Puntos periódicos de mapeos cuadráticos complejos.

Este artículo describe puntos periódicos de algunos mapas cuadráticos complejos . Un mapa es una fórmula para calcular el valor de una variable en función de su propio valor o valores anteriores; una aplicación cuadrática es aquella que involucra el valor anterior elevado a las potencias uno y dos; y un mapa complejo es aquel en el que la variable y los parámetros son números complejos . Un punto periódico de un mapa es un valor de la variable que ocurre repetidamente después de intervalos de una longitud fija.

Estos puntos periódicos desempeñan un papel en las teorías de los conjuntos de Fatou y Julia .

Definiciones

Dejar

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

Sea el mapeo cuádrico complejo , donde y son números complejos . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

Notacionalmente, es la composición de consigo mismo (no debe confundirse con la derivada enésima de ), es decir, el valor después de la k -ésima iteración de la función . ${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}.}$

${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z)=f_{c}(f_{c}^{(k-1)}(z)).}$

Los puntos periódicos de una aplicación cuadrática compleja de período son puntos del plano dinámico tales que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle f_{c}^{(p)}(z)=z,}$

donde es el entero positivo más pequeño para el cual la ecuación se cumple en ese z . ${\displaystyle p}$

Podemos introducir una nueva función:

${\displaystyle F_{p}(z,f)=f_{c}^{(p)}(z)-z,}$

entonces los puntos periódicos son ceros de función : puntos z que satisfacen ${\displaystyle F_{p}(z,f)}$

${\displaystyle F_{p}(z,f)=0,}$

que es un polinomio de grado ${\displaystyle 2^{p}.}$

Número de puntos periódicos

El grado del polinomio que describe los puntos periódicos es tal que tiene raíces exactamente complejas (= puntos periódicos), contados con multiplicidad . ${\displaystyle F_{p}(z,f)}$ ${\displaystyle d=2^{p}}$ ${\displaystyle d=2^{p}}$

Estabilidad de puntos periódicos (órbita) - multiplicador

Índice de estabilidad de puntos periódicos a lo largo del eje horizontal.

límites de regiones del plano de parámetros con órbita de atracción de períodos 1-6

Órbita crítica de un sistema dinámico discreto basado en un polinomio cuadrático complejo . Tiende a atraer débilmente el punto fijo con abs(multiplicador) = 0,99993612384259

El multiplicador (o valor propio, derivada) de un mapa racional iterado veces en un punto cíclico se define como: ${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda ={\begin{cases}f^{p\prime }(z_{0}),&{\mbox{if }}z_{0}\neq \infty \\{\frac {1}{f^{p\prime }(z_{0})}},&{\mbox{if }}z_{0}=\infty \end{cases}}}$

donde es la primera derivada de con respecto a en . ${\displaystyle f^{p\prime }(z_{0})}$ ${\displaystyle f^{p}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$

Debido a que el multiplicador es el mismo en todos los puntos periódicos de una órbita determinada, se le llama multiplicador de la órbita periódica .

El multiplicador es:

• un número complejo;
• invariante bajo conjugación de cualquier aplicación racional en su punto fijo; ^[1]
• Se utiliza para comprobar la estabilidad de puntos periódicos (también fijos) con índice de estabilidad. ${\displaystyle abs(\lambda ).\,}$

Un punto periódico es ^[2]

• atrayendo cuando ${\displaystyle abs(\lambda )<1;}$
  • súper atractivo cuando ${\displaystyle abs(\lambda )=0;}$
  • atraer pero no superatraer cuando ${\displaystyle 0<abs(\lambda )<1;}$
• indiferente cuando ${\displaystyle abs(\lambda )=1;}$
  • racionalmente indiferente o parabólica si es raíz de unidad ; ${\displaystyle \lambda }$
  • irracionalmente indiferente si pero el multiplicador no es raíz de la unidad; ${\displaystyle abs(\lambda )=1}$
• repeler cuando ${\displaystyle abs(\lambda )>1.}$

Puntos periódicos

• que se atraen siempre están en el conjunto de Fatou ;
• que son repelentes están en el conjunto de Julia;
• que son puntos fijos indiferentes pueden estar en uno o en otro. ^[3] Un punto periódico parabólico está en el conjunto de Julia.

Puntos del período 1 (puntos fijos)

Puntos fijos finitos

Comencemos encontrando todos los puntos finitos que una aplicación de . Estos son los puntos que satisfacen . Es decir, queremos resolver ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z}$

${\displaystyle z^{2}+c=z,\,}$

que se puede reescribir como

${\displaystyle \ z^{2}-z+c=0.}$

Dado que se trata de una ecuación cuadrática ordinaria con una incógnita, podemos aplicar la fórmula de solución cuadrática estándar :

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$y ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}.}$

Entonces para tenemos dos puntos fijos finitos y . ${\displaystyle c\in \mathbb {C} \setminus \{1/4\}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Desde

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1}{2}}-m}$y donde ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}+m}$ ${\displaystyle m={\frac {\sqrt {1-4c}}{2}},}$

tenemos . ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}=1}$

Por tanto, los puntos fijos son simétricos respecto a . ${\displaystyle z=1/2}$

Esta imagen muestra puntos fijos (ambos repelentes)

Dinámica compleja

Puntos fijos para c a lo largo del eje horizontal.

Fatou establece para F( z ) = z * z con punto fijo marcado

Aquí se utiliza comúnmente una notación diferente: ^[4]

${\displaystyle \alpha _{c}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$con multiplicador ${\displaystyle \lambda _{\alpha _{c}}=1-{\sqrt {1-4c}}}$

y

${\displaystyle \beta _{c}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$con multiplicador ${\displaystyle \lambda _{\beta _{c}}=1+{\sqrt {1-4c}}.}$

De nuevo tenemos

${\displaystyle \alpha _{c}+\beta _{c}=1.}$

Dado que la derivada con respecto a z es

${\displaystyle P_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}P_{c}(z)=2z,}$

tenemos

${\displaystyle P_{c}'(\alpha _{c})+P_{c}'(\beta _{c})=2\alpha _{c}+2\beta _{c}=2(\alpha _{c}+\beta _{c})=2.}$

Esto implica que puede tener como máximo un punto fijo atractivo. ${\displaystyle P_{c}}$

Estos puntos se distinguen por los hechos que:

• ${\displaystyle \beta _{c}}$es:
  • el punto de aterrizaje del rayo externo para un ángulo = 0 para ${\displaystyle c\in M\setminus \left\{1/4\right\}}$
  • el punto fijo más repelente del conjunto de Julia
  • el de la derecha (siempre que los puntos fijos no sean simétricos alrededor del eje real ), es el punto del extremo derecho para los conjuntos de Julia conectados (excepto la coliflor). ^[5]
• ${\displaystyle \alpha _{c}}$es:
  • el punto de aterrizaje de varios rayos
  • atrayendo cuando está en el cardioide principal del conjunto de Mandelbrot, en cuyo caso está en el interior de un conjunto de Julia relleno, y por tanto pertenece al conjunto de Fatou (estrictamente a la cuenca de atracción de punto fijo finito) ${\displaystyle c}$
  • parabólico en el punto raíz de la extremidad del conjunto de Mandelbrot
  • repeliendo por otros valores de ${\displaystyle c}$

Casos especiales

Un caso importante de la aplicación cuadrática es . En este caso, obtenemos y . En este caso, 0 es un punto fijo superatractivo y 1 pertenece al conjunto de Julia . ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=0}$ ${\displaystyle \alpha _{2}=1}$

Un solo punto fijo

Tenemos exactamente cuando Esta ecuación tiene una solución, en cuyo caso . De hecho , es el valor positivo puramente real más grande para el que existe un atractor finito. ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$ ${\displaystyle 1-4c=0.}$ ${\displaystyle c=1/4,}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=1/2}$ ${\displaystyle c=1/4}$

Punto fijo infinito

Podemos extender el plano complejo a la esfera de Riemann (plano complejo extendido) sumando infinito : ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

y extender de tal manera que ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}(\infty )=\infty .}$

Entonces el infinito es:

• superatractivo
• un punto fijo de : ^[6] ${\displaystyle f_{c}}$ $${\displaystyle f_{c}(\infty )=\infty =f_{c}^{-1}(\infty ).}$$

Ciclos del período 2

Bifurcación del período 1 al 2 para un mapa cuadrático complejo

Bifurcación de puntos periódicos del período 1 al 2 para fc(z)=z*z +c

Los ciclos del período 2 son dos puntos distintos y tales que y , y por tanto ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$ ${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1}}$

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(\beta _{n}))=\beta _{n}}$

para : ${\displaystyle n\in \{1,2\}}$

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(z))=(z^{2}+c)^{2}+c=z^{4}+2cz^{2}+c^{2}+c.}$

Igualando esto a z , obtenemos

${\displaystyle z^{4}+2cz^{2}-z+c^{2}+c=0.}$

Esta ecuación es un polinomio de grado 4 y, por tanto, tiene cuatro soluciones (posiblemente no distintas). Sin embargo, ya conocemos dos de las soluciones. Son y , calculados anteriormente, ya que si estos puntos no se modifican con una aplicación de , entonces claramente no se modificarán con más de una aplicación de . ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Por lo tanto, nuestro polinomio de cuarto orden se puede factorizar de dos maneras:

Primer método de factorización.

${\displaystyle (z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})=0.\,}$

Esto se expande directamente como (tenga en cuenta los signos alternos), donde ${\displaystyle x^{4}-Ax^{3}+Bx^{2}-Cx+D=0}$

${\displaystyle D=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle C=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle B=\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle A=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2}.\,}$

Ya tenemos dos soluciones y solo necesitamos las otras dos. Por tanto, el problema es equivalente a resolver un polinomio cuadrático. En particular, tenga en cuenta que

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}+{\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1}$

y

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}={\frac {(1-{\sqrt {1-4c}})(1+{\sqrt {1-4c}})}{4}}={\frac {1^{2}-({\sqrt {1-4c}})^{2}}{4}}={\frac {1-1+4c}{4}}={\frac {4c}{4}}=c.}$

Sumando esto a lo anterior, obtenemos y . Al compararlos con los coeficientes de expansión , obtenemos ${\displaystyle D=c\beta _{1}\beta _{2}}$ ${\displaystyle A=1+\beta _{1}+\beta _{2}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D=c\beta _{1}\beta _{2}=c^{2}+c}$y ${\displaystyle A=1+\beta _{1}+\beta _{2}=0.}$

De esto obtenemos fácilmente

${\displaystyle \beta _{1}\beta _{2}=c+1}$y . ${\displaystyle \beta _{1}+\beta _{2}=-1}$

A partir de aquí, construimos una ecuación cuadrática y aplicamos la fórmula de solución estándar para obtener ${\displaystyle A'=1,B=1,C=c+1}$

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {-1-{\sqrt {-3-4c}}}{2}}}$y ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {-1+{\sqrt {-3-4c}}}{2}}.}$

Un examen más detenido muestra que:

${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$y ${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1},}$

lo que significa que estos dos puntos son los dos puntos en un solo ciclo de período 2.

Segundo método de factorización

Podemos factorizar el cuártico usando división larga polinómica para dividir los factores que representan los dos puntos fijos y (cuyos valores se dieron anteriormente y que aún permanecen en el punto fijo después de dos iteraciones): ${\displaystyle (z-\alpha _{1})}$ ${\displaystyle (z-\alpha _{2}),}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle (z^{2}+c)^{2}+c-z=(z^{2}+c-z)(z^{2}+z+c+1).\,}$

Las raíces del primer factor son los dos puntos fijos. Se repelen fuera del cardioide principal.

El segundo factor tiene las dos raíces.

${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3-4c}}}{2}}.\,}$

Estas dos raíces, que son las mismas que las encontradas con el primer método, forman la órbita del período 2. ^[7]

Casos especiales

De nuevo, echemos un vistazo . Entonces ${\displaystyle c=0}$

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}$y ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$

ambos son números complejos. Tenemos . Por tanto, ambos puntos están "escondidos" en el conjunto de Julia. Otro caso especial es , que da y . Esto da lugar al conocido ciclo superatractivo que se encuentra en el lóbulo más grande del período 2 del conjunto cuadrático de Mandelbrot. ${\displaystyle |\beta _{1}|=|\beta _{2}|=1}$ ${\displaystyle c=-1}$ ${\displaystyle \beta _{1}=0}$ ${\displaystyle \beta _{2}=-1}$

Ciclos por periodo mayor a 2

Puntos periódicos de f ( z ) = z * z −0,75 para el período =6 como intersecciones de 2 curvas implícitas

El grado de la ecuación es 2 ⁿ ; así, por ejemplo, para encontrar los puntos en un ciclo de 3 necesitaríamos resolver una ecuación de grado 8. Después de factorizar los factores que dan los dos puntos fijos, tendríamos una ecuación de sexto grado. ${\displaystyle f^{(n)}(z)=z}$

No existe una solución general en radicales para ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior, por lo que los puntos de un ciclo de período mayor que 2 deben, en general, calcularse utilizando métodos numéricos . Sin embargo, en el caso específico del período 4 los puntos cíclicos tienen expresiones largas en radicales. ^[8]

En el caso c = –2, existen soluciones trigonométricas para los puntos periódicos de todos los períodos. El caso es equivalente al caso del mapa logístico r = 4: aquí la equivalencia está dada por Uno de los k -ciclos de la variable logística x (todos los cuales se repelen) es ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}-2}$ ${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}).}$ ${\displaystyle z=2-4x.}$

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{2}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{3}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\dots ,\sin ^{2}\left(2^{k-1}{\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right).}$

Referencias

1. Alan F. Beardon, Iteración de funciones racionales, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2 , p. 41
2. Alan F. Beardon, Iteración de funciones racionales , Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2 , página 99 
3. Algunos decorados de Julia de Michael Becker
4. Sobre el espacio foliar normal de la coliflor por Tomoki Kawahira Fuente: Kodai Math. J. Volumen 26, Número 2 (2003), 167-178. Archivado el 17 de julio de 2011 en Wayback Machine.
5. Atractor periódico de Evgeny Demidov Archivado el 11 de mayo de 2008 en la Wayback Machine.
6. RL Devaney , L Keen (Editor): Caos y fractales: las matemáticas detrás de los gráficos por computadora. Editor: Amer Mathematical Society, julio de 1989, ISBN 0-8218-0137-6 , ISBN 978-0-8218-0137-6  
7. Órbita del período 2 por Evgeny Demidov Archivado el 11 de mayo de 2008 en la Wayback Machine.
8. Gvozden Rukavina: Ecuaciones de recurrencia cuadrática: solución explícita exacta de funciones de puntos fijos del período cuatro en el diagrama de bifurcación

Otras lecturas

• Propiedades geométricas de raíces polinómicas.
• Alan F. Beardon, Iteración de funciones racionales, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2 
• Michael F. Barnsley (Autor), Stephen G. Demko (Editor), Chaotic Dynamics and Fractals (Serie de notas e informes sobre matemáticas en ciencias e ingeniería) Academic Pr (abril de 1986), ISBN 0-12-079060-2 
• Wolf Jung: Homeomorfismos en los bordes del conjunto de Mandelbrot. Doctor. tesis de 2002
• Las permutaciones de puntos periódicos en polinomios cuadráticos por J Leahy

enlaces externos

• Solución algebraica de los límites orbitales de Mandelbrot por Donald D. Cross
• Método Brown de Robert P. Munafo
• arXiv:hep-th/0501235v2 V.Dolotin, A.Morozov: Geometría algebraica de dinámica discreta . El caso de una variable.