anillo herman

El conjunto de Julia de la función racional cúbica e ^{2π it} z ² ( z −4)/(1−4 ​​z ) con t =.6151732... elegido de modo que el número de rotación sea ( √ 5 −1)/2, que tiene un anillo de Herman (sombreado).

En la disciplina matemática conocida como dinámica compleja , el anillo de Herman es un componente de Fatou ^[1] donde la función racional se conjuga conformemente a una rotación irracional del anillo estándar .

Definicion formal

Es decir, si ƒ posee un anillo de Herman U con período p , entonces existe un mapeo conforme

${\displaystyle \phi :U\rightarrow \{\zeta :0<r<|\zeta |<1\}}$

y un número irracional tal que ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }\zeta .}$

Entonces la dinámica en el anillo de Herman es simple.

Nombre

Fue introducido y posteriormente nombrado en honor a Michael Herman (1979 ^[2] ), quien fue el primero en encontrar y construir este tipo de componente Fatou.

Función

• Los polinomios no tienen anillos de Herman.
• Las funciones racionales pueden tener anillos de Herman. Según el resultado de Shishikura, si una función racional ƒ posee un anillo de Herman, entonces el grado de ƒ es al menos 3.
• Los mapas trascendentales enteros no los tienen ^[3]
• Las funciones meromórficas pueden poseer anillos de Herman. T. Nayak ha estudiado los anillos de Herman para funciones meromórficas trascendentales. Según un resultado de Nayak, si hay un valor omitido para dicha función, entonces los anillos de Herman del período 1 o 2 no existen. Además, se demuestra que si hay un solo polo y al menos un valor omitido, la función no tiene anillo de Herman de ningún período.

Ejemplos

Herman y cuenca parabólica

A continuación se muestra un ejemplo de una función racional que posee un anillo de Herman. ^[1]

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}$

donde tal que el número de rotación de ƒ en el círculo unitario es . ${\displaystyle \tau =0.6151732\dots }$ ${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

La imagen que se muestra a la derecha es el conjunto de Julia de ƒ : las curvas en el anillo blanco son las órbitas de algunos puntos bajo las iteraciones de ƒ, mientras que la línea discontinua denota el círculo unitario.

Hay un ejemplo de función racional que posee un anillo de Herman y algunas componentes parabólicas periódicas de Fatou al mismo tiempo.

Una función racional que posee un anillo de Herman y algunos componentes parabólicos periódicos de Fatou, donde el número de rotación de en el círculo unitario es . La imagen ha sido rotada. ${\displaystyle f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{z-a}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{z-b}}}$ ${\displaystyle t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i}$ ${\displaystyle f_{t,a,b}}$ ${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

Anillo de Herman del período 2

Además, existe una función racional que posee un anillo de Herman con período 2.

Una función racional posee anillos de Herman con período 2.

Aquí la expresión de esta función racional es

${\displaystyle g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(z-a)}{z-b}}+c,\,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.17115266+0.12592514i,\\c&=-1.18521775-0.16885254i.\end{aligned}}}$

Este ejemplo fue construido mediante cirugía cuasiconformal ^[4] a partir del polinomio cuadrático

${\displaystyle h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}}$

que posee un disco de Siegel con período 2. Los parámetros a ,  b ,  c se calculan por prueba y error .

dejando

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ and}}\\c&=-0.18242894-0.81957139i,\end{aligned}}}$

entonces el período de uno de los anillos de Herman de g _{a , b , c} es 3.

Shishikura también dio un ejemplo: ^[5] una función racional que posee un anillo de Herman con período 2, pero los parámetros mostrados arriba son diferentes a los suyos.

Anillo de Herman del período 5

Entonces surge la pregunta: ¿Cómo encontrar las fórmulas de las funciones racionales que poseen anillos de Herman con período mayor?

Esta pregunta se puede responder (para cualquier período > 0) utilizando el conjunto de Mandelbrot para las funciones _racionales ga _{, b , c} . El conjunto clásico de Mandelbrot (para polinomios cuadráticos) se aproxima iterando el punto crítico para cada uno de esos polinomios e identificando los polinomios para los cuales las iteraciones del punto crítico no convergen al infinito. De manera similar, se puede definir un conjunto de Mandelbrot para el conjunto de funciones racionales g _{a , b , c} distinguiendo entre los valores de (a,b,c) en un espacio tridimensional complejo para el cual los tres puntos críticos (es decir, puntos donde la derivada desaparece) de la función convergen al infinito, y los valores cuyos puntos críticos no convergen todos al infinito. 

Para cada valor de a y b, el conjunto de Mandelbrot para _{ga, b, c} se _{puede calcular en el}   plano de valores complejos c. Cuando a y b son casi iguales, este conjunto se aproxima al conjunto clásico de Mandelbrot para polinomios cuadráticos, porque   g _{a , b ,c} es igual a x ² + c cuando a=b. En el conjunto de Mandelbrot clásico, los discos de Siegel se pueden aproximar eligiendo puntos a lo largo del borde del conjunto de Mandelbrot con un número de devanado irracional que tiene una expansión fraccionaria continua con denominadores acotados. Por supuesto, los números irracionales sólo son aproximados en su representación informática. Estos denominadores pueden identificarse por la secuencia de nodos a lo largo del borde del conjunto de Mandelbrot que se acerca al punto. De manera similar, los anillos de Herman se pueden identificar en un conjunto de funciones racionales de Mandelbrot observando una serie de nodos dispuestos a ambos lados de una curva y eligiendo puntos a lo largo de esa curva, evitando los nodos adjuntos, obteniendo así una secuencia deseada de denominadores en la secuencia continua. expansión fraccionaria del número de rotación. A continuación se ilustra una porción plana del conjunto de Mandelbrot de g _{a , b ,c} con |ab| = .0001, y con c centrado en un valor de c que identifica un disco de Siegel de 5 ciclos en el conjunto clásico de Mandelbrot.

Conjunto de Mandelbrot de la función racional g, en el plano c, cerca de 5 ciclos.

La imagen de arriba usa a =0.12601278 +.0458649i, b= .12582484 +.045796497i y está centrada en un valor de c = 0.3688 -.3578, que está cerca de 5 ciclos de discos de Siegel en el conjunto clásico de Mandelbrot. En la imagen de arriba, se puede aproximar un ciclo de 5 anillos de Herman eligiendo un punto c a lo largo de la curva ilustrada arriba que tiene nodos en ambos lados, para el cual g _{a , b , c} tiene aproximadamente el número de devanados deseado, usando los valores siguientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=.12601278+.0458649i,\\b&=.12582484+.045796497i,{\text{ and}}\\c&=0.37144067-.35829275i,\end{aligned}}}$

Los 5 ciclos resultantes de anillos de Herman se ilustran a continuación:

Conjunto de g de Julia que muestra un anillo de Herman del período 5.

Ver también

• conejo doble
• disco de siegel

Referencias

1. John Milnor , Dinámica en una variable compleja: tercera edición, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Prensa, Princeton, Nueva Jersey, 2006.
2. Herman, Michael-Robert (1979), "Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotaciones", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 49 (49): 5–233, doi :10.1007/BF02684798, ISSN  1618-1913 , SEÑOR  0538680, S2CID  118356096
3. Valores omitidos y anillos de Herman de Tarakanta Nayak. ^{[ se necesita cita completa ]}
4. Mitsuhiro Shishikura , Sobre la cirugía cuasiconformal de funciones racionales. Ana. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. (4) 20 (1987), núm. 1, 1–29.
5. Mitsuhiro Shishikura , Cirugía de sistemas dinámicos analíticos complejos, en "Sistemas dinámicos y oscilaciones no lineales", Ed. por Giko Ikegami, Serie científica mundial avanzada en sistemas dinámicos, 1, World Scientific, 1986, 93–105.