En geometría algebraica , el modelo de Néron (o modelo minimal de Néron , o modelo minimal ) para una variedad abeliana A K definida sobre el cuerpo de fracciones K de un dominio de Dedekind R es el "empuje hacia adelante" de A K desde Spec( K ) a Spec( R ), en otras palabras, el "mejor esquema de grupo posible" A R definido sobre R correspondiente a A K .
Fueron introducidos por André Néron (1961, 1964) para variedades abelianas sobre el campo cociente de un dominio de Dedekind R con campos de residuos perfectos, y Raynaud (1966) extendió esta construcción a variedades semiabelianas sobre todos los dominios de Dedekind.
Supóngase que R es un dominio de Dedekind con un cuerpo de fracciones K y supóngase que A K es un esquema separado suave sobre K (como una variedad abeliana). Entonces, un modelo de Néron de A K se define como un esquema separado suave A R sobre R con fibra A K que es universal en el siguiente sentido.
En particular, la función canónica es un isomorfismo. Si existe un modelo de Néron, entonces es único hasta que se produzca un isomorfismo único.
En términos de haces, cualquier esquema A sobre Spec( K ) representa un haz en la categoría de esquemas suaves sobre Spec( K ) con la topología suave de Grothendieck, y esto tiene un empuje hacia adelante por el mapa de inyección de Spec( K ) a Spec( R ), que es un haz sobre Spec( R ). Si este empuje hacia adelante es representable por un esquema, entonces este esquema es el modelo de Néron de A .
En general, el esquema A K no necesita tener ningún modelo de Néron. Para las variedades abelianas A K existen modelos de Néron y son únicos (salvo isomorfismo único) y son esquemas de grupo cuasi-proyectivos conmutativos sobre R . La fibra de un modelo de Néron sobre un punto cerrado de Spec( R ) es un grupo algebraico conmutativo suave , pero no necesita ser una variedad abeliana: por ejemplo, puede estar desconectado o ser un toro. También existen modelos de Néron para ciertos grupos conmutativos distintos de las variedades abelianas, como los toros, pero estos son solo localmente de tipo finito. No existen modelos de Néron para el grupo aditivo.
El modelo de Néron de una curva elíptica A K sobre K se puede construir de la siguiente manera. Primero se forma el modelo minimal sobre R en el sentido de superficies algebraicas (o aritméticas). Esta es una superficie regular propia sobre R pero no es en general suave sobre R ni un esquema de grupo sobre R . Su subesquema de puntos suaves sobre R es el modelo de Néron, que es un esquema de grupo suave sobre R pero no necesariamente propio sobre R . Las fibras en general pueden tener varios componentes irreducibles, y para formar el modelo de Néron se descartan todos los componentes múltiples, todos los puntos donde se intersecan dos componentes y todos los puntos singulares de los componentes.
El algoritmo de Tate calcula la fibra especial del modelo de Néron de una curva elíptica, o más precisamente, las fibras de la superficie mínima que contiene el modelo de Néron.
