Dinámica compleja

rama de las matemáticas

La dinámica compleja , u dinámica holomorfa , es el estudio de sistemas dinámicos obtenidos iterando un mapeo analítico complejo . Este artículo se centra en el caso de la dinámica algebraica , donde se itera una función polinómica o racional . En términos geométricos, eso equivale a iterar un mapeo desde alguna variedad algebraica hacia sí mismo. La teoría relacionada de la dinámica aritmética estudia la iteración sobre los números racionales o los números p-ádicos en lugar de los números complejos .

Dinámica en dimensión compleja 1

Un ejemplo sencillo que muestra algunos de los principales problemas de la dinámica compleja es el mapeo de los números complejos C a sí mismo. Es útil ver esto como un mapa desde la línea proyectiva compleja hacia sí misma, agregando un punto a los números complejos. ( tiene la ventaja de ser compacto ). La pregunta básica es: dado un punto en , ¿cómo funciona su órbita (u órbita hacia adelante )? ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8},\;\ldots }$

comportarse, cualitativamente? La respuesta es: si el valor absoluto | z | es menor que 1, entonces la órbita converge a 0, de hecho, más que exponencialmente rápido. Si | z | es mayor que 1, entonces la órbita converge al punto en , nuevamente más que exponencialmente rápido. (Aquí 0 y son puntos fijos de f superatractores , lo que significa que la derivada de f es cero en esos puntos. Un punto fijo de atracción significa uno en el que la derivada de f tiene un valor absoluto menor que 1.) ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \infty }$

Por otro lado, supongamos que , lo que significa que z está en el círculo unitario en C . En estos puntos, la dinámica de f es caótica, en varios sentidos. Por ejemplo, para casi todos los puntos z del círculo en términos de la teoría de la medida , la órbita directa de z es densa en el círculo y, de hecho, está distribuida uniformemente en el círculo. También hay infinitos puntos periódicos en el círculo, es decir, puntos con algún entero positivo r . (Aquí se refiere al resultado de aplicar f a z r veces,. ) Incluso en puntos periódicos z en el círculo, la dinámica de f puede considerarse caótica, ya que los puntos cercanos a z divergen exponencialmente rápido de z al iterar f . (Los puntos periódicos de f en el círculo unitario se repelen : si , la derivada de at z tiene un valor absoluto mayor que 1.) ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle f^{r}(z)}$ ${\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}$ ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle f^{r}}$

Pierre Fatou y Gaston Julia demostraron a finales de la década de 1910 que gran parte de esta historia se extiende a cualquier aplicación algebraica compleja desde hacia sí mismo de grado mayor que 1. (Dicha aplicación puede estar dada por un polinomio con coeficientes complejos o, más generalmente, por una aplicación racional). función.) Es decir, siempre hay un subconjunto compacto de , el conjunto de Julia , en el que la dinámica de f es caótica. Para el mapeo , el conjunto de Julia es el círculo unitario. Para otras asignaciones polinómicas, el conjunto de Julia suele ser muy irregular, por ejemplo, un fractal en el sentido de que su dimensión de Hausdorff no es un número entero. Esto ocurre incluso para asignaciones tan simples como las de una constante . El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos c tales que el conjunto de Julia es conexo . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

El conjunto de Julia del polinomio con . ${\displaystyle f(z)=z^{2}+az}$ ${\displaystyle a\doteq -0.5+0.866i}$

El conjunto de Julia del polinomio con . Este es un conjunto de Cantor . ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c\doteq 0.383-0.0745i}$

Existe una clasificación bastante completa de la posible dinámica de una función racional en el conjunto de Fatou , el complemento del conjunto de Julia, donde la dinámica es "mansa". Es decir, Dennis Sullivan demostró que cada componente conectado U del conjunto de Fatou es preperiódico, lo que significa que existen números naturales tales que . Por lo tanto, para analizar la dinámica de un componente U , se puede suponer después de reemplazar f por una iteración que . Entonces (1) U contiene un punto fijo atractivo para f ; (2) U es parabólica en el sentido de que todos los puntos de U se aproximan a un punto fijo en la frontera de U ; (3) U es un disco de Siegel , lo que significa que la acción de f sobre U está conjugada con una rotación irracional del disco unitario abierto; o (4) U es un anillo de Herman , lo que significa que la acción de f sobre U está conjugada con una rotación irracional de un anillo abierto . ^[1] (Tenga en cuenta que la "órbita hacia atrás" de un punto z en U , el conjunto de puntos en ese mapa hasta z bajo alguna iteración de f , no necesita estar contenida en U ). ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}$ ${\displaystyle f(U)=U}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

La medida de equilibrio de un endomorfismo.

Se han desarrollado dinámicas complejas de manera efectiva en cualquier dimensión. Esta sección se centra en las asignaciones del espacio proyectivo complejo a sí mismo, la fuente más rica de ejemplos. Los principales resultados se han extendido a una clase de aplicaciones racionales de cualquier variedad proyectiva hacia sí misma. ^[2] Tenga en cuenta, sin embargo, que muchas variedades no tienen automapas interesantes. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Sea f un endomorfismo de , es decir, un morfismo de variedades algebraicas desde hacia sí mismo, para un entero positivo n . Tal mapeo está dado en coordenadas homogéneas por ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}$

para algunos polinomios homogéneos del mismo grado d que no tienen ceros comunes en . (Según el teorema de Chow , esto es lo mismo que un mapeo holomórfico de sí mismo.) Supongamos que d es mayor que 1; entonces el grado de mapeo f es , que también es mayor que 1. ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle d^{n}}$

Entonces hay una medida de probabilidad única en , la medida de equilibrio de f , que describe la parte más caótica de la dinámica de f . (También se le ha llamado medida de Green o medida de entropía máxima ). Esta medida fue definida por Hans Brolin (1965) para polinomios en una variable, por Alexandre Freire, Artur Lopes , Ricardo Mañé y Mikhail Lyubich para (alrededor de 1983) , y por John Hubbard , Peter Papadopol, John Fornaess y Nessim Sibony en cualquier dimensión (alrededor de 1994). ^[3] El pequeño conjunto de Julia es el soporte de la medida de equilibrio en ; este es simplemente el conjunto de Julia cuando . ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

Ejemplos

• Para el mapeo de , la medida de equilibrio es la medida de Haar (la medida estándar, escalada para tener una medida total 1) en el círculo unitario . ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle |z|=1}$
• De manera más general, para un número entero , sea el mapeo ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}$

Entonces la medida de equilibrio es la medida de Haar en el toro n -dimensional. Para mapeos holomórficos más generales de sí mismo, la medida de equilibrio puede ser mucho más complicada, como ya se ve en la dimensión compleja 1 en las imágenes de conjuntos de Julia. ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Caracterizaciones de la medida de equilibrio.

Una propiedad básica de la medida de equilibrio es que es invariante bajo f , en el sentido de que la medida de avance es igual a . Debido a que f es un morfismo finito , la medida de retroceso también está definida y es totalmente invariante en el sentido de que . ${\displaystyle f_{*}\mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f^{*}\mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}$

Una caracterización sorprendente de la medida de equilibrio es que describe las asintóticas de casi todos los puntos cuando se siguen hacia atrás en el tiempo, por Jean-Yves Briend, Julien Duval, Tien-Cuong Dinh y Sibony. Es decir, para un punto z in y un entero positivo r , considere la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos w con . Entonces hay un subconjunto cerrado de Zariski tal que para todos los puntos z que no están en E , las medidas recién definidas convergen débilmente a la medida de equilibrio cuando r tiende al infinito. Con más detalle: sólo un número finito de subespacios complejos cerrados de son totalmente invariantes bajo f (lo que significa que ), y se puede tomar el conjunto excepcional E como el único subespacio complejo cerrado totalmente invariante más grande no igual a . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})}$ ${\displaystyle d^{rn}}$ ${\displaystyle f^{r}(w)=z}$ ${\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)=S}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Otra caracterización de la medida de equilibrio (debida a Briend y Duval) es la siguiente. Para cada entero positivo r , el número de puntos periódicos del período r (lo que significa que ), contados con multiplicidad, es , que es aproximadamente . Considere la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos del período r . Entonces estas medidas también convergen a la medida de equilibrio cuando r tiende al infinito. Además, la mayoría de los puntos periódicos se repelen y se encuentran en , por lo que se obtiene la misma medida límite promediando solo los puntos periódicos repelentes en . ^[5] También puede haber puntos periódicos repelentes en el exterior . ^[6] ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}$ ${\displaystyle d^{rn}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$

La medida de equilibrio da masa cero a cualquier subespacio complejo cerrado que no sea todo el espacio. ^[7] Dado que los puntos periódicos en son densos en , se deduce que los puntos periódicos de f son densos en Zariski . Najmuddin Fakhruddin dio una prueba más algebraica de esta densidad de Zariski. ^[8] Otra consecuencia de dar masa cero a subespacios complejos cerrados no iguales es que cada punto tiene masa cero. Como resultado, el apoyo de no tiene puntos aislados, por lo que es un conjunto perfecto . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

El apoyo de la medida de equilibrio no es demasiado pequeño, en el sentido de que su dimensión de Hausdorff es siempre mayor que cero. ^[7] En ese sentido, un endomorfismo de espacio proyectivo complejo con grado mayor que 1 siempre se comporta caóticamente al menos en parte del espacio. (Hay ejemplos donde está todo de . ^[9] ) Otra forma de precisar que f tiene algún comportamiento caótico es que la entropía topológica de f es siempre mayor que cero, de hecho igual a , por Mikhail Gromov , Michał Misiurewicz y Félix Przytycki. ^[10] ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n\log d}$

Para cualquier endomorfismo continuo f de un espacio métrico compacto X , la entropía topológica de f es igual al máximo de la entropía teórica de medidas (o "entropía métrica") de todas las f -medidas invariantes en X. Para un endomorfismo holomórfico f de , la medida de equilibrio es la única medida invariante de entropía máxima, de Briend y Duval. ^[3] Esta es otra forma de decir que el comportamiento más caótico de f se concentra en el soporte de la medida de equilibrio. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Finalmente, se puede decir más sobre la dinámica de f sobre el soporte de la medida de equilibrio: f es ergódica y, más fuertemente, mixta con respecto a esa medida, por Fornaess y Sibony. ^[11] De ello se deduce, por ejemplo, que para casi todos los puntos con respecto a , su órbita hacia adelante está distribuida uniformemente con respecto a . ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

mapas de Lattes

Un mapa de Lattès es un endomorfismo f de obtenido a partir de un endomorfismo de una variedad abeliana dividiendo por un grupo finito . En este caso, la medida de equilibrio de f es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en . Por el contrario, según Anna Zdunik , François Berteloot y Christophe Dupont, los únicos endomorfismos cuya medida de equilibrio es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue son los ejemplos de Lattès. ^[12] Es decir, para todos los endomorfismos que no son de Lattès, asigna su masa completa 1 a algún conjunto de Borel de medida de Lebesgue 0. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Una muestra aleatoria de la medida de equilibrio del mapa de Lattès . El conjunto Julia es todo de . ${\displaystyle f(z)=(z-2)^{2}/z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

"Una muestra aleatoria de la medida de equilibrio del mapa que no es de Lattès" . El conjunto de Julia es todo de , ^[13] pero la medida de equilibrio es muy irregular. ${\displaystyle f(z)=(z-2)^{4}/z^{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

En la dimensión 1, se sabe más sobre la "irregularidad" de la medida de equilibrio. Es decir, definir la dimensión de Hausdorff de una medida de probabilidad en (o más generalmente en una variedad suave) por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}$

donde denota la dimensión de Hausdorff de un conjunto de Borel Y. Para un endomorfismo f de de grado mayor que 1, Zdunik demostró que la dimensión de es igual a la dimensión de Hausdorff de su soporte (el conjunto de Julia) si y sólo si f es conjugado a un mapa de Lattès, un polinomio de Chebyshev (hasta el signo ), o un mapa de poder con . ^[14] (En los últimos casos, el conjunto de Julia es todo de , un intervalo cerrado o un círculo, respectivamente. ^[15] ) Por lo tanto, fuera de esos casos especiales, la medida de equilibrio es muy irregular y asigna masa positiva a algún conjunto cerrado. subconjuntos del conjunto de Julia con dimensiones de Hausdorff más pequeñas que el conjunto de Julia completo. ${\displaystyle \dim _{H}(Y)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

Automorfismos de variedades proyectivas.

De manera más general, la dinámica compleja busca describir el comportamiento de mapas racionales bajo iteración. Un caso que se ha estudiado con cierto éxito es el de los automorfismos de una variedad proyectiva compleja suave X , es decir, isomorfismos f de X a sí mismo. El caso de mayor interés es donde f actúa de manera no trivial sobre la cohomología singular . ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}$

Gromov y Yosef Yomdin demostraron que la entropía topológica de un endomorfismo (por ejemplo, un automorfismo) de una variedad proyectiva compleja suave está determinada por su acción sobre la cohomología. ^[16] Explícitamente, para X de dimensión compleja n y , sea el radio espectral de f que actúa por retroceso en el grupo de cohomología de Hodge . Entonces la entropía topológica de f es ${\displaystyle 0\leq p\leq n}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}$

(La entropía topológica de f es también el logaritmo del radio espectral de f en toda la cohomología ). Por lo tanto, f tiene algún comportamiento caótico, en el sentido de que su entropía topológica es mayor que cero, si y sólo si actúa sobre alguna cohomología. grupo con un valor propio de valor absoluto mayor que 1. Muchas variedades proyectivas no tienen tales automorfismos, pero (por ejemplo) muchas superficies racionales y superficies K3 sí tienen tales automorfismos. ^[17] ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$

Sea X una variedad Kähler compacta , que incluye el caso de una variedad proyectiva compleja suave. Digamos que un automorfismo f de X tiene acción simple sobre cohomología si: solo hay un número p tal que toma su valor máximo, la acción de f sobre tiene solo un valor propio con valor absoluto , y este es un valor propio simple . Por ejemplo, Serge Cantat demostró que cada automorfismo de una superficie compacta de Kähler con entropía topológica positiva tiene una acción simple sobre la cohomología. ^[18] (Aquí un "automorfismo" es un análisis complejo, pero no se supone que preserve una métrica de Kähler en X. De hecho, cada automorfismo que preserva una métrica tiene entropía topológica cero). ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle d_{p}}$

Para un automorfismo f con acción simple sobre cohomología, se han logrado algunos de los objetivos de la dinámica compleja. Dinh, Sibony y Henry de Thélin demostraron que existe una medida de probabilidad invariante única de entropía máxima para f , llamada medida de equilibrio (o medida de Green , o medida de entropía máxima ). ^[19] (En particular, tiene entropía con respecto a f .) El soporte de se llama conjunto pequeño de Julia . Informalmente: f tiene cierto comportamiento caótico y el comportamiento más caótico se concentra en el pequeño conjunto de Julia. Al menos cuando X es proyectivo, tiene dimensión de Hausdorff positiva. (Más precisamente, asigna masa cero a todos los conjuntos de dimensión de Hausdorff suficientemente pequeña). ^[20] ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \log d_{p}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Automorfismos de Kummer

Algunas variedades abelianas tienen un automorfismo de entropía positiva. Por ejemplo, sea E una curva elíptica compleja y sea X la superficie abeliana . Entonces el grupo de matrices enteras invertibles actúa sobre X . Cualquier elemento de grupo f cuya traza tenga un valor absoluto mayor que 2, por ejemplo , tiene un radio espectral mayor que 1, por lo que da un automorfismo de entropía positiva de X. La medida de equilibrio de f es la medida de Haar (la medida estándar de Lebesgue) en X. ^[21] ${\displaystyle E\times E}$ ${\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

Los automorfismos de Kummer se definen tomando el espacio cociente por un grupo finito de una superficie abeliana con automorfismo y luego ampliando para suavizar la superficie. Las superficies resultantes incluyen algunas superficies especiales K3 y superficies racionales. Para los automorfismos de Kummer, la medida de equilibrio tiene un soporte igual a X y es suave fuera de un número finito de curvas. Por el contrario, Cantat y Dupont demostraron que para todos los automorfismos de superficie de entropía positiva, excepto los ejemplos de Kummer, la medida de equilibrio no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. ^[22] En este sentido, es habitual que la medida de equilibrio de un automorfismo sea algo irregular.

Puntos periódicos de silla de montar

Un punto periódico z de f se llama punto periódico de silla si, para un entero positivo r tal que , al menos un valor propio de la derivada de en el espacio tangente en z tiene un valor absoluto menor que 1, al menos uno tiene un valor absoluto mayor que 1, y ninguno tiene un valor absoluto igual a 1. (Así, f se expande en algunas direcciones y se contrae en otras, cerca de z ). Para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, los puntos periódicos de la silla son densos en el soporte de la medida de equilibrio . ^[20] Por otro lado, la medida se desvanece en subespacios complejos cerrados no iguales a X. ^[20] De ello se deduce que los puntos periódicos de f (o incluso solo los puntos periódicos de la silla contenidos en el soporte de ) son densos en Zariski en X . ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle f^{r}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Para un automorfismo f con acción simple sobre cohomología, f y su mapa inverso son ergódicos y, más fuertemente, mixtos con respecto a la medida de equilibrio . ^[23] De ello se deduce que para casi todos los puntos z con respecto a , las órbitas hacia adelante y hacia atrás de z están distribuidas uniformemente con respecto a . ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Una diferencia notable con el caso de los endomorfismos de es que para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, puede haber un subconjunto abierto no vacío de X en el que ni las órbitas hacia adelante ni hacia atrás se acerquen al soporte de la medida de equilibrio. Por ejemplo, Eric Bedford, Kyounghee Kim y Curtis McMullen construyeron automorfismos f de una superficie racional proyectiva suave con entropía topológica positiva (de ahí una acción simple sobre cohomología) tal que f tiene un disco de Siegel, en el que la acción de f está conjugada con un rotación irracional. ^[24] Los puntos en ese conjunto abierto nunca se acercan bajo la acción de f o su inversa. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$

Al menos en la dimensión compleja 2, la medida de equilibrio de f describe la distribución de los puntos periódicos aislados de f . (También puede haber curvas complejas fijadas por f o una iteración, que aquí se ignoran). Es decir, sea f un automorfismo de una superficie compacta de Kähler X con entropía topológica positiva . Considere la medida de probabilidad que está distribuida uniformemente en los puntos periódicos aislados del período r (lo que significa que ). Entonces esta medida converge débilmente cuando r tiende al infinito, por Eric Bedford, Lyubich y John Smillie . ^[25] Lo mismo se aplica al subconjunto de puntos periódicos de silla, porque ambos conjuntos de puntos periódicos crecen a una tasa de . ${\displaystyle h(f)=\log d_{1}}$ ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle (d_{1})^{r}}$

Ver también

• Dinámica en dimensión compleja 1
  • Análisis complejo
  • Polinomio cuadrático complejo
  • Composiciones infinitas de funciones analíticas.
  • teorema de montel
  • Métrica de Poincaré
  • Lema negro
  • Teorema de mapeo de Riemann
  • Teorema de Carathéodory (mapeo conforme)
  • La ecuación de Böttcher
  • Retratos en órbita
  • rompecabezas de yocoz

• Áreas relacionadas de la dinámica
  • Dinámica aritmética
  • Teoría del caos
  • Dinámica simbólica

Notas

1. Milnor (2006), sección 13.
2. Guedj (2010), Teorema B.
3. Dinh & Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.7.11.
4. Dinh & Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.4.1.
5. Dinh & Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.4.13.
6. Fornaess y Sibony (2001), Teorema 4.3.
7. Dinh & Sibony (2010), "Dinámica ...", Proposición 1.2.3.
8. Fakhruddin (2003), Corolario 5.3.
9. Milnor (2006), Teorema 5.2 y problema 14-2; Fornaess (1996), Capítulo 3.
10. Dinh & Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.7.1.
11. Dinh & Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.6.3.
12. Berteloot y Dupont (2005), Teorema 1.
13. Milnor (2006), problema 14-2.
14. Zdunik (1990), Teorema 2; Berteloot y Dupont (2005), introducción.
15. Milnor (2006), problema 5-3.
16. Cantat (2000), Teorème 2.2.
17. Cantat (2010), apartados 7 a 9.
18. Cantat (2014), sección 2.4.3.
19. De Thélin y Dinh (2012), Teorema 1.2.
20. Dinh & Sibony (2010), "Superpotenciales ...", sección 4.4.
21. Cantat & Dupont (2020), sección 1.2.1.
22. Cantat & Dupont (2020), Teorema principal.
23. Dinh & Sibony (2010), "Superpotenciales ...", Teorema 4.4.2.
24. Cantat (2010), Teorema 9.8.
25. Cantat (2014), Teorema 8.2.

Referencias

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enlaces externos

• Galería de dinámicas (Curtis McMullen)
• Encuestas en Sistemas Dinámicos