En matemáticas , una variedad racional es una variedad algebraica , sobre un campo dado K , que es biracionalmente equivalente a un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre K. Esto significa que su campo funcional es isomorfo a
el campo de todas las funciones racionales para algún conjunto de indeterminados , donde d es la dimensión de la variedad.
Sea V una variedad algebraica afín de dimensión d definida por un ideal primo I = ⟨ f 1 , ..., f k ⟩ in . Si V es racional, entonces hay n + 1 polinomios g 0 , ..., g n tales que En otras palabras, tenemos unparametrización racional de la variedad.
Por el contrario, tal parametrización racional induce un homomorfismo de campo del campo de funciones de V en . Pero este homomorfismo no es necesariamente correcto . Si existe tal parametrización, se dice que la variedad es uniracional. El teorema de Lüroth (ver más abajo) implica que las curvas uniracionales son racionales. El teorema de Castelnuovo implica también que, en característica cero, toda superficie uniracional es racional.
Una pregunta de racionalidad pregunta si una extensión de campo dada es racional , en el sentido de ser (hasta el isomorfismo) el campo funcional de una variedad racional; tales extensiones de campo también se describen como puramente trascendentales . Más precisamente, la pregunta de racionalidad para la extensión de campo es la siguiente: ¿es isomórfico a un campo de función racional en el número de indeterminados dado por el grado de trascendencia ?
Hay varias variaciones diferentes de esta pregunta, que surgen de la forma en que se construyen los campos y .
Por ejemplo, sea un campo y sea
sean indeterminados sobre K y sea L el campo generado sobre K por ellos. Considere un grupo finito que permuta esos indeterminados sobre K . Según la teoría estándar de Galois , el conjunto de puntos fijos de esta acción grupal es un subcampo de , típicamente denotado . La cuestión de la racionalidad se llama problema de Noether y pregunta si este campo de puntos fijos es o no una extensión puramente trascendental de K. En el artículo (Noether 1918) sobre la teoría de Galois , estudió el problema de parametrizar las ecuaciones con un grupo de Galois dado, que redujo al "problema de Noether". (Mencionó este problema por primera vez en (Noether, 1913), donde lo atribuyó a E. Fischer.) Demostró que esto era cierto para n = 2, 3 o 4. RG Swan (1969) encontró un contraejemplo del planteamiento de Noether. problema, con n = 47 y G un grupo cíclico de orden 47.
Un caso célebre es el problema de Lüroth , que Jacob Lüroth resolvió en el siglo XIX. El problema de Lüroth se refiere a las subextensiones L de K ( X ), las funciones racionales en el único indeterminado X. Cualquiera de estos campos es igual a K o también es racional, es decir, L = K ( F ) para alguna función racional F. En términos geométricos, esto establece que una aplicación racional no constante desde la línea proyectiva hasta una curva C solo puede ocurrir cuando C también tiene género 0. Ese hecho se puede leer geométricamente en la fórmula de Riemann-Hurwitz .
Aunque a menudo se piensa que el teorema de Lüroth es un resultado no elemental, desde hace mucho tiempo se conocen varias demostraciones breves elementales. Estas demostraciones simples utilizan sólo los conceptos básicos de la teoría de campos y el lema de Gauss para polinomios primitivos (ver, por ejemplo, [1] ).
Una variedad uniracional V sobre un campo K es una variedad dominada por una variedad racional, de modo que su campo funcional K ( V ) se encuentra en un campo trascendental puro de tipo finito (que puede elegirse como de grado finito sobre K ( V ) si K es infinito). La solución del problema de Lüroth muestra que para curvas algebraicas, racional y uniracional son lo mismo, y el teorema de Castelnuovo implica que para superficies complejas uniracional implica racional, porque ambos se caracterizan por la desaparición tanto del género aritmético como del segundo plurigenus . Zariski encontró algunos ejemplos ( superficies de Zariski ) en la característica p > 0 que son uniracionales pero no racionales. Clemens y Griffiths (1972) demostraron que un triple cúbico en general no es una variedad racional, proporcionando un ejemplo para tres dimensiones de que la uniracionalidad no implica racionalidad. Su trabajo utilizó un jacobiano intermedio . Iskovskih y Manin (1971) demostraron que todos los triples cuárticos no singulares son irracionales, aunque algunos de ellos son uniracionales. Artin y Mumford (1972) encontraron algunos triples uniracionales con torsión no trivial en su tercer grupo de cohomología, lo que implica que no son racionales.
Para cualquier campo K , János Kollár demostró en 2000 que una hipersuperficie cúbica suave de dimensión al menos 2 es uniracional si tiene un punto definido sobre K. Esta es una mejora de muchos resultados clásicos, comenzando con el caso de las superficies cúbicas (que son variedades racionales de una clausura algebraica). Otros ejemplos de variedades que se muestran uniracionales son muchos casos del espacio de módulos de curvas. [2]
Una variedad V racionalmente conexa es una variedad algebraica proyectiva sobre un campo algebraicamente cerrado tal que por cada dos puntos pasa la imagen de una aplicación regular desde la recta proyectiva hacia V. De manera equivalente, una variedad es racionalmente conexa si cada dos puntos están conectados por una curva racional contenida en la variedad. [3]
Esta definición difiere de la de conectividad de caminos sólo por la naturaleza del camino, pero es muy diferente, ya que las únicas curvas algebraicas que están racionalmente conectadas son las racionales.
Toda variedad racional, incluidos los espacios proyectivos , está racionalmente conexa, pero lo contrario es falso. La clase de las variedades racionalmente conectadas es, pues, una generalización de la clase de las variedades racionales. Las variedades uniracionales están conectadas racionalmente, pero no se sabe si ocurre lo contrario.
Una variedad V se llama establemente racional si es racional para algunos . Por tanto, cualquier variedad racional es, por definición, establemente racional. Los ejemplos construidos por Beauville et al. (1985) muestran que lo contrario es falso.
Schreieder (2019) demostró que las hipersuperficies muy generales no son establemente racionales, siempre que el grado de V sea al menos .
![{\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cf0764b4682f6c7a4827df7693feccd72ff86d)
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