implican la existencia de una factorización completa siguen siendo ciertas sobre cualquier dominio MCD (un dominio integral sobre el cual existen máximos comunes divisores). En particular, un anillo de polinomios sobre un dominio MCD es también un dominio MCD. Si uno llama primitivo a un polinomio tal que los coeficientes generan el ideal unitario , el lema de Gauss es verdadero sobre cada anillo conmutativo . ^[2] Sin embargo, se debe tener cierto cuidado al usar esta definición de primitivo , ya que, sobre un dominio de factorización único que no es un dominio de ideal principal , hay polinomios que son primitivos en el sentido anterior y no primitivos en este nuevo sentido.

El lema sobre los números enteros

Si es un polinomio con coeficientes enteros, entonces se llama primitivo si el máximo común divisor de todos los coeficientes es 1; en otras palabras, ningún número primo divide a todos los coeficientes. ${\displaystyle F(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$

Lema de Gauss (primitividad)  :  Si P ( X ) y Q ( X ) son polinomios primitivos sobre los números enteros, su producto P ( X ) Q ( X ) también es primitivo.

Demostración: Claramente el producto f ( x ) g ( x ) de dos polinomios primitivos tiene coeficientes enteros. Por lo tanto, si no es primitivo, debe haber un primo p que sea divisor común de todos sus coeficientes. Pero p no puede dividir todos los coeficientes de f ( x ) ni de g ( x ) (de lo contrario no serían primitivos). Sea a _r x ^r el primer término de f ( x ) no divisible por p y sea b _s x ^s el primer término de g ( x ) no divisible por p . Ahora considere el término x ^{r + s} en el producto, cuyo coeficiente es

${\displaystyle \cdots +a_{r+2}b_{s-2}+a_{r+1}b_{s-1}+a_{r}b_{s}+a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\cdots .}$

El término a _r b _s no es divisible por p (porque p es primo), pero todos los restantes sí lo son, por lo que la suma total no puede ser divisible por p . Suponiendo que todos los coeficientes del producto son divisibles por p , se produce una contradicción. Por lo tanto, los coeficientes del producto no pueden tener un divisor común y, por lo tanto, son primitivos. ${\displaystyle \square }$

Lema de Gauss (irreducibilidad)  :  Un polinomio no constante en Z [ X ] es irreducible en Z [ X ] si y solo si es irreducible en Q [ X ] y primitivo en Z [ X ].

A continuación se ofrece la prueba para el caso más general. Nótese que un elemento irreducible de Z (un número primo) sigue siendo irreducible cuando se lo considera como un polinomio constante en Z [ X ]; esto explica la necesidad de la palabra "no constante" en el enunciado.

Enunciados para dominios de factorización única

El lema de Gauss se cumple de manera más general sobre dominios de factorización únicos arbitrarios . Allí, el contenido c ( P ) de un polinomio P se puede definir como el máximo común divisor de los coeficientes de P (al igual que el mcd, el contenido es en realidad un conjunto de elementos asociados ). Un polinomio P con coeficientes en un UFD R se dice entonces que es primitivo si los únicos elementos de R que dividen todos los coeficientes de P a la vez son los elementos invertibles de R ; es decir, el mcd de los coeficientes es uno.

Enunciado de primitividad: si R es un UFD, entonces el conjunto de polinomios primitivos en R [ X ] está cerrado respecto de la multiplicación. En términos más generales, el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos individuales. ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle c(f)c(g)}$

Enunciado de irreducibilidad: Sea R un dominio de factorización único y F su cuerpo de fracciones . Un polinomio no constante en es irreducible en si y solo si es irreducible en y primitivo en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle R[x]}$

(Para las pruebas, ver versión #General a continuación.)

Sea un dominio de factorización único con cuerpo de fracciones . Si es un polinomio sobre entonces para algún en , tiene coeficientes en , y por lo tanto –factorizando el mcd de los coeficientes– podemos escribir para algún polinomio primitivo . Como se puede comprobar, este polinomio es único hasta la multiplicación por una unidad y se llama parte primitiva (o representante primitivo ) de y se denota por . El procedimiento es compatible con el producto: . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle df=qf'}$ ${\displaystyle f'\in R[x]}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (fg)=\operatorname {pp} (f)\operatorname {pp} (g)}$

El constructo se puede utilizar para mostrar la afirmación:

• Un anillo polinomial sobre un UFD es un UFD.

De hecho, por inducción , es suficiente mostrar que es un DFU cuando es un DFU. Sea un polinomio distinto de cero. Ahora bien, es un dominio de factorización único (ya que es un dominio de ideal principal) y, por lo tanto, como polinomio en , se puede factorizar como: ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in R[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=g_{1}g_{2}\dots g_{r}}$

donde son polinomios irreducibles de . Ahora, escribimos para el mcd de los coeficientes de (y es la parte primitiva) y luego: ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f=cf'}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle f=cf'=c\operatorname {pp} (g_{1})\operatorname {pp} (g_{2})\cdots \operatorname {pp} (g_{r}).}$

Ahora, es un producto de elementos primos de (ya que es un UFD) y un elemento primo de es un elemento primo de , ya que es un dominio integral. Por lo tanto, admite una factorización prima (o una factorización única en irreducibles). A continuación, observe que es una factorización única en elementos irreducibles de , ya que (1) cada uno es irreducible por el enunciado de irreducibilidad y (2) es único ya que la factorización de también puede verse como una factorización en y la factorización allí es única. Dado que y están determinados de forma única por hasta elementos unitarios, la factorización anterior de es una factorización única en elementos irreducibles. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R[x]/(p)\cong R/(p)[x]}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'=\operatorname {pp} (g_{1})\cdots \operatorname {pp} (g_{r})}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (g_{i})}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \square }$

La condición de que " R es un dominio de factorización único" no es superflua porque implica que cada elemento irreducible de este anillo es también un elemento primo , lo que a su vez implica que cada elemento no cero de R tiene como máximo una factorización en un producto de elementos irreducibles y una unidad hasta orden y relación de asociación. En un anillo donde la factorización no es única, digamos pa = qb con p y q elementos irreducibles que no dividen a ninguno de los factores del otro lado, el producto ( p + qX )( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q ² X ² = q ( b + ( p + a ) X + qX ² ) muestra el fracaso de la declaración de primitividad. Para un ejemplo concreto se puede tomar R = Z [ i √5 ] , p = 1 + i √5 , a = 1 − i √5 , q = 2 , b = 3 . En este ejemplo, el polinomio 3 + 2 X + 2 X ² (obtenido al dividir el lado derecho por q = 2 ) proporciona un ejemplo del fallo de la afirmación de irreducibilidad (es irreducible sobre R , pero reducible sobre su cuerpo de fracciones Q [ i √5] ). Otro ejemplo bien conocido es el polinomio X ² − X − 1 , cuyas raíces son la proporción áurea φ = (1 + √5)/2 y su conjugado (1 − √5)/2 mostrando que es reducible sobre el cuerpo Q [√5] , aunque es irreducible sobre el no-UFD Z [√5] que tiene Q [√5] como cuerpo de fracciones. En el último ejemplo, el anillo se puede convertir en una UFD tomando su cierre integral Z [φ] en Q [√5] (el anillo de enteros de Dirichlet), sobre el cual X ² − X− 1 se vuelve reducible, pero en el ejemplo anterior R ya está integralmente cerrado.

Versión general

Sea un anillo conmutativo. Si es un polinomio en , entonces escribimos para el ideal de generado por todos los coeficientes de ; se llama contenido de . Nótese que para cada en . La siguiente proposición enuncia una propiedad más sustancial. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (af)=a\operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

Proposición ^[3]  —  Para cada par de polinomios en , ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$

donde denota el radical de un ideal . Además, si es un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización única), entonces ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (fg))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f))\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (g))}$

donde denota el ideal principal mínimo único que contiene un ideal generado finitamente . ^{[nota 3]} ${\displaystyle \operatorname {gcd} (I)}$ ${\displaystyle I}$

Se dice que un polinomio es primitivo si es el ideal unitario . ^[4] Cuando (o más generalmente cuando es un dominio de Bézout ), esto concuerda con la definición habitual de un polinomio primitivo. (Pero si es solo un UFD, esta definición es inconsistente con la definición de primitividad en #Enunciados para dominios de factorización única). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Corolario ^[2]  —  Dos polinomios son primitivos si y solo si el producto es primitivo. ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle fg}$

Prueba: Esto es fácil usando el hecho ^[5] que implica ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(1)}$ ${\displaystyle I=(1).}$ ${\displaystyle \square }$

Corolario ^[6]  —  Supongamos que es un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización única) con el cuerpo de fracciones . Entonces un polinomio no constante en es irreducible si y solo si es irreducible en y el mcd de los coeficientes de es 1. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f}$

Demostración: ( ) Primero note que el mcd de los coeficientes de es 1 ya que, de otra manera, podemos factorizar algún elemento de los coeficientes de para escribir , contradiciendo la irreducibilidad de . A continuación, supongamos que para algunos polinomios no constantes en . Entonces, para algunos , el polinomio tiene coeficientes en y por lo tanto, al factorizar el mcd de los coeficientes, escribimos . Haga lo mismo para y podemos escribir para algunos . Ahora, sea para algunos . Entonces . De esto, usando la proposición, obtenemos: ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=cf'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=gh}$ ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle d\in R}$ ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle dg=qg'}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f=cg'h'}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle c=a/b}$ ${\displaystyle a,b\in R}$ ${\displaystyle bf=ag'h'}$

${\displaystyle (b)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (bf))=(a)}$.

Es decir, divide a . Por lo tanto, y entonces la factorización constituye una contradicción con la irreducibilidad de . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle f=cg'h'}$ ${\displaystyle f}$

( ) Si es irreducible sobre , entonces o bien es irreducible sobre o bien contiene un polinomio constante como factor, la segunda posibilidad queda descartada por el supuesto. ${\displaystyle \Leftarrow }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba de la proposición: Claramente, . Si es un ideal primo que contiene a , entonces módulo . Como es un anillo de polinomios sobre un dominio integral y, por lo tanto, es un dominio integral, esto implica o bien o bien módulo . Por lo tanto, o bien o bien está contenido en . Como es la intersección de todos los ideales primos que contienen a y la elección de fue arbitraria, . ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$ ${\displaystyle fg\equiv 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f\equiv 0}$ ${\displaystyle g\equiv 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$

Ahora demostramos la parte "además". Factorizando los mcd de los coeficientes, podemos escribir y donde los mcd de los coeficientes de son ambos 1. Claramente, es suficiente probar la afirmación cuando se reemplazan por ; por lo tanto, asumimos que los mcd de los coeficientes de son ambos 1. El resto de la prueba es fácil y transparente si es un dominio de factorización único; por lo tanto, damos la prueba en ese caso aquí (y vea ^{[nota 4]} para la prueba para el caso del MCD). Si , entonces no hay nada que probar. Entonces, supongamos lo contrario; entonces hay un elemento no unitario que divide los coeficientes de . Factorizando ese elemento en un producto de elementos primos, podemos tomar ese elemento como un elemento primo . Ahora, tenemos: ${\displaystyle f=af'}$ ${\displaystyle g=bg'}$ ${\displaystyle f',g'}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle f',g'}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gcd(\operatorname {cont} (fg))=(1)}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle (\pi )={\sqrt {(\pi )}}\supset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}\supset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$.

Por lo tanto, o bien contiene o bien contradiciendo los mcd de los coeficientes de son ambos 1. ${\displaystyle (\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \square }$

• Observación : En un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización única), el mcd de todos los coeficientes de un polinomio , únicos hasta los elementos unitarios, también se denomina contenido de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

Del lema de Gauss se desprende que, para cada dominio de factorización único , el anillo polinómico es también un dominio de factorización único (véase #Enunciados para dominios de factorización únicos). El lema de Gauss también se puede utilizar para demostrar el criterio de irreducibilidad de Eisenstein . Por último, se puede utilizar para demostrar que los polinomios ciclotómicos (unidades unitarias con coeficientes enteros) son irreducibles. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$

El lema de Gauss implica la siguiente afirmación:

• Si es un polinomio mónico en una variable con coeficientes en un dominio de factorización único (o más generalmente un dominio MCD), entonces una raíz de que está en el cuerpo de fracciones de está en . ^{[nota 5]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Si , entonces dice que una raíz racional de un polinomio mónico sobre números enteros es un número entero (cf. el teorema de la raíz racional ). Para ver el enunciado, sea una raíz de en y supongamos que son primos relativos . En podemos escribir con para algún . Entonces ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f=(x-a/b)g}$ ${\displaystyle cg\in R[x]}$ ${\displaystyle c\in R}$

${\displaystyle cbf=(bx-a)cg}$

es una factorización en . Pero es primitiva (en el sentido UFD) y por lo tanto divide los coeficientes de por el lema de Gauss, y así ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle bx-a}$ ${\displaystyle cb}$ ${\displaystyle cg}$

${\displaystyle f=(bx-a)h}$

con en . Dado que es monic, esto solo es posible cuando es una unidad. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b}$

Un argumento similar muestra:

• Sea un dominio MCD con el cuerpo de fracciones y . Si para algún polinomio que es primitivo en el sentido UFD y , entonces . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in R[x]}$ ${\displaystyle f=gh}$ ${\displaystyle g\in R[x]}$ ${\displaystyle h\in F[x]}$ ${\displaystyle h\in R[x]}$

La afirmación de irreducibilidad también implica que el polinomio mínimo sobre los números racionales de un entero algebraico tiene coeficientes enteros.

Notas

1. Este teorema se llama lema por razones históricas.
2. El artículo indefinido se utiliza aquí porque, cuando los coeficientes pertenecen a un dominio de factorización único , "mayor" se refiere al preorden de divisibilidad, en lugar del orden natural de los números enteros y, generalmente, hay varios máximos comunes divisores.
3. Un generador del ideal principal es un mcd de algunos generadores de I (y existe porque es un dominio mcd). ${\displaystyle R}$
4. Demostración para el caso de MCD : La demostración aquí se adoptó de Mines, R.; Richman, F.; Ruitenburg, W. (1988). Un curso de álgebra constructiva . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96640-4.Necesitamos el siguiente lema simple sobre mcd:
   • Si , entonces . ${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a,c)=1}$ ${\displaystyle \gcd(a,bc)=1}$
   (La prueba del lema no es trivial, sino que se hace por álgebra elemental.) Argumentamos por inducción sobre la suma de los números de los términos en ; es decir, suponemos que la proposición se ha establecido para cualquier par de polinomios con un número total menos de términos. Sea ; es decir, es el mcd de los coeficientes de . Supongamos ; de lo contrario, hemos terminado. Sea denotar los términos de mayor grado de en términos de ordenamiento monomial lexicográfico . Entonces es precisamente el término principal de y, por lo tanto, divide el coeficiente (único) de (ya que divide todos los coeficientes de ). Ahora bien, si no tiene un factor común con el coeficiente (único) de y no tiene un factor común con el de , entonces, por el lema anterior, . Pero divide el coeficiente de ; por lo que esto es una contradicción. Por lo tanto, o tiene un factor común con el coeficiente de o lo tiene con el de ; digamos, el primer caso es el primero. Sea . Dado que divide los coeficientes de , por hipótesis inductiva, ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle (c)=\gcd(\operatorname {cont} (fg))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle (c)\neq (1)}$ ${\displaystyle f_{0},g_{0}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle \gcd(c,\operatorname {cont} (f_{0}g_{0}))=(1)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle (d)=\operatorname {gcd} (c,\operatorname {cont} (f_{0}))}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle fg-f_{0}g=(f-f_{0})g}$

   ${\displaystyle (d)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} ((f-f_{0})g))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f-f_{0}))\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (g))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f-f_{0}))}$.

   Puesto que contiene , contiene ; es decir, , una contradicción. ${\displaystyle (d)}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f_{0})}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle (d)=(1)}$ ${\displaystyle \square }$
5. En otras palabras, dice que un dominio de factorización único es integralmente cerrado .

Referencias

1. Artículo 42 de las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss (1801)
2. Atiyah y Macdonald 1969, Cap. 1., Ejercicio 2. (iv) y Ejercicio 3.
3. Eisenbud 1995, Ejercicio 3.4. (a)
4. Atiyah y Macdonald 1969, Cap. 1., Ejercicio 2. (iv)
5. Atiyah y Macdonald 1969, Cap. 1., Ejercicio 1.13.
6. Eisenbud 1995, Ejercicio 3.4.c; El caso cuando R es una UFD.

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960, ISBN 978-0-387-94269-8