retrato orbital

En matemáticas , un retrato de órbita es una herramienta combinatoria utilizada en dinámica compleja para comprender el comportamiento de mapas cuadráticos unidimensionales complejos .

En palabras simples se puede decir que es:

• una lista de ángulos externos para los cuales los rayos caen en puntos de esa órbita
• gráfico que muestra la lista anterior

Definición

Dado un mapa cuadrático

${\displaystyle f_{c}:z\mapsto z^{2}+c.}$

del plano complejo a sí mismo

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {\mathbb {C} } \to \mathbb {\mathbb {C} } }$

y una órbita periódica repelente o parabólica de , de modo que (donde los subíndices se toman 1 + módulo ), sea el conjunto de ángulos cuyos rayos externos correspondientes aterrizan en . ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{z_{1},\ldots z_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z_{j})=z_{j+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$

Entonces el conjunto se denomina retrato orbital de la órbita periódica . ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Todos los conjuntos deben tener el mismo número de elementos, lo que se llama valencia del retrato. ${\displaystyle A_{j}}$

Ejemplos

Conjunto de Julia con rayos externos aterrizando en órbita del período 3

Julia tiene una órbita parabólica de período dos. El retrato de la órbita asociado tiene un arco característico I = (22/63, 25/63) y valencia v = 3 rayos por punto de la órbita.

Retrato de órbita parabólica o repelente

valencia 2

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {3}{7}},{\frac {4}{7}}\right),\left({\frac {6}{7}},{\frac {1}{7}}\right),\left({\frac {5}{7}},{\frac {2}{7}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {4}{9}},{\frac {5}{9}}\right),\left({\frac {8}{9}},{\frac {1}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {2}{9}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {11}{31}},{\frac {12}{31}}\right),\left({\frac {22}{31}},{\frac {24}{31}}\right),\left({\frac {13}{31}},{\frac {17}{31}}\right),\left({\frac {26}{31}},{\frac {3}{31}}\right),\left({\frac {21}{31}},{\frac {6}{31}}\right)\right\rbrace }$

valencia 3

La valencia es 3, por lo que los rayos aterrizan en cada punto de la órbita.

3 rayos externos del período 3 ciclo: , que aterrizan en un punto fijo ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\frac {1}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {2}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {4}{7}}\,}$ ${\displaystyle z=\alpha _{c}\,}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}\right)\right\rbrace }$

Para un polinomio cuadrático complejo con c = -0,03111+0,79111*i, el retrato de la órbita del período parabólico 3 es: ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {74}{511}},{\frac {81}{511}},{\frac {137}{511}}\right),\left({\frac {148}{511}},{\frac {162}{511}},{\frac {274}{511}}\right),\left({\frac {296}{511}},{\frac {324}{511}},{\frac {37}{511}}\right)\right\rbrace }$

Los rayos de los ángulos anteriores aterrizan en puntos de esa órbita. El parámetro c es un centro del componente hiperbólico del período 9 del conjunto de Mandelbrot.

Para Julia parabólica, establezca c = -1,125 + 0,21650635094611*i. Es un punto raíz entre los componentes del período 2 y 6 del conjunto de Mandelbrot. El retrato orbital de la órbita del período 2 con valencia 3 es: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {22}{63}},{\frac {25}{63}},{\frac {37}{63}}\right),\left({\frac {11}{63}},{\frac {44}{63}},{\frac {50}{63}}\right)\right\rbrace }$

valencia 4

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{15}},{\frac {2}{15}},{\frac {4}{15}},{\frac {8}{15}}\right)\right\rbrace }$

Retratos formales en órbita

Cada retrato de órbita tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

• Cada uno es un subconjunto finito de ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$
• El mapa de duplicación en el círculo da una biyección de a y preserva el orden cíclico de los ángulos. ^[3] ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle A_{j+1}}$
• Todos los ángulos en todos los conjuntos son periódicos bajo el mapa de duplicación del círculo, y todos los ángulos tienen exactamente el mismo período. Este período debe ser múltiplo de , por lo que el período tiene la forma , donde se denomina período del rayo recurrente. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle rn}$ ${\displaystyle r}$
• Los conjuntos están desvinculados por pares, es decir, dado cualquier par de ellos, hay dos intervalos disjuntos donde cada intervalo contiene uno de los conjuntos. ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$

Cualquier colección de subconjuntos del círculo que satisfaga estas cuatro propiedades anteriores se denomina retrato orbital formal . Es un teorema de John Milnor que cada retrato de órbita formal se realiza mediante el retrato de órbita real de una órbita periódica de algún mapa cuadrático unidimensional complejo. Los retratos orbitales contienen información dinámica sobre cómo los rayos externos y sus puntos de aterrizaje se mapean en el avión, pero los retratos orbitales formales no son más que objetos combinatorios. El teorema de Milnor establece que, en verdad, no hay distinción entre ambos. ${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$

Retratos triviales de la órbita

El retrato de órbita donde todos los conjuntos tienen un solo elemento se llama trivial, excepto el retrato de órbita . Una definición alternativa es que un retrato de órbita no es trivial si es máximo, lo que en este caso significa que no hay un retrato de órbita que lo contenga estrictamente (es decir, no existe un retrato de órbita tal que ). Es fácil ver que cada retrato de órbita formal trivial se realiza como el retrato de órbita de alguna órbita del mapa , ya que cada rayo externo de este mapa aterriza, y todos aterrizan en distintos puntos del conjunto de Julia . Los retratos orbitales triviales son patológicos en algunos aspectos, y en lo sucesivo nos referiremos sólo a retratos orbitales no triviales. ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {0}}$ ${\displaystyle \{A_{1}^{\prime },\ldots ,A_{n}^{\prime }\}}$ ${\displaystyle A_{j}\subsetneq A_{j}^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$

Arcos

En un retrato de órbita , cada uno es un subconjunto finito del círculo , por lo que cada uno divide el círculo en una serie de intervalos disjuntos, llamados arcos complementarios basados ​​en el punto . La longitud de cada intervalo se denomina ancho angular. Cada uno tiene un arco único más grande basado en él, que se llama arco crítico. El arco crítico siempre tiene una longitud mayor que ${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Estos arcos tienen la propiedad de que cada arco basado en , excepto el arco crítico, se asigna difeomórficamente a un arco basado en , y el arco crítico cubre todos los arcos basados ​​en una vez, excepto un solo arco, que cubre dos veces. El arco que cubre dos veces se llama arco de valor crítico para . Esto no es necesariamente distinto del arco crítico. ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j+1}}$ ${\displaystyle z_{j+1}}$ ${\displaystyle z_{j+1}}$

Cuando escapa al infinito bajo la iteración de , o cuando está en el conjunto de Julia, entonces tiene un ángulo externo bien definido. Llame a este ángulo . está en cada arco de valor crítico. Además, las dos imágenes inversas de debajo del mapa de duplicación ( y ) están en cada arco crítico. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {\theta _{c}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\theta _{c}+1}{2}}}$

Entre todos los arcos de valor crítico para todos los , existe un arco de valor crítico más pequeño único , llamado arco característico que está estrictamente contenido dentro de todos los demás arcos de valor crítico. El arco característico es una invariante completa de un retrato orbital, en el sentido de que dos retratos orbitales son idénticos si y sólo si tienen el mismo arco característico. ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}}$

Sectores

Así como los rayos que aterrizan en la órbita dividen el círculo, también dividen el plano complejo. Para cada punto de la órbita, los rayos externos que aterrizan en dividen el avión en conjuntos abiertos llamados sectores basados ​​en . Los sectores se identifican naturalmente con los arcos complementarios basados ​​en un mismo punto. El ancho angular de un sector se define como la longitud de su correspondiente arco complementario. Los sectores se denominan sectores críticos o sectores de valor crítico cuando los arcos correspondientes son, respectivamente, arcos críticos y arcos de valor crítico. ^[4] ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z_{j}}$

Los sectores también tienen la propiedad interesante de que está en el sector crítico de cada punto, y el valor crítico de está en el sector de valor crítico. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$

Despertadores de parámetros

Dos rayos paramétricos con ángulos y aterrizan en el mismo punto del conjunto de Mandelbrot en el espacio paramétrico si y sólo si existe un retrato de órbita con el intervalo como arco característico. Para cualquier retrato de órbita, sea el punto de aterrizaje común de los dos ángulos externos en el espacio de parámetros correspondiente al arco característico de . Estos dos rayos de parámetros, junto con su punto de aterrizaje común, dividen el espacio de parámetros en dos componentes abiertos. Dejemos que el componente que no contiene el punto se llame -wake y se indique como . Un polinomio cuadrático realiza el retrato de órbita con una órbita repelente exactamente cuando . se realiza con una órbita parabólica sólo para el valor único durante aproximadamente ${\displaystyle t_{-}}$ ${\displaystyle t_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle [t_{-},t_{+}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle c=r_{\mathcal {P}}}$

Retratos primitivos y de órbita satelital.

Además del retrato cero, existen dos tipos de retratos de órbita: primitivo y satélite. Si es la valencia de un retrato orbital y es el período del rayo recurrente, entonces estos dos tipos se pueden caracterizar de la siguiente manera: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

• Los retratos de órbita primitivos tienen y . Cada rayo en el retrato se asigna a sí mismo mediante . Cada uno es un par de ángulos, cada uno en una órbita distinta del mapa de duplicación. En este caso, es el punto base de un bebé Mandelbrot establecido en el espacio de parámetros. ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle v=2}$ ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$
• Los retratos de la órbita de los satélites tienen . En este caso, todos los ángulos forman una única órbita bajo el mapa de duplicación. Además, es el punto base de una bifurcación parabólica en el espacio de parámetros. ${\displaystyle r=v\geq 2}$ ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$

Generalizaciones

Los retratos de órbitas resultan ser objetos combinatorios útiles para estudiar también la conexión entre la dinámica y los espacios de parámetros de otras familias de mapas. En particular, se han utilizado para estudiar los patrones de todos los rayos dinámicos periódicos que aterrizan en un ciclo periódico de un polinomio antiholomórfico unicrítico. ^[5]

Ver también

• Laminación

Referencias

1. Flek, Ross; Keen, Linda (2010). "Límites de los componentes Fatou acotados de mapas cuadráticos" (PDF) . Revista de aplicaciones y ecuaciones en diferencias . 16 (5–6): 555–572. doi :10.1080/10236190903205080. S2CID  54997658.
2. Milnor, John W. (1999). "Órbitas periódicas, rayos externos y el conjunto de Mandelbrot: un relato expositivo". Preimpresión . arXiv : matemáticas/9905169 . Código Bib :1999matemáticas......5169M.
3. Mapas caóticos 1D de Evgeny Demidov
4. Órbitas periódicas y rayos externos por Evgeny Demidov
5. Mukherjee, Sabyasachi (2015). "Retratos orbitales de polinomios antiholomórficos unicríticos". Geometría Conforme y Dinámica . 19 (3): 35–50. arXiv : 1404.7193 . doi : 10.1090/S1088-4173-2015-00276-3 .