conejo doble

Fractal relacionado con el conjunto de mandelbrot

Un conejo de Douady es un fractal derivado del conjunto de funciones de Julia , cuando el parámetro está cerca del centro de uno de los tres bulbos del período del conjunto de Mandelbrot para un mapa cuadrático complejo . ${\textstyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Lleva el nombre del matemático francés Adrien Douady .

Un ejemplo de conejo Douady. Los colores muestran el número de iteraciones necesarias para escapar .

Fondo

El conejo Douady se genera iterando el mapa del conjunto de Mandelbrot en el plano complejo , donde el parámetro se fija para que se encuentre en uno de los dos períodos tres del bulbo del cardioide principal y se extiende sobre el plano. La imagen resultante se puede colorear correspondiendo a cada píxel con un valor inicial y calculando la cantidad de iteraciones necesarias antes de que el valor de escape de una región limitada, después de lo cual divergirá hacia el infinito . ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{n}}$

También se puede describir utilizando la forma de mapa logístico del mapa cuadrático complejo , específicamente

${\displaystyle z_{n+1}={\mathcal {M}}z_{n}:=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right).}$

que es equivalente a

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}^{2}+c}$.

Independientemente de la iteración específica utilizada, el conjunto de Julia lleno asociado con un valor dado de (o ) consta de todos los puntos de partida (o ) para los cuales la iteración permanece limitada. Entonces, el conjunto de Mandelbrot consta de aquellos valores de (o ) para los cuales el conjunto de Julia lleno asociado está conectado. El conjunto de Mandelbrot se puede ver con respecto a o . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$

Observando que es invariante bajo la sustitución , el conjunto de Mandelbrot con respecto a tiene simetría horizontal adicional. Dado que y son transformaciones afines entre sí, o más específicamente una transformación de similitud, que consiste únicamente en escalamiento, rotación y traslación, los conjuntos de Julia llenos parecen similares para cualquiera de las formas de la iteración dada anteriormente. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma \to 2-\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

Descripción detallada

Conejo Douady en una familia exponencial

Laminación del conjunto conejo Julia.

Representación de la dinámica dentro del conejo.

También puede describir el conejo Douady utilizando el conjunto de Mandelbrot con respecto a como se muestra en el gráfico anterior. En esta figura, el conjunto de Mandelbrot aparece superficialmente como dos discos unitarios consecutivos con brotes o yemas , como los brotes en las posiciones de la una y las cinco en punto en el disco derecho o los brotes en las posiciones de las siete y las cinco en punto en el disco derecho. posiciones de las once en punto en el disco izquierdo. Cuando está dentro de uno de estos cuatro brotes, se dice que la Julia llena asociada situada en el plano cartográfico es un conejo Douady. Para estos valores de , se puede demostrar que tiene otro punto como punto fijo inestable (repelente) y como punto fijo atractivo. Además, el mapa tiene tres puntos fijos de atracción. Un conejo Douady consta de tres puntos fijos de atracción , y sus cuencas de atracción. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$

Por ejemplo, la Figura 4 muestra el conejo Douady en el plano cuando , un punto en el brote de las cinco en punto del disco derecho. Para este valor de , el mapa tiene los puntos fijos repelentes y . Los tres puntos fijos que se atraen (también llamados puntos fijos del período tres) tienen las ubicaciones ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=.656747-.129015i}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.499997032420304-(1.221880225696050\times 10^{-6})i{\;}{\;}{\mathrm {(red)} },\\z_{2}&=0.638169999974373-(0.239864000011495)i{\;}{\;}{\mathrm {(green)} },\\z_{3}&=0.799901291393262-(0.107547238170383)i{\;}{\;}{\mathrm {(yellow)} }.\end{aligned}}}$

Los puntos rojo, verde y amarillo se encuentran en las cuencas , , y de , respectivamente. Los puntos blancos se encuentran en la cuenca de . ${\displaystyle B(z_{1})}$ ${\displaystyle B(z_{2})}$ ${\displaystyle B(z_{3})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ ${\displaystyle B(\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

La acción de sobre estos puntos fijos viene dada por las relaciones , , y . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{1}=z_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{2}=z_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{3}=z_{1}}$

Correspondientes a estas relaciones están los resultados.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}B(z_{1})&=B(z_{2}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {red} }\subseteq {\mathrm {green} },\\{\mathcal {M}}B(z_{2})&=B(z_{3}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {green} }\subseteq {\mathrm {yellow} },\\{\mathcal {M}}B(z_{3})&=B(z_{1}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {yellow} }\subseteq {\mathrm {red} }.\end{aligned}}}$

Figura 4: Conejo Douady para o ${\displaystyle \gamma =2.55268-0.959456i}$ ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$

Como segundo ejemplo, la Figura 5 muestra un conejo Douady cuando , un punto en el brote de las once en punto en el disco izquierdo ( es invariante bajo esta transformación). Este conejo es más simétrico en el plano. Los puntos fijos del período tres se ubican entonces en ${\displaystyle \gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.500003730675024+(6.968273875812428\times 10^{-6})i{\;}{\;}({\mathrm {red} }),\\z_{2}&=-0.138169999969259+(0.239864000061970)i{\;}{\;}({\mathrm {green} }),\\z_{3}&=-0.238618870661709-(0.264884797354373)i{\;}{\;}({\mathrm {yellow} }).\end{aligned}}}$

Los puntos fijos repelentes de sí mismo están ubicados en y . Los tres lóbulos principales de la izquierda, que contienen los tres puntos fijos del período , y , se encuentran en el punto fijo , y sus homólogos de la derecha se encuentran en el punto . Se puede demostrar que el efecto de en puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario alrededor del origen de , o muy cerca , seguida de un escalamiento (dilatación) por un factor de . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1.450795+0.7825835i}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \arg(\gamma )}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle |\gamma |=1.1072538}$

Figura 5: Conejo Douady para o ${\displaystyle \gamma =-0.55268+0.959456i}$ ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$

Variantes

Un conejo retorcido ^[1] es la composición de un polinomio de conejo con potencias de giros de Dehn alrededor de sus orejas. ^[2] ${\displaystyle n}$

El corabbit es la imagen simétrica del conejo. Aquí parámetro . Es uno de los otros dos polinomios que inducen la misma permutación de su conjunto poscrítico: el conejo. ${\displaystyle c\approx -0.1226-0.7449i}$

3D

El conjunto Julia no tiene un análogo directo en tres dimensiones.

4D

Un cuaternión de Julia establecido con parámetros y una sección transversal en el plano. El conejo Douady es visible en la sección transversal. ${\displaystyle c=-0.123+0.745i}$ ${\displaystyle xy}$

Incorporado

Una pequeña copia homeomórfica incrustada de un conejo en el centro de un conjunto de Julia ^[3]

Gordo

El conejo gordo o el conejo gordito tiene c en la raíz de 1/3 de la rama del conjunto de Mandelbrot . Tiene una punta fija parabólica de 3 pétalos. ^[4]

• 
  conejo gordo
• 
  tablero de ajedrez parabólico

enésima oreja

En general, el conejo del décimo bulbo del cardioide principal tendrá orejas ^[5]. Por ejemplo, un conejo del período de cuatro bulbos tiene tres orejas. ${\displaystyle period-(n+1)}$ ${\displaystyle n}$

perturbado

Conejo perturbado ^[6]

• conejo perturbado
• 
  conejo perturbado
• 
  Zoom de conejo perturbado

Problema del conejo retorcido

A principios de la década de 1980, Hubbard planteó el llamado problema del conejo retorcido, un problema de clasificación polinomial. El objetivo es determinar los tipos de equivalencia de Thurston ^{[ definición necesaria ]} de funciones de números complejos que generalmente no están dadas por una fórmula (se llaman polinomios topológicos): ^[7]

• dada una cuadrática topológica cuyo punto de ramificación es periódica con período tres, determinando a qué polinomio cuadrático es equivalente Thurston
• determinación de la clase de equivalencia de conejos retorcidos, es decir, compuesto del polinomio del conejo con enésimas potencias de Dehn retorcidos alrededor de sus orejas.

El problema fue resuelto originalmente por Laurent Bartholdi y Volodymyr Nekrashevych ^{[8] utilizando} grupos monodrómicos iterados . También se ha resuelto la generalización del problema al caso en el que el número de puntos poscríticos es arbitrariamente grande. ^[9]

Galería

• 
  Los niveles de gris indican la velocidad de convergencia al infinito o al ciclo de atracción.
• 
  Límites de conjuntos de niveles
• 
  Descomposición binaria
• 
• 
  Con lomo
• 
  Con rayos externos
• 
  Conejo Multibrot-4 Douady
• 
  Un conejo Douady sobre un fondo rojo.
• 
  Una cadena de conejos Douady

Ver también

• curva del dragón
• anillo herman
• disco de siegel

Referencias

1. "Una solución geométrica al problema del conejo retorcido por Jim Belk, Universidad de St Andrews" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de noviembre de 2022 . Consultado el 3 de mayo de 2022 .
2. Laurent Bartholdi; Volodymyr Nekrashevych (2006). "Equivalencia de Thurston de polinomios topológicos". Acta Matemática . 197 : 1–51. arXiv : matemáticas/0510082 . doi :10.1007/s11511-006-0007-3.
3. "Renormalización del conejo del período n. 'El espectáculo del conejo' de Evgeny Demidov". Archivado desde el original el 3 de mayo de 2022 . Consultado el 3 de mayo de 2022 .
4. Nota sobre perturbaciones dinámicamente estables de las parabólicas por Tomoki Kawahira Archivado el 2 de octubre de 2006 en Wayback Machine .
5. "Conejos retorcidos de tres orejas: identificación de cuadráticas topológicas hasta la equivalencia de Thurston por Adam Chodof" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de mayo de 2022 . Consultado el 3 de mayo de 2022 .
6. "Artículos de investigación recientes (sólo desde 1999) Robert L. Devaney: conejos, basílicas y otros conjuntos de Julia envueltos en alfombras Sierpinski". Archivado desde el original el 23 de octubre de 2019 . Consultado el 7 de abril de 2020 .
7. "Polinomios, dinámica y árboles de Becca Winarski" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de noviembre de 2022 . Consultado el 8 de mayo de 2022 .
8. Laurent Bartholdi; Volodymyr Nekrashevych (2005). "Equivalencia de Thurston de polinomios topológicos". arXiv : matemáticas/0510082v3 .
9. James Belk; Justin Lanier; Dan Margalit; Rebecca R. Winarski (2019). "Reconocimiento de polinomios topológicos levantando árboles". arXiv : 1906.07680v1 [matemáticas.DS].

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fractal del conejo Douady". MundoMatemático .
• Dragt, A. "Métodos de mentira para dinámica no lineal con aplicaciones a la física de aceleradores".
• Adrien Douady: La dinámica del lápiz (1996) - vídeo en YouTube

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