En matemáticas y especialmente en geometría compleja , la métrica de Kobayashi es una pseudométrica intrínsecamente asociada a cualquier variedad compleja . Fue introducido por Shoshichi Kobayashi en 1967. Las variedades hiperbólicas de Kobayashi son una clase importante de variedades complejas, definidas por la propiedad de que la pseudométrica de Kobayashi es una métrica. La hiperbolicidad de Kobayashi de una variedad compleja X implica que cada mapa holomorfo de la línea compleja C a X es constante.
Los orígenes del concepto se encuentran en el lema de Schwarz en el análisis complejo . Es decir, si f es una función holomorfa en el disco unitario abierto D en los números complejos C tal que f (0) = 0 y | f ( z )| < 1 para todo z en D , entonces la derivada f '(0) tiene un valor absoluto como máximo 1. De manera más general, para cualquier mapa holomórfico f de D a sí mismo (no necesariamente enviando 0 a 0), hay una parte superior más complicada ligado a la derivada de f en cualquier punto de D . Sin embargo, el límite tiene una formulación simple en términos de la métrica de Poincaré , que es una métrica riemanniana completa en D con curvatura −1 (isométrica al plano hiperbólico ). Es decir: cada mapa holomórfico de D a sí mismo tiene una distancia decreciente con respecto a la métrica de Poincaré en D .
Este es el comienzo de una fuerte conexión entre el análisis complejo y la geometría de curvatura negativa. Para cualquier espacio complejo X (por ejemplo, una variedad compleja), la pseudométrica de Kobayashi d X se define como la pseudométrica más grande en X tal que
para todos los mapas holomórficos f desde el disco unitario D hasta X , donde denota la distancia en la métrica de Poincaré en D . [1] En cierto sentido, esta fórmula generaliza el lema de Schwarz a todos los espacios complejos; pero puede ser vacío en el sentido de que el pseudométrico d X de Kobayashi puede ser idénticamente cero. Por ejemplo, es idénticamente cero cuando X es la recta compleja C. (Esto ocurre porque C contiene discos arbitrariamente grandes, las imágenes de los mapas holomorfos f a : D → C dadas por f ( z ) = az para números positivos arbitrariamente grandes a .)
Se dice que un espacio complejo X es hiperbólico de Kobayashi si la pseudométrica de Kobayashi d X es una métrica, lo que significa que d X ( x , y ) > 0 para todo x ≠ y en X . Informalmente, esto significa que existe un límite genuino en el tamaño de los discos que se asignan holomórficamente a X. En estos términos, el lema de Schwarz dice que la unidad de disco D es hiperbólica de Kobayashi y, más precisamente, que la métrica de Kobayashi en D es exactamente la métrica de Poincaré. La teoría se vuelve más interesante a medida que se encuentran más ejemplos de variedades hiperbólicas de Kobayashi. (Para una variedad hiperbólica de Kobayashi X , la métrica de Kobayashi es una métrica intrínsecamente determinada por la estructura compleja de X ; no está del todo claro que esto deba suceder alguna vez. Una variedad real de dimensión positiva nunca tiene una métrica intrínseca en este sentido, porque su grupo de difeomorfismo es demasiado grande para permitir eso).
Para un espacio hiperbólico de Kobayashi X , cada mapa holomórfico C → X es constante, por la propiedad decreciente de distancia de la pseudométrica de Kobayashi. Ésta suele ser la consecuencia más importante de la hiperbolicidad. Por ejemplo, el hecho de que C menos 2 puntos sea hiperbólico implica el teorema de Picard de que la imagen de cualquier función completa no constante C → C omite como máximo un punto de C. La teoría de Nevanlinna es una descendiente más cuantitativa del teorema de Picard.
El teorema de Brody dice que un espacio complejo compacto X es hiperbólico de Kobayashi si y sólo si todo mapa holomórfico C → X es constante. [3] Una aplicación es que la hiperbolicidad es una condición abierta (en la topología euclidiana) para familias de espacios complejos compactos. [4] Mark Green utilizó el argumento de Brody para caracterizar la hiperbolicidad para subespacios complejos cerrados X de un toro complejo compacto: X es hiperbólico si y sólo si no contiene ninguna traducción de un subtoro de dimensión positiva. [5]
Si una variedad compleja X tiene una métrica hermitiana con curvatura seccional holomorfa limitada arriba por una constante negativa, entonces X es hiperbólica de Kobayashi. [6] En la dimensión 1, esto se llama lema de Ahlfors -Schwarz.
Los resultados anteriores dan una descripción completa de qué variedades complejas son hiperbólicas de Kobayashi en la dimensión compleja 1. La imagen es menos clara en dimensiones superiores. Un problema central abierto es la conjetura de Green- Griffiths - Lang : si X es una variedad proyectiva compleja de tipo general , entonces debería haber un subconjunto algebraico cerrado Y no igual a X tal que cada aplicación holomorfa no constante C → X se transforme en Y. [7]
Clemens y Voisin demostraron que para n al menos 2, una hipersuperficie X muy general en CP n +1 de grado d al menos 2 n +1 tiene la propiedad de que toda subvariedad cerrada de X es de tipo general. [8] ("Muy general" significa que la propiedad se cumple para todas las hipersuperficies de grado d fuera de una unión contable de subconjuntos algebraicos de dimensiones inferiores del espacio proyectivo de todas esas hipersuperficies). Como resultado, la conjetura de Green-Griffiths-Lang implicaría que una hipersuperficie muy general de grado al menos 2 n +1 es hiperbólica de Kobayashi. Tenga en cuenta que no se puede esperar que todas las hipersuperficies suaves de un grado determinado sean hiperbólicas, por ejemplo porque algunas hipersuperficies contienen líneas (isomorfas a CP 1 ). Estos ejemplos muestran la necesidad del subconjunto Y en la conjetura de Green-Griffiths-Lang.
La conjetura sobre la hiperbolicidad se conoce para hipersuperficies de grado suficientemente alto, gracias a una serie de avances de Siu , Demailly y otros, utilizando la técnica de los diferenciales de chorro . Por ejemplo, Diverio, Merker y Rousseau demostraron que una hipersuperficie general en CP n +1 de grado al menos 2 n 5 satisface la conjetura de Green-Griffiths-Lang. [9] ("General" significa que esto es válido para todas las hipersuperficies de un grado determinado fuera de una unión finita de subconjuntos algebraicos de dimensiones inferiores del espacio proyectivo de todas esas hipersuperficies). En 2016, Brotbek [10] dio una prueba de Kobayashi conjetura sobre la hiperbolicidad de hipersuperficies generales de alto grado, basada en el uso de ecuaciones diferenciales de Wronskian; Luego, Ya Deng y Demailly obtuvieron límites de grado explícitos en una dimensión arbitraria, por ejemplo, [ (en) 2n+2 /3 ] por este último. [11] Se conocen mejores límites para el grado en dimensiones bajas.
McQuillan demostró la conjetura de Green-Griffiths-Lang para cada superficie proyectiva compleja de tipo general cuyos números de Chern satisfacen c 1 2 > c 2 . [12] Para una variedad arbitraria X de tipo general, Demailly demostró que cada mapa holomórfico C → X satisface algunas (de hecho, muchas) ecuaciones diferenciales algebraicas . [13]
En la dirección opuesta, Kobayashi conjeturó que la pseudométrica de Kobayashi es idénticamente cero para las variedades Calabi-Yau . Esto es cierto en el caso de las superficies K3 , ya que cada superficie proyectiva K3 está cubierta por una familia de curvas elípticas. [14] De manera más general, Campana dio una conjetura precisa sobre qué variedades proyectivas complejas X tienen una pseudometría de Kobayashi igual a cero. Es decir, esto debería ser equivalente a que X sea especial en el sentido de que X no tiene fibración racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general. [15]
Para una variedad proyectiva X , el estudio de aplicaciones holomorfas C → X tiene cierta analogía con el estudio de puntos racionales de X , un tema central de la teoría de números . Hay varias conjeturas sobre la relación entre estos dos temas. En particular, sea X una variedad proyectiva sobre un campo numérico k . Arreglar una incrustación de k en C . Entonces Lang conjeturó que la variedad compleja X ( C ) es hiperbólica de Kobayashi si y sólo si X tiene sólo un número finito de puntos F -racionales para cada campo de extensión finito F de k . Esto es consistente con los resultados conocidos sobre puntos racionales, en particular el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas .
Más precisamente, sea X una variedad proyectiva de tipo general sobre un campo numérico k . Sea el conjunto excepcional Y el cierre de Zariski de la unión de las imágenes de todos los mapas holomorfos no constantes C → X . Según la conjetura de Green-Griffiths-Lang, Y debería ser un subconjunto cerrado adecuado de X (y, en particular, no ser igual a X ). La fuerte conjetura de Lang predice que Y está definido sobre k y que X − Y tiene sólo un número finito de puntos F -racionales para cada campo de extensión finito F de k . [dieciséis]
Con el mismo espíritu, para una variedad proyectiva X sobre un campo numérico k (o, más generalmente, un campo k finitamente generado de característica cero), Campana conjeturó que la pseudométrica de Kobayashi de X ( C ) es idénticamente cero si y sólo si X tiene puntos racionales potencialmente densos , lo que significa que hay un campo de extensión finito F de k tal que el conjunto X ( F ) de F -puntos racionales es denso de Zariski en X . [17]
La métrica de Carathéodory es otra pseudométrica intrínseca en variedades complejas, basada en mapas holomórficos del disco unitario en lugar de desde el disco unitario. La pseudométrica infinitesimal de Kobayashi es una pseudométrica de Finsler cuya función de distancia asociada es la pseudométrica de Kobayashi como se define anteriormente. [18] La forma de pseudovolumen de Kobayashi-Eisenman es una medida intrínseca en un complejo de n veces, basado en mapas holomórficos desde el polidisco de n dimensiones a X. Se entiende mejor que la pseudométrica de Kobayashi. En particular, cada variedad proyectiva de tipo general es medida hiperbólica , lo que significa que la forma de pseudovolumen de Kobayashi-Eisenman es positiva fuera de un subconjunto algebraico de dimensiones inferiores. [19]
Se han considerado pseudometrías análogas para estructuras proyectivas y afines planas , así como para conexiones proyectivas y conexiones conformes más generales . [20]
