Órbita (dinámica)

En matemáticas , específicamente en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es una colección de puntos relacionados por la función de evolución del sistema dinámico. Puede entenderse como el subconjunto del espacio de fases cubierto por la trayectoria del sistema dinámico bajo un conjunto particular de condiciones iniciales , a medida que el sistema evoluciona. Como una trayectoria del espacio de fases está determinada de manera única para cualquier conjunto dado de coordenadas del espacio de fases, no es posible que diferentes órbitas se intersequen en el espacio de fases, por lo tanto, el conjunto de todas las órbitas de un sistema dinámico es una partición del espacio de fases. Comprender las propiedades de las órbitas mediante el uso de métodos topológicos es uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos.

Para sistemas dinámicos de tiempo discreto , las órbitas son secuencias ; para sistemas dinámicos reales , las órbitas son curvas ; y para sistemas dinámicos holomórficos , las órbitas son superficies de Riemann .

Definición

Diagrama que muestra la órbita periódica de un sistema de masa y resorte en movimiento armónico simple . (Aquí se han invertido los ejes de velocidad y posición con respecto a la convención estándar para alinear los dos diagramas)

Dado un sistema dinámico ( T , M , Φ) con T un grupo , M un conjunto y Φ la función de evolución

${\displaystyle \Phi :U\to M}$donde con ${\displaystyle U\subset T\times M}$ ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

Nosotros definimos

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}$

entonces el conjunto

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

Se denomina órbita a través de x . Una órbita que consta de un solo punto se denomina órbita constante . Una órbita no constante se denomina cerrada o periódica si existe una en tal que ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$.

Sistema dinámico real

Dado un sistema dinámico real ( R , M , Φ), I ( x ) es un intervalo abierto en los números reales , es decir . Para cualquier x en M ${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

se llama semiórbita positiva a través de x y

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

se llama semiórbita negativa a través de x .

Sistema dinámico de tiempo discreto

Para un sistema dinámico de tiempo discreto con una función de evolución invariante en el tiempo : ${\displaystyle f}$

La órbita hacia delante de x es el conjunto:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}$

Si la función es invertible, la órbita inversa de x es el conjunto:

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}}$

y la órbita de x es el conjunto:

${\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

dónde :

• ${\displaystyle f}$es la función de evolución ${\displaystyle f:X\to X}$
• El conjunto es el espacio dinámico , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle t}$es el número de iteración, que es un número natural y ${\displaystyle t\in T}$
• ${\displaystyle x}$es el estado inicial del sistema y ${\displaystyle x\in X}$

Sistema dinámico general

Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "bueno" que actúa sobre un espacio de probabilidad de una manera que preserva la medida, una órbita se llamará periódica (o equivalentemente, cerrada) si el estabilizador es una red en su interior . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.x\subset X}$ ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ ${\displaystyle G}$

Además, un término relacionado es una órbita acotada, cuando el conjunto es precompacto en su interior . ${\displaystyle G.x}$ ${\displaystyle X}$

La clasificación de órbitas puede llevar a cuestiones interesantes relacionadas con otras áreas matemáticas; por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (probada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (probada parcialmente por Lindenstrauss) tratan la cuestión de si toda órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneo es de hecho periódica; esta observación se debe a Raghunathan y, en un lenguaje diferente, a Cassels y Swinnerton-Dyer. Tales cuestiones están íntimamente relacionadas con teoremas profundos de clasificación de medidas. ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

Notas

A menudo ocurre que la función de evolución puede entenderse como la que compone los elementos de un grupo , en cuyo caso las órbitas teóricas de grupo de la acción del grupo son lo mismo que las órbitas dinámicas.

Ejemplos

• 
  Órbita crítica de un sistema dinámico discreto basado en un polinomio cuadrático complejo . Tiende a atraer débilmente un punto fijo con multiplicador = 0,99993612384259
• 
  La órbita crítica tiende a atraer débilmente a un punto. Se puede observar una espiral desde un punto fijo de atracción hasta un punto fijo de repulsión (z = 0), que es un lugar con alta densidad de curvas de nivel.

• La órbita de un punto de equilibrio es una órbita constante.

Estabilidad de órbitas

Una clasificación básica de las órbitas es

• órbitas constantes o puntos fijos
• órbitas periódicas
• Órbitas no constantes y no periódicas

Una órbita puede no ser cerrada de dos maneras. Podría ser una órbita periódica asintótica si converge a una órbita periódica. Tales órbitas no son cerradas porque nunca se repiten verdaderamente, pero se vuelven arbitrariamente cercanas a una órbita repetitiva. Una órbita también puede ser caótica . Estas órbitas se acercan arbitrariamente al punto inicial, pero nunca convergen a una órbita periódica. Presentan una dependencia sensible de las condiciones iniciales , lo que significa que pequeñas diferencias en el valor inicial causarán grandes diferencias en los puntos futuros de la órbita.

Existen otras propiedades de las órbitas que permiten diferentes clasificaciones. Una órbita puede ser hiperbólica si los puntos cercanos se aproximan o divergen de la órbita de forma exponencialmente rápida.

Véase también

• Conjunto errante
• Método del espacio de fases
• Diagrama de telaraña o diagrama de Verhulst
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas y multiplicador de órbita
• Retrato en órbita

Referencias

• Hale, Jack K. ; Koçak, Hüseyin (1991). "Órbitas periódicas". Dinámica y bifurcaciones . Nueva York: Springer. pp. 365–388. ISBN 0-387-97141-6.
• Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
• Perko, Lawrence (2001). "Órbitas periódicas, ciclos límite y ciclos separatrices". Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (tercera edición). Nueva York: Springer. pp. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.