Clasificación de los componentes de Fatou.

En matemáticas , los componentes de Fatou son componentes del conjunto de Fatou . Llevaron el nombre de Pierre Fatou .

Caso racional

Si f es una función racional

${\displaystyle f={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

definida en el plano complejo extendido , y si es una función no lineal (grado > 1)

${\displaystyle d(f)=\max(\deg(P),\,\deg(Q))\geq 2,}$

entonces, para un componente periódico del conjunto de Fatou , se cumple exactamente una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle U}$contiene un punto periódico de atracción
2. ${\displaystyle U}$es parabólico ^[1]
3. ${\displaystyle U}$es un disco de Siegel : un componente de Fatou simplemente conectado en el que f ( z ) se conjuga analíticamente con una rotación euclidiana del disco unitario sobre sí mismo mediante un ángulo de rotación irracional.
4. ${\displaystyle U}$es un anillo de Herman : un componente de Fatou doblemente conectado (un anillo ) en el que f ( z ) se conjuga analíticamente con una rotación euclidiana de un anillo redondo, nuevamente mediante un ángulo de rotación irracional.

• 
  Conjunto de Julia (blanco) y conjunto de Fatou (rojo oscuro/verde/azul) para el plano complejo. ${\displaystyle f:z\mapsto z-{\frac {g}{g'}}(z)}$ ${\displaystyle g:z\mapsto z^{3}-1}$
• 
  Julia ambientada con ciclo parabólico.
• 
  Juego Julia con disco Siegel (caja elíptica)
• 
  Conjunto Julia con anillo Herman.

Atrayendo punto periódico

Los componentes del mapa contienen los puntos de atracción que son las soluciones a . Esto se debe a que el mapa es el que se utiliza para encontrar soluciones a la ecuación mediante la fórmula de Newton-Raphson . Naturalmente, las soluciones deben atraer puntos fijos. ${\displaystyle f(z)=z-(z^{3}-1)/3z^{2}}$ ${\displaystyle z^{3}=1}$ ${\displaystyle z^{3}=1}$

• 
  El plano dinámico consta de cuencas del período 1 de superatracción de Fatou 2, cada una de las cuales tiene un solo componente.
• 
  Curvas de nivel y rayos en caso superatractivo.
• 
  Conjunto de Julia con ciclos superatractores (hiperbólicos) en el interior (período 2) y en el exterior (período 1)

anillo herman

El mapa

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)}$

y t = 0,6151732... producirá un anillo de Herman. ^[2] Shishikura muestra que el grado de dicho mapa debe ser al menos 3, como en este ejemplo.

Más de un tipo de componente

Si el grado d es mayor que 2 entonces hay más de un punto crítico y entonces puede haber más de un tipo de componente

• 
  Herman+parabólico
• 
  Periodo 3 y 105
• 
  atrayente y parabólico
• 
  periodo 1 y periodo 1
• 
  período 4 y 4 (2 cuencas atrayentes)
• 
  dos cuencas del periodo 2

Caso trascendental

dominio panadero

En el caso de funciones trascendentales, existe otro tipo de componentes periódicas de Fatou, llamado dominio de Baker : estos son " dominios en los que las iteraciones tienden a una singularidad esencial (no posible para polinomios y funciones racionales)" ^{[3] [4]} un ejemplo de tal función es: ^[5]

$${\displaystyle f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}}$$

Dominio errante

Los mapas trascendentales pueden tener dominios errantes : se trata de componentes de Fatou que finalmente no son periódicos.

Ver también

• Teorema del dominio errante
• teorema de montel
• Dominios de Juan ^[6]
• Cuencas de atracción

Referencias

• Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Dinámica compleja , Springer 1993.
• Alan F. Beardon Iteración de funciones racionales , Springer 1991.

1. wikilibros: conjuntos parabólicos de Julia
2. Milnor, John W. (1990), Dinámica en una variable compleja , arXiv : math/9201272 , Bibcode :1992math......1272M
3. Introducción a la dinámica holomorfa (con especial atención a las funciones trascendentales) por L. Rempe
4. Discos de Siegel en dinámica compleja por Tarakanta Nayak
5. Una familia trascendental con dominios Baker por Aimo Hinkkanen, Hartje Kriete y Bernd Krauskopf
6. JULIA Y JUAN REVISITADOS por NICOLAE MIHALACHE