Un punto fijo de un grupo de isometría es un punto que es un punto fijo para cada isometría del grupo. Para cualquier grupo de isometría en el espacio euclidiano, el conjunto de puntos fijos está vacío o es un espacio afín .
Para un objeto, cualquier centro único y, más generalmente, cualquier punto con propiedades únicas con respecto al objeto es un punto fijo de su grupo de simetría .
En particular, esto se aplica al centroide de una figura, si existe. En el caso de un cuerpo físico, si para la simetría se tiene en cuenta no solo la forma sino también la densidad, se aplica al centro de masa .
Si el conjunto de puntos fijos del grupo de simetría de un objeto es un singleton, entonces el objeto tiene un centro de simetría específico . El centroide y el centro de masa, si están definidos, son este punto. Otro significado de "centro de simetría" es un punto respecto del cual se aplica la simetría de inversión. Este punto no tiene por qué ser único; si no es así, hay simetría traslacional , por lo que hay infinitos puntos de este tipo. Por otro lado, en los casos de, por ejemplo, simetría C 3h y D 2 hay un centro de simetría en el primer sentido, pero no inversión.
Si el grupo de simetría de un objeto no tiene puntos fijos, entonces el objeto es infinito y su centroide y centro de masa no están definidos.
Si el conjunto de puntos fijos del grupo de simetría de un objeto es una línea o un plano, entonces el centroide y el centro de masa del objeto, si están definidos, y cualquier otro punto que tenga propiedades únicas con respecto al objeto, están en esta línea. o avión.