Teorema de Falting

Las curvas de género > 1 sobre los racionales tienen sólo un número finito de puntos racionales

El teorema de Faltings es un resultado de la geometría aritmética , según el cual una curva de género mayor que 1 sobre el cuerpo de números racionales tiene solo un número finito de puntos racionales . Esto fue conjeturado en 1922 por Louis Mordell , ^[1] y conocido como la conjetura de Mordell hasta su demostración en 1983 por Gerd Faltings . ^[2] La conjetura fue generalizada más tarde al reemplazar por cualquier cuerpo de números . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Fondo

Sea una curva algebraica no singular de género sobre . Entonces el conjunto de puntos racionales sobre puede determinarse de la siguiente manera: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C}$

• Cuando no hay puntos o hay infinitos, en tales casos se puede tratar como una sección cónica . ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle C}$
• Cuando , si hay puntos, entonces es una curva elíptica y sus puntos racionales forman un grupo abeliano finitamente generado . (Este es el teorema de Mordell , posteriormente generalizado al teorema de Mordell-Weil ). Además, el teorema de torsión de Mazur restringe la estructura del subgrupo de torsión. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle C}$
• Cuando , según el teorema de Falting, sólo tiene un número finito de puntos racionales. ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle C}$

Pruebas

Igor Shafarevich conjeturó que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de variedades abelianas de dimensión fija y grado de polarización fijo sobre un cuerpo numérico fijo con buena reducción fuera de un conjunto finito fijo de lugares . ^[3] Aleksei Parshin demostró que la conjetura de finitud de Shafarevich implicaría la conjetura de Mordell, utilizando lo que ahora se llama el truco de Parshin. ^[4]

Gerd Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich utilizando una reducción conocida a un caso de la conjetura de Tate , junto con herramientas de la geometría algebraica , incluida la teoría de los modelos de Néron . ^[5] La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel . ^[a]

Pruebas posteriores

• Paul Vojta dio una prueba basada en la aproximación diofántica . ^[6] Enrico Bombieri encontró una variante más elemental de la prueba de Vojta. ^[7]
• Brian Lawrence y Akshay Venkatesh dieron una prueba basada en la teoría p -ádica de Hodge , tomando prestados también algunos de los ingredientes más fáciles de la prueba original de Faltings. ^[8]

Consecuencias

El artículo de Faltings de 1983 tuvo como consecuencias una serie de afirmaciones que ya se habían conjeturado previamente:

• La conjetura de Mordell de que una curva de género mayor que 1 sobre un cuerpo de números tiene sólo un número finito de puntos racionales;
• El teorema de isogenia sostiene que las variedades abelianas con módulos de Tate isomorfos (como -módulos con acción de Galois) son isógenas . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Un ejemplo de aplicación del teorema de Falting es una forma débil del último teorema de Fermat : para cualquier número fijo hay como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas ( soluciones coprimas por pares ) para , ya que para ellas la curva de Fermat tiene un género mayor que 1. ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

Generalizaciones

Debido al teorema de Mordell-Weil , el teorema de Faltings puede reformularse como una afirmación sobre la intersección de una curva con un subgrupo finitamente generado de una variedad abeliana . La generalización mediante la sustitución por una variedad semiabeliana , por una subvariedad arbitraria de y por un subgrupo arbitrario de rango finito de conduce a la conjetura de Mordell-Lang , que fue demostrada en 1995 por McQuillan ^[9] siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Otra generalización de dimensiones superiores del teorema de Faltings es la conjetura de Bombieri-Lang que sostiene que si es una variedad pseudocanónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un cuerpo de números , entonces no es denso de Zariski en . Paul Vojta ha propuesto conjeturas aún más generales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$

La conjetura de Mordell para campos de funciones fue demostrada por Yuri Ivanovich Manin ^[10] y por Hans Grauert ^[11] . En 1990, Robert F. Coleman encontró y solucionó un problema en la demostración de Manin. ^[12]

Notas

1. "Faltings relaciona las dos nociones de altura por medio del espacio de módulos de Siegel... Es la idea principal de la prueba". Bloch, Spencer (1984). "La prueba de la conjetura de Mordell". The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID  306251.

Citas

1. Mordell 1922.
2. Faltando 1983; Faltando 1984.
3. Shafarevich 1963.
4. Parshin 1968.
5. Faltando 1983.
6. Vojta 1991.
7. Bomberi 1990.
8. Lawrence y Venkatesh 2020.
9. McQuillan 1995.
10. Manín 1963.
11. Grauert 1965.
12. Coleman 1990.

Referencias

• Bombieri, Enrico (1990). "Revisión de la conjetura de Mordell". Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci . 17 (4): 615–640. MR  1093712.
• Coleman, Robert F. (1990). "Demostración de Manin de la conjetura de Mordell sobre cuerpos de funciones". L'Enseignement Mathématique . 2e Série. 36 (3): 393–427. ISSN  0013-8584. MR  1096426.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , eds. (1986). Geometría aritmética. Documentos de la conferencia celebrada en la Universidad de Connecticut, Storrs, Connecticut, del 30 de julio al 10 de agosto de 1984. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1.Sr .  0861969.→ Contiene una traducción al inglés de Faltings (1983)
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• Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . SEÑOR  0732554.
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