Métrica de Carathéodory

En matemáticas , la métrica de Carathéodory es una métrica definida sobre la bola unitaria abierta de un espacio de Banach complejo que tiene muchas propiedades similares a la métrica de Poincaré de la geometría hiperbólica . Recibe su nombre en honor al matemático griego Constantin Carathéodory .

Definición

Sea ( X , || ||) un espacio complejo de Banach y sea B la esfera unitaria abierta en X . Sea Δ el disco unitario abierto en el plano complejo C , considerado como el modelo de disco de Poincaré para geometría hiperbólica compleja unidimensional/real bidimensional. Sea la métrica de Poincaré ρ en Δ dada por

${\displaystyle \rho (a,b)=\tanh ^{-1}{\frac {|a-b|}{|1-{\bar {a}}b|}}}$

(fijando así la curvatura en −4). Entonces la métrica de Carathéodory d en B se define por

${\displaystyle d(x,y)=\sup\{\rho (f(x),f(y))|f:B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}.}$

Lo que significa que una función en un espacio de Banach sea holomorfa se define en el artículo sobre Holomorfía de dimensión infinita .

Propiedades

• Para cualquier punto x en B ,

${\displaystyle d(0,x)=\rho (0,\|x\|).}$

• d también puede darse mediante la siguiente fórmula, que Carathéodory atribuyó a Erhard Schmidt :

${\displaystyle d(x,y)=\sup \left\{\left.2\tanh ^{-1}\left\|{\frac {f(x)-f(y)}{2}}\right\|\right|f:B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\right\}}$

• Para todos a y b en B ,

${\displaystyle \|a-b\|\leq 2\tanh {\frac {d(a,b)}{2}},\qquad \qquad (1)}$

con igualdad si y sólo si a  =  b o existe una función lineal acotada ℓ ∈  X ^∗ tal que ||ℓ|| = 1, ℓ( a  +  b ) = 0 y

${\displaystyle \rho (\ell (a),\ell (b))=d(a,b).}$

Además, cualquier ℓ que satisfaga estas tres condiciones tiene |ℓ( a  −  b )| = || a  −  b ||.

• Además, hay igualdad en (1) si || a || = || b || y || a  −  b || = || a || + || b ||. Una forma de hacer esto es tomar b  = − a .
• Si existe un vector unitario u en X que no es un punto extremo de la bola unitaria cerrada en X , entonces existen puntos a y b en B tales que hay igualdad en (1) pero b  ≠ ± a .

Longitud de Carathéodory de un vector tangente

Existe una noción asociada de longitud de Carathéodory para los vectores tangentes a la bola B . Sea x un punto de B y sea v un vector tangente a B en x ; dado que B es la bola unitaria abierta en el espacio vectorial X , el espacio tangente T _x B puede identificarse con X de manera natural, y v puede considerarse un elemento de X . Entonces, la longitud de Carathéodory de v en x , denotada α ( x ,  v ), se define por

${\displaystyle \alpha (x,v)=\sup {\big \{}|\mathrm {D} f(x)v|{\big |}f:B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}{\big \}}.}$

Se puede demostrar que α ( x ,  v ) ≥ || v ||, con igualdad cuando x  = 0.

Véase también

• Teorema del punto fijo de Earle-Hamilton

Referencias

• Earle, Clifford J. y Harris, Lawrence A. y Hubbard, John H. y Mitra, Sudeb (2003). "El lema de Schwarz y la pseudometría de Kobayashi y Carathéodory en variedades complejas de Banach". En Komori, Y.; Markovic, V.; Series, C. (eds.). Grupos kleinianos y 3-variedades hiperbólicas (Warwick, 2001) . London Math. Soc. Lecture Note Ser. 299. Cambridge: Cambridge Univ. Press. págs. 363–384. ISBN 9780521540131.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )