Los polinomios cuadráticos tienen las siguientes propiedades, independientemente de la forma:
Es un polinomio unicrítico, es decir, tiene un punto crítico finito en el plano complejo. El plano dinámico consta de como máximo 2 cuencas: la cuenca del infinito y la cuenca del punto crítico finito (si el punto crítico finito no escapa)
Puede ser poscríticamente finita , es decir, la órbita del punto crítico puede ser finita, porque el punto crítico es periódico o preperiódico. [1]
la perturbación no trivial más simple de un sistema no perturbado
"la primera familia de sistemas dinámicos en los que se conocen explícitamente las condiciones necesarias y suficientes para cuando un problema de divisor pequeño es estable" [4]
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores del parámetro c para el cual la condición inicial z 0 = 0 no hace que las iteraciones diverjan hasta el infinito.
Artículos críticos
Puntos críticos
plano complejo
Un punto crítico de es un punto en el plano dinámico tal que la derivada desaparece:
Desde
implica
vemos que el único punto crítico (finito) de es el punto .
Un valor crítico de es la imagen de un punto crítico:
Desde
tenemos
Entonces el parámetro es el valor crítico de .
Curvas de nivel crítico
Una curva de nivel crítico la curva de nivel que contiene el punto crítico. Actúa como una especie de esqueleto [10] del plano dinámico.
Ejemplo: las curvas de nivel se cruzan en el punto de silla , que es un tipo especial de punto crítico.
atrayendo
atrayendo
atrayendo
parabólico
Vídeo para c a lo largo del rayo interno 0
Límite crítico establecido
El conjunto de límites críticos es el conjunto de órbitas hacia adelante de todos los puntos críticos.
órbita crítica
Plano dinámico con órbita crítica que cae en un ciclo de 3 períodos.Plano dinámico con conjunto de Julia y órbita crítica.Plano dinámico: cambios de órbita crítica a lo largo del rayo interno del cardioide principal para un ángulo de 1/6Órbita crítica que tiende a atraer débilmente un punto fijo con abs(multiplicador) = 0,99993612384259
La órbita hacia adelante de un punto crítico se llama órbita crítica . Las órbitas críticas son muy importantes porque cada órbita periódica de atracción atrae un punto crítico, por lo que estudiar las órbitas críticas nos ayuda a comprender la dinámica en el conjunto de Fatou . [11] [12] [13]
Hay muchos subtipos diferentes de plano de parámetros. [21] [22]
Mapa multiplicador
Ver también :
Mapa de Boettcher que asigna el exterior de Mandelbrot al exterior del disco unitario
mapa multiplicador que asigna el interior del componente hiperbólico de Mandelbrot al interior del disco unitario
Plano dinámico 2D
"El polinomio Pc asigna cada rayo dinámico a otro rayo que duplica el ángulo (que medimos en vueltas completas, es decir, 0 = 1 = 2π rad = 360°), y los rayos dinámicos de cualquier polinomio "parecen rayos rectos" cerca del infinito. Esto nos permite estudiar los conjuntos de Mandelbrot y Julia de forma combinatoria, reemplazando el plano dinámico por el círculo unitario, los rayos por ángulos y el polinomio cuadrático por el mapa de duplicación módulo uno. Virpi Kauko [23]
El plano dinámico bidimensional puede tratarse como una sección transversal de Poincaré del espacio tridimensional de un sistema dinámico continuo. [24] [25]
Los planos z dinámicos se pueden dividir en dos grupos:
En un punto periódico z 0 del período p, la primera derivada de una función
A menudo se representa y se denomina multiplicador o número característico de Lyapunov. Su logaritmo se conoce como exponente de Lyapunov. El valor absoluto del multiplicador se utiliza para comprobar la estabilidad de puntos periódicos (también fijos) .
En un punto no periódico , la derivada, denotada por , se puede encontrar mediante iteración comenzando con
y luego usando
Esta derivada se utiliza para calcular la distancia externa al conjunto de Julia.
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enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con polinomios cuadráticos complejos .