Transformación diádica

Duplicar el mapa en el intervalo unitario.

xy gráfica donde x  =  x ₀  ∈ [0, 1] es racional y y  =  x _n para todo  n .

La transformación diádica (también conocida como mapa diádico , mapa de desplazamiento de bits , mapa 2 x  mod 1 , mapa de Bernoulli , mapa de duplicación o mapa de diente de sierra ^{[1] [2]} ) es el mapeo (es decir, relación de recurrencia )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

( de dónde proviene el conjunto de secuencias ) producidas por la regla ${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$ ${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{for all }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$. ^[3]

De manera equivalente, la transformación diádica también se puede definir como el mapa de funciones iteradas de la función lineal por partes.

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

El nombre de mapa de desplazamiento de bits surge porque, si el valor de una iteración se escribe en notación binaria , la siguiente iteración se obtiene desplazando el punto binario un bit hacia la derecha, y si el bit a la izquierda del nuevo punto binario es un "uno", reemplazándolo por un cero.

La transformación diádica proporciona un ejemplo de cómo un simple mapa unidimensional puede generar caos . Este mapa se generaliza fácilmente a varios otros. Una importante es la transformación beta, definida como . Este mapa ha sido ampliamente estudiado por muchos autores. Fue introducido por Alfréd Rényi en 1957, y Alexander Gelfond dio una medida invariante en 1959 y nuevamente de forma independiente Bill Parry en 1960. ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

Relación con el proceso de Bernoulli

El mapa T  : [0, 1) → [0, 1), conserva la medida de Lebesgue . ${\displaystyle x\mapsto 2x{\bmod {1}}}$

El mapa se puede obtener como un homomorfismo en el proceso de Bernoulli . Sea el conjunto de todas las cadenas semiinfinitas de las letras y . Se puede entender que se trata de lanzamientos de una moneda que salen cara o cruz. De manera equivalente, se puede escribir el espacio de todas las cadenas (semi) infinitas de bits binarios. La palabra "infinito" se califica con "semi-", ya que también se puede definir un espacio diferente que consta de todas las cadenas doblemente infinitas (de dos extremos); Esto te llevará al mapa de Baker . La calificación "semi-" se elimina a continuación. ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

Este espacio tiene un funcionamiento de turno natural , dado por

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

donde es una cadena infinita de dígitos binarios. Dada tal cadena, escribe ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

El resultado es un número real en el intervalo unitario. El desplazamiento induce un homomorfismo , también llamado , en el intervalo unitario. Dado que se puede ver fácilmente que para la secuencia doblemente infinita de bits, el homomorfismo inducido es el mapa de Baker . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$ ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$ ${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$

La secuencia diádica es entonces sólo la secuencia

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

Eso es, ${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

El conjunto de Cantor

Tenga en cuenta que la suma

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

da la función de Cantor , como se define convencionalmente. Esta es una de las razones por las que el conjunto a veces se denomina conjunto de Cantor . ${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

Tasa de pérdida de información y dependencia sensible de las condiciones iniciales.

Una característica distintiva de la dinámica caótica es la pérdida de información a medida que ocurre la simulación. Si comenzamos con información sobre los primeros s bits de la iteración inicial, luego de m iteraciones simuladas ( m  <  s ) solo nos quedan s  −  m bits de información. Por tanto, perdemos información a una tasa exponencial de un bit por iteración. Después de iteraciones, nuestra simulación ha alcanzado el punto fijo cero, independientemente de los verdaderos valores de iteración; por lo tanto hemos sufrido una pérdida total de información. Esto ilustra una dependencia sensible de las condiciones iniciales: el mapeo de la condición inicial truncada se ha desviado exponencialmente del mapeo de la condición inicial verdadera. Y dado que nuestra simulación ha alcanzado un punto fijo, para casi todas las condiciones iniciales no describirá la dinámica de forma cualitativamente correcta como caótica.

Equivalente al concepto de pérdida de información es el concepto de ganancia de información. En la práctica, algún proceso del mundo real puede generar una secuencia de valores ( x _n ) a lo largo del tiempo, pero es posible que solo podamos observar estos valores en forma truncada. Supongamos por ejemplo que x ₀ = 0,1001101, pero solo observamos el valor truncado 0,1001. Nuestra predicción para x ₁ es 0,001. Si esperamos hasta que el proceso del mundo real haya generado el valor verdadero de x ₁ 0,001101, podremos observar el valor truncado 0,0011, que es más preciso que nuestro valor predicho 0,001. Entonces hemos recibido una ganancia de información de un bit.

Relación con el mapa de tiendas y el mapa logístico

La transformación diádica es topológicamente semiconjugada al mapa de tienda de campaña de altura unitaria . Recuerde que el mapa de la tienda de campaña por unidad de altura está dado por

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

La conjugación está dada explícitamente por

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

de modo que

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

Es decir, esto es estable bajo iteración, como ${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

También se conjuga con el caso caótico r  = 4 del mapa logístico . El caso r  = 4 del mapa logístico es ; esto está relacionado con el mapa de desplazamiento de bits en la variable x por ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

También existe una semiconjugación entre la transformación diádica (aquí denominada mapa de duplicación de ángulos) y el polinomio cuadrático . Aquí, el mapa duplica los ángulos medidos por turnos . Es decir, el mapa está dado por

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

Periodicidad y no periodicidad

Debido a la naturaleza simple de la dinámica cuando las iteraciones se ven en notación binaria, es fácil categorizar la dinámica según la condición inicial:

Si la condición inicial es irracional (como lo son casi todos los puntos en el intervalo unitario), entonces la dinámica es no periódica; esto se sigue directamente de la definición de un número irracional como uno con una expansión binaria no repetitiva. Éste es el caso caótico.

Si x ₀ es racional, la imagen de x ₀ contiene un número finito de valores distintos dentro de [0, 1) y la órbita directa de x ₀ es eventualmente periódica, con un período igual al período de la expansión binaria de x ₀ . Específicamente, si la condición inicial es un número racional con una expansión binaria finita de k bits, luego de k iteraciones las iteraciones alcanzan el punto fijo 0; si la condición inicial es un número racional con un transitorio de k bits ( k  ≥ 0) seguido de una secuencia de q bits ( q  > 1) que se repite infinitamente, luego de k iteraciones, las iteraciones alcanzan un ciclo de longitud  q . De este modo son posibles ciclos de todas las longitudes.

Por ejemplo, la órbita delantera del 24/11 es:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

que ha alcanzado un ciclo de período 2. Dentro de cualquier subintervalo de [0, 1), por pequeño que sea, hay, por tanto, un número infinito de puntos cuyas órbitas son eventualmente periódicas, y un número infinito de puntos cuyas órbitas nunca son periódicas. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales es una característica de los mapas caóticos .

Periodicidad mediante cambios de bits

Las órbitas periódicas y no periódicas se pueden entender más fácilmente no trabajando directamente con el mapa, sino con el mapa de desplazamiento de bits definido en el espacio de Cantor . ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Es decir, el homomorfismo

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

es básicamente una afirmación de que el conjunto de Cantor se puede mapear en los reales. Es una sobreyección : todo racional diádico no tiene una, sino dos representaciones distintas en el conjunto de Cantor. Por ejemplo,

${\displaystyle 0.1000000\dots =0.011111\dots }$

Esta es sólo la versión de cadena binaria del famoso problema 0,999... = 1 . Las representaciones duplicadas son válidas en general: para cualquier secuencia inicial dada de longitud finita , se tiene ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots }$

La secuencia inicial corresponde a la parte no periódica de la órbita, después de lo cual la iteración se establece en todos ceros (equivalentemente, todos unos). ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$

Expresadas como cadenas de bits, las órbitas periódicas del mapa pueden verse desde el punto de vista racional. Es decir, después de una secuencia "caótica" inicial de , una órbita periódica se establece en una cadena repetida de longitud . No es difícil ver que tales secuencias repetidas corresponden a números racionales. Escribiendo ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

entonces uno claramente tiene

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{-m}}}}$

Agregando a la secuencia inicial no repetitiva, uno claramente tiene un número racional. De hecho, todo número racional se puede expresar de esta manera: una secuencia "aleatoria" inicial, seguida de una repetición cíclica. Es decir, las órbitas periódicas del mapa están en correspondencia uno a uno con las racionales.

Este fenómeno es digno de mención, porque algo similar sucede en muchos sistemas caóticos. Por ejemplo, las geodésicas en variedades compactas pueden tener órbitas periódicas que se comportan de esta manera.

Tenga en cuenta, sin embargo, que los racionales son un conjunto de medida cero en los reales. ¡Casi todas las órbitas no son periódicas! Las órbitas aperiódicas corresponden a los números irracionales. Esta propiedad también es válida en un contexto más general. Una cuestión abierta es hasta qué punto el comportamiento de las órbitas periódicas limita el comportamiento del sistema en su conjunto. Fenómenos como la difusión de Arnold sugieren que la respuesta general es "no mucho".

Formulación de densidad

En lugar de observar las órbitas de puntos individuales bajo la acción del mapa, vale igualmente la pena explorar cómo el mapa afecta las densidades en el intervalo unitario. Es decir, imaginemos rociar un poco de polvo en el intervalo unitario; es más denso en algunos lugares que en otros. ¿Qué sucede con esta densidad a medida que se itera?

Escribe como esta densidad, de modo que . Para obtener la acción de sobre esta densidad, es necesario encontrar todos los puntos y escribir ^[7] ${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

El denominador en lo anterior es el determinante jacobiano de la transformación, aquí es solo la derivada de y así . Además, obviamente solo hay dos puntos en la preimagen de , estos son y Poniéndolo todo junto, se obtiene ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$ ${\displaystyle T^{-1}(x)}$ ${\displaystyle y=x/2}$ ${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

Por convención, tales mapas se denotan por, de modo que en este caso, escriba ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

El mapa es un operador lineal , como se ve fácilmente, y para todas las funciones en el intervalo unitario y todas las constantes . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle a}$

Visto como un operador lineal, la pregunta más obvia y apremiante es: ¿cuál es su espectro ? Un valor propio es obvio: si para todos , entonces obviamente se tiene , entonces la densidad uniforme es invariante bajo la transformación. De hecho, este es el valor propio más grande del operador , es el valor propio de Frobenius-Perron . La densidad uniforme no es, de hecho, otra cosa que la medida invariante de la transformación diádica. ${\displaystyle \rho (x)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Para explorar el espectro de con mayor detalle, primero hay que limitarse a un espacio adecuado de funciones (en el intervalo unitario) con el que trabajar. Este podría ser el espacio de funciones medibles de Lebesgue , o quizás el espacio de funciones cuadradas integrables , o quizás incluso simplemente polinomios . Trabajar con cualquiera de estos espacios es sorprendentemente difícil, aunque se puede obtener un espectro. ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

espacio borel

Se produce una gran simplificación si, en cambio, se trabaja con el espacio de Cantor y sus funciones. Se recomienda cierta precaución, ya que el mapa se define en el intervalo unitario de la recta numérica real , asumiendo la topología natural en los reales. Por el contrario, el mapa se define en el espacio de Cantor , al que por convención se le da una topología muy diferente , la topología del producto . Existe un posible choque de topologías; hay que tener cierto cuidado. Sin embargo, como se presentó anteriormente, existe un homomorfismo del conjunto de Cantor en los reales; afortunadamente, mapea conjuntos abiertos en conjuntos abiertos y, por lo tanto, preserva las nociones de continuidad . ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Para trabajar con el conjunto de Cantor , es necesario proporcionarle una topología; Por convención, esta es la topología del producto . Al unir conjuntos complementarios, se puede extender a un espacio de Borel , es decir, un álgebra sigma . La topología es la de conjuntos de cilindros . Un juego de cilindros tiene la forma genérica. ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )}$

donde son valores de bits arbitrarios (no necesariamente todos iguales) y son un número finito de valores de bits específicos dispersos en la cadena de bits infinita. Estos son los conjuntos abiertos de la topología. La medida canónica en este espacio es la medida de Bernoulli para el lanzamiento justo de una moneda. Si solo se especifica un bit en la cadena de posiciones arbitrarias, la medida es 1/2. Si se especifican dos bits, la medida es 1/4, y así sucesivamente. Se puede ser más sofisticado: dado un número real se puede definir una medida ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle b_{k},b_{m},\dots }$ ${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

si hay cara y cruz en la secuencia. Se prefiere la medida con , ya que se conserva en el mapa. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

Entonces, por ejemplo, se asigna al intervalo y se asigna al intervalo y ambos intervalos tienen una medida de 1/2. De manera similar, se asigna al intervalo que todavía tiene la medida 1/2. Es decir, la incorporación anterior preserva la medida. ${\displaystyle (0,*,\cdots )}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle (1,*,\dots )}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$ ${\displaystyle (*,0,*,\dots )}$ ${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

Una alternativa es escribir

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]}$

que conserva la medida. Es decir, se asigna de manera que la medida en el intervalo unitario sea nuevamente la medida de Lebesgue. ${\displaystyle \mu _{p}.}$

Operador Frobenius-Perron

Denota el conjunto de todos los conjuntos abiertos en el conjunto de Cantor por y considera el conjunto de todas las funciones arbitrarias. El desplazamiento induce un empuje hacia adelante. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

definido por Esta es nuevamente alguna función. De esta manera, el mapa induce otro mapa en el espacio de todas las funciones. Es decir, dado algunos , uno define ${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

Este operador lineal se llama operador de transferencia u operador Ruelle-Frobenius-Perron . El valor propio más grande es el valor propio de Frobenius-Perron y, en este caso, es 1. El vector propio asociado es la medida invariante: en este caso, es la medida de Bernoulli . De nuevo, cuando ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho }$ ${\displaystyle \rho (x)=1.}$

Espectro

Para obtener el espectro de , se debe proporcionar un conjunto adecuado de funciones básicas para el espacio. Una de esas opciones es restringir al conjunto de todos los polinomios. En este caso, el operador tiene un espectro discreto y las funciones propias son (curiosamente) los polinomios de Bernoulli . ^[8] (Es de suponer que Bernoulli no conocía esta coincidencia de nombres). ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De hecho, se puede comprobar fácilmente que

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

donde son los polinomios de Bernoulli . Esto se deduce porque los polinomios de Bernoulli obedecen a la identidad ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

Otra base la proporciona la base de Haar , y las funciones que abarcan el espacio son las ondas de Haar . En este caso se encuentra un espectro continuo , formado por el disco unitario en el plano complejo . Dado en el disco unitario, de modo que , las funciones ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

cumplir

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

porque Esta es una base completa, ya que cada número entero se puede escribir en la forma Los polinomios de Bernoulli se recuperan estableciendo y ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots }$

También se puede proporcionar una base completa de otras maneras; pueden escribirse en términos de la función zeta de Hurwitz . Otra base completa la proporciona la función Takagi . Esta es una función fractal, diferenciable en ninguna parte . Las funciones propias son explícitamente de la forma

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}$

¿Dónde está la onda triangular ? Uno tiene, de nuevo, ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.}$

Todas estas bases diferentes se pueden expresar como combinaciones lineales entre sí. En este sentido, son equivalentes.

Las funciones propias fractales muestran una simetría explícita bajo el grupoide fractal del grupo modular ; esto se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre la función Takagi (la curva de manjar blanco). Quizás no sea una sorpresa; el conjunto de Cantor tiene exactamente el mismo conjunto de simetrías (al igual que las fracciones continuas ). Esto conduce elegantemente a la teoría de las ecuaciones elípticas y las formas modulares .

Relación con el modelo de Ising

El hamiltoniano del modelo unidimensional de espines de Ising con condiciones de contorno periódicas de campo cero se puede escribir como ${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

Sea una constante de normalización adecuadamente elegida y la temperatura inversa del sistema, la función de partición para este modelo viene dada por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

Podemos implementar el grupo de renormalización integrando cada dos giros. Al hacerlo, encontramos que también se puede equiparar con la función de partición para un sistema más pequeño con solo espines, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

siempre que reemplacemos y con valores renormalizados y satisfaciendo las ecuaciones ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta g}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

Supongamos ahora que nos permitimos ser complejos y que para algunos . En ese caso podemos introducir un parámetro relacionado mediante la ecuación ${\displaystyle \beta g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle \beta g}$

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

y la transformación del grupo de renormalización resultante será precisamente el mapa diádico: ^[9] ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

Ver también

• proceso de Bernoulli
• Esquema de Bernoulli
• Modelo de Gilbert-Shannon-Reeds , una distribución aleatoria de permutaciones dada al aplicar el mapa de duplicación a un conjunto de n puntos uniformemente aleatorios en el intervalo unitario

Notas

1. Mapas caóticos 1D, Evgeny Demidov
2. Wolf, A. "Quantifying Chaos with Lyapunov exponents", en Chaos , editado por AV Holden, Princeton University Press, 1986.
3. Sistemas dinámicos y teoría ergódica: el mapa de duplicación Archivado el 12 de febrero de 2013 en Wayback Machine , Corinna Ulcigrai, Universidad de Bristol
4. A. Rényi, “Representaciones de números reales y sus propiedades ergódicas”, Acta Math Acad Sci Hungría, 8, 1957, págs. 477–493.
5. AO Gel'fond, “Una propiedad común de los sistemas numéricos”, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat, 23, 1959, págs. 809–814.
6. W. Parry, “Sobre la expansión β de los números reales”, Acta Math Acad Sci Hungría, 11, 1960, págs.
7. Dean J. Driebe, Mapas totalmente caóticos y simetría del tiempo roto, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN  0-7923-5564-4
8. Pierre Gaspard, " Mapas unidimensionales r -ádicos y la fórmula de suma de Euler", Journal of Physics A , 25 (carta) L483-L485 (1992).
9. Sr. Bosschaert; C. Jepsen; F. Popov, “Flujo caótico de RG en modelos tensoriales”, Physical Review D, 105, 2022, p. 065021.

Referencias

• Dean J. Driebe, Mapas totalmente caóticos y simetría del tiempo roto , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4 
• Linas Vepstas, El mapa de Bernoulli, el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing y el Zeta de Riemann , (2004)