Teoría de Nevanlinna

En el campo matemático del análisis complejo , la teoría de Nevanlinna forma parte de la teoría de funciones meromórficas . Fue ideada en 1925 por Rolf Nevanlinna . Hermann Weyl la llamó "uno de los pocos grandes acontecimientos matemáticos del siglo (xx)". ^[1] La teoría describe la distribución asintótica de soluciones de la ecuación f ( z ) = a , a medida que a varía. Una herramienta fundamental es la característica de Nevanlinna T ( r , f ) que mide la tasa de crecimiento de una función meromórfica.

Otros contribuyentes importantes en la primera mitad del siglo XX fueron Lars Ahlfors , André Bloch , Henri Cartan , Edward Collingwood , Otto Frostman , Frithiof Nevanlinna , Henrik Selberg , Tatsujiro Shimizu, Oswald Teichmüller y Georges Valiron . En su forma original, la teoría de Nevanlinna trata con funciones meromórficas de una variable compleja definida en un disco | z | ≤ R o en todo el plano complejo ( R  = ∞). Generalizaciones posteriores extendieron la teoría de Nevanlinna a funciones algebroides, curvas holomorfas , aplicaciones holomorfas entre variedades complejas de dimensión arbitraria, aplicaciones cuasirregulares y superficies mínimas .

En este artículo se describe principalmente la versión clásica para funciones meromórficas de una variable, con énfasis en las funciones meromórficas en el plano complejo. Las referencias generales para esta teoría son Goldberg & Ostrovskii ^[2] , Hayman ^[3] y Lang (1987).

Característica de Nevanlinna

Definición original de Nevanlinna

Sea f una función meromórfica. Para cada r  ≥ 0, sea n ( r , f ) el número de polos, contando la multiplicidad, de la función meromórfica f en el disco | z | ≤ r . Luego definamos la función de conteo de Nevanlinna mediante

${\displaystyle N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\right){\dfrac {dt}{t}}+n(0,f)\log r.\,}$

Esta cantidad mide el crecimiento del número de polos en los discos | z | ≤ r , a medida que r aumenta. Explícitamente, sean a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n los polos de ƒ en el disco perforado 0 < | z | ≤ r repetido de acuerdo con la multiplicidad. Entonces n = n ( r , f ) - n (0, f ), y

${\displaystyle N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+n(0,f)\log r.\,}$

Sea log ⁺ x  = max(log  x , 0). Entonces la función de proximidad se define por

${\displaystyle m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\theta })\right|d\theta .\,}$

Finalmente, defina la característica de Nevanlinna mediante (cf. la fórmula de Jensen para funciones meromórficas)

${\displaystyle T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).\,}$

Versión de Ahlfors–Shimizu

Un segundo método para definir la característica de Nevanlinna se basa en la fórmula

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,}$

donde dm es el elemento de área en el plano. La expresión del lado izquierdo se denomina característica de Ahlfors-Shimizu. El término acotado O (1) no es importante en la mayoría de las preguntas.

El significado geométrico de la característica de Ahlfors—Shimizu es el siguiente. La integral interna dm es el área esférica de la imagen del disco | z | ≤ t , contando la multiplicidad (es decir, las partes de la esfera de Riemann cubiertas k veces se cuentan k veces). Esta área se divide por π que es el área de toda la esfera de Riemann. El resultado se puede interpretar como el número promedio de láminas en la cobertura de la esfera de Riemann por el disco | z | ≤ t . Luego, este número de cobertura promedio se integra con respecto a t con peso 1/ t .

Propiedades

El papel de la función característica en la teoría de funciones meromórficas en el plano es similar al de

${\displaystyle \log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,}$

En la teoría de funciones completas , de hecho, es posible comparar directamente T ( r , f ) y M ( r , f ) para una función completa:

${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,}$

y

${\displaystyle \log M(r,f)\leq \left({\dfrac {R+r}{R-r}}\right)T(R,f),\,}$

para cualquier R  >  r .

Si f es una función racional de grado d , entonces T ( r , f ) ~  d  log  r ; de hecho, T ( r , f ) =  O (log  r ) si y sólo si f es una función racional.

El orden de una función meromórfica se define por

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.}$

Las funciones de orden finito constituyen una subclase importante que ha sido muy estudiada.

Cuando el radio R del disco | z | ≤ R , en el que se define la función meromórfica, es finito, la característica de Nevanlinna puede estar acotada. Las funciones en un disco con característica acotada, también conocidas como funciones de tipo acotado , son exactamente aquellas funciones que son cocientes de funciones analíticas acotadas. Las funciones de tipo acotado también pueden definirse así para otro dominio, como el semiplano superior .

Primer teorema fundamental

Sea a  ∈  C , y definamos

${\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right).\,}$

Para a  = ∞, establecemos N ( r ,∞, f ) =  N ( r , f ), m ( r ,∞, f ) =  m ( r , f ).

El primer teorema fundamental de la teoría de Nevanlinna establece que para cada a en la esfera de Riemann ,

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}$

donde el término acotado O (1) puede depender de f y a . ^[4] Para funciones meromórficas no constantes en el plano, T ( r ,  f ) tiende a infinito cuando r tiende a infinito, por lo que el Primer Teorema Fundamental dice que la suma N ( r , a , f ) +  m ( r , a , f ), tiende a infinito a una tasa que es independiente de a . El primer Teorema Fundamental es una consecuencia simple de la fórmula de Jensen .

La función característica tiene las siguientes propiedades del grado:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}}$

donde m es un número natural. El término acotado O (1) es despreciable cuando T ( r , f ) tiende a infinito. Estas propiedades algebraicas se obtienen fácilmente a partir de la definición de Nevanlinna y la fórmula de Jensen.

Segundo teorema fundamental

Definimos N ( r ,  f ) de la misma manera que N ( r , f ) pero sin tener en cuenta la multiplicidad (es decir, solo contamos el número de polos distintos). Entonces N ₁ ( r , f ) se define como la función de conteo de Nevanlinna de puntos críticos de f , es decir

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).\,}$

El segundo teorema fundamental dice que para cada k valores distintos a _j en la esfera de Riemann, tenemos

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,}$

Esto implica

${\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),\,}$

donde S ( r , f ) es un "término de error pequeño".

Para funciones meromórficas en el plano, S ( r , f ) = o( T ( r , f )), fuera de un conjunto de longitud finita, es decir, el término de error es pequeño en comparación con la característica para la "mayoría" de los valores de r . Se conocen estimaciones mucho mejores del término de error, pero Andre Bloch conjeturó y Hayman demostró que no se puede prescindir de un conjunto excepcional.

El Segundo Teorema Fundamental permite dar una cota superior para la función característica en términos de N ( r , a ). Por ejemplo, si f es una función entera trascendental, utilizando el Segundo Teorema Fundamental con k  = 3 y a ₃  = ∞, obtenemos que f toma cualquier valor infinitas veces, con a lo sumo dos excepciones, demostrando el Teorema de Picard .

La demostración original de Nevanlinna del Segundo Teorema Fundamental se basó en el llamado Lema de la derivada logarítmica , que dice que m ( r , f' / f ) =  S ( r , f ). Una demostración similar también se aplica a muchas generalizaciones multidimensionales. También hay demostraciones diferenciales-geométricas que lo relacionan con el teorema de Gauss-Bonnet . El Segundo Teorema Fundamental también puede derivarse de la teoría métrico-topológica de Ahlfors , que puede considerarse como una extensión de la fórmula de Riemann-Hurwitz a los recubrimientos de grado infinito.

Las demostraciones de Nevanlinna y Ahlfors indican que la constante 2 del Segundo Teorema Fundamental está relacionada con la característica de Euler de la esfera de Riemann. Sin embargo, hay una explicación muy diferente de este 2, basada en una analogía profunda con la teoría de números descubierta por Charles Osgood y Paul Vojta . Según esta analogía, 2 es el exponente en el teorema de Thue-Siegel-Roth . Sobre esta analogía con la teoría de números nos remitimos al estudio de Lang (1987) y al libro de Ru (2001).

Relación de defectos

La relación de defecto es uno de los principales corolarios del Segundo Teorema Fundamental. El defecto de una función meromórfica en el punto a se define por la fórmula

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,}$

Por el Primer Teorema Fundamental, 0 ≤  δ ( a , f ) ≤ 1, si T ( r , f ) tiende a infinito (lo que siempre es el caso para funciones no constantes meromórficas en el plano). Los puntos a para los cuales δ ( a , f ) > 0 se denominan valores deficientes . El Segundo Teorema Fundamental implica que el conjunto de valores deficientes de una función meromórfica en el plano es, como máximo, numerable y se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}$

donde la suma se aplica a todos los valores deficientes. ^[5] Esto puede considerarse como una generalización del teorema de Picard . Muchos otros teoremas de tipo Picard pueden derivarse del Segundo Teorema Fundamental.

Como otro corolario del Segundo Teorema Fundamental, se puede obtener que

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}$

lo que generaliza el hecho de que una función racional de grado d tiene 2 d  − 2 < 2 d puntos críticos.

Aplicaciones

La teoría de Nevanlinna es útil en todas las cuestiones donde surgen funciones meromórficas trascendentales, como la teoría analítica de ecuaciones diferenciales y funcionales ^{[6] [7],} la dinámica holomorfa , las superficies mínimas y la geometría hiperbólica compleja, que trata de generalizaciones del teorema de Picard a dimensiones superiores. ^[8]

Desarrollo adicional

Una parte sustancial de la investigación en funciones de una variable compleja en el siglo XX se centró en la teoría de Nevanlinna. Una dirección de esta investigación fue averiguar si las principales conclusiones de la teoría de Nevanlinna son lo mejor posible. Por ejemplo, el problema inverso de la teoría de Nevanlinna consiste en construir funciones meromórficas con deficiencias preasignadas en puntos dados. Esto fue resuelto por David Drasin en 1976. ^[9] Otra dirección se concentró en el estudio de varias subclases de la clase de todas las funciones meromórficas en el plano. La subclase más importante consiste en funciones de orden finito. Resulta que para esta clase, las deficiencias están sujetas a varias restricciones, además de la relación de defecto (Norair Arakelyan, David Drasin, Albert Edrei, Alexandre Eremenko , Wolfgang Fuchs , Anatolii Goldberg , Walter Hayman , Joseph Miles, Daniel Shea, Oswald Teichmüller , Alan Weitsman y otros).

Henri Cartan , Joachim y Hermann Weyl ^[1] y Lars Ahlfors extendieron la teoría de Nevanlinna a las curvas holomorfas . Esta extensión es la herramienta principal de la geometría hiperbólica compleja. ^[10] Henrik Selberg y Georges Valiron extendieron la teoría de Nevanlinna a las funciones algebroides . ^[11] La investigación intensiva en la teoría unidimensional clásica aún continúa. ^[12]

Véase también

• Conjetura de Vojta

Referencias

1. H. Weyl (1943). Funciones meromórficas y curvas analíticas . Princeton University Press . pág. 8.
2. Goldberg, A. ; Ostrovskii, I. (2008). Distribución de valores de funciones meromórficas . American Mathematical Society .
3. Hayman, W. (1964). Funciones meromórficas . Oxford University Press .
4. Ru (2001) pág. 5
5. Ru (2001) pág. 61
6. Ilpo Laine (1993). Teoría de Nevanlinna y ecuaciones diferenciales complejas . Berlín: Walter de Gruyter .
7. Eremenko, A. (1982). "Soluciones meromorfas de ecuaciones diferenciales algebraicas". Russian Mathematical Surveys . 37 (4): 61–95. Bibcode :1982RuMaS..37...61E. CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . doi :10.1070/RM1982v037n04ABEH003967. 
8. Lang (1987) pág. 39
9. Drasin, David (1976). "El problema inverso de la teoría de Nevanlinna". Acta Math. 138 (1): 83–151. doi : 10.1007/BF02392314 . MR  0585644.
10. Lang (1987) cap. VII
11. Valiron, G. (1931). "Sur la derivaée des fonctions algébroïdes". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . vol. 59, págs. 17–39.
12. A. Eremenko y J. Langley (2008). Funciones meromórficas de una variable compleja. Una encuesta, publicada como apéndice de Goldberg, A .; Ostrovskii, I. (2008). Distribución de valores de funciones meromórficas . American Mathematical Society .

• Lang, Serge (1987). Introducción a los espacios hiperbólicos complejos . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-96447-8.Zbl 0628.32001  .
• Lang, Serge (1997). Encuesta sobre geometría diofántica . Springer-Verlag . Págs. 192-204. ISBN. 978-3-540-61223-0.Zbl 0869.11051  .
• Nevanlinna, Rolf (1925), "Zur Theorie der Meromorphen Funktionen", Acta Mathematica , 46 (1–2): 1–99, doi : 10.1007/BF02543858 , ISSN  0001-5962
• Nevanlinna, Rolf (1970) [1936], Funciones analíticas, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 162, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0279280
• Ru, Min (2001). Teoría de Nevanlinna y su relación con la aproximación diofántica . World Scientific Publishing. ISBN 978-981-02-4402-6.

Lectura adicional

• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). "13. Teoría de Nevanlinna". Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 4. Cambridge University Press . págs. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3.Zbl 1115.11034  .
• Kodaira, Kunihiko (2017). Teoría de Nevanlinna . SpringerBriefs en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 978-981-10-6786-0.Zbl 1386.30002  .
• Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1239. Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-17551-3.Zbl 0609.14011  .
• Vojta, Paul (2011). "Aproximación diofántica y teoría de Nevanlinna". En Corvaja, Pietro; Gasbarri, Carlo (eds.). Geometría aritmética. Conferencias dictadas en la escuela de verano del CIME, Cetraro, Italia, del 10 al 15 de septiembre de 2007. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2009. Berlín: Springer-Verlag . pp. 111–224. ISBN 978-3-642-15944-2.Zbl 1258.11076  .

Enlaces externos

• Petrenko, VP (2001) [1994], "Teoría de la distribución del valor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Petrenko, VP (2001) [1994], "Teoremas de Nevanlinna", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press