Disco de Siegel

Un disco de Siegel o disco de Siegel es un componente conexo en el conjunto de Fatou donde la dinámica es analíticamente conjugada a una rotación irracional .

Descripción

Dado un endomorfismo holomorfo en una superficie de Riemann, consideramos el sistema dinámico generado por las iteraciones de denotadas por . Entonces llamamos a la órbita de como el conjunto de iteraciones hacia adelante de . Nos interesa el comportamiento asintótico de las órbitas en (que generalmente serán , el plano complejo o , la esfera de Riemann ), y llamamos al plano de fase o plano dinámico . ${\displaystyle f:S\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{n}=f\circ {\stackrel {\left(n\right)}{\cdots }}\circ f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{+}(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle S}$

Un posible comportamiento asintótico para un punto es ser un punto fijo , o en general un punto periódico . En este último caso donde es el periodo y media es un punto fijo. Podemos entonces definir el multiplicador de la órbita como y esto nos permite clasificar las órbitas periódicas como atrayentes si , superatractoras si ), repulsivas si e indiferentes si . Las órbitas periódicas indiferentes pueden ser o bien racionalmente indiferentes o bien irracionalmente indiferentes , dependiendo de si son para algunos o para todos , respectivamente. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f^{p}(z_{0})=z_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \rho =(f^{p})'(z_{0})}$ ${\displaystyle |\rho |<1}$ ${\displaystyle |\rho |=0}$ ${\displaystyle |\rho |>1}$ ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle \rho ^{n}=1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho ^{n}\neq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

Los discos de Siegel son uno de los posibles casos de componentes conexos en el conjunto de Fatou (el conjunto complementario del conjunto de Julia ), según la Clasificación de componentes de Fatou , y pueden ocurrir alrededor de puntos periódicos irracionalmente indiferentes. El conjunto de Fatou es, aproximadamente, el conjunto de puntos donde los iterados se comportan de manera similar a sus vecinos (forman una familia normal ). Los discos de Siegel corresponden a puntos donde la dinámica de son analíticamente conjugadas a una rotación irracional del disco unitario complejo. ${\displaystyle f}$

Nombre

El disco Siegel recibe su nombre en honor a Carl Ludwig Siegel .

Galería

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  Disco de Siegel para una aplicación de tipo polinomial ^[1]
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  Julia se propuso para , donde y es la proporción áurea . Se destacaron las órbitas de algunos puntos dentro del disco de Siegel. ${\displaystyle B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)}$ ${\displaystyle a=15-15i}$ ${\displaystyle \lambda }$
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  Conjunto de Julia para , donde y es la proporción áurea . Se destacan las órbitas de algunos puntos dentro del disco de Siegel . El disco de Siegel no tiene límites o su límite es un continuo indescomponible . ^[2] ${\displaystyle B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)}$ ${\displaystyle a=-0.33258+0.10324i}$ ${\displaystyle \lambda }$
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  Conjunto de Julia lleno para el número de rotación de Proporción Áurea con interior coloreado proporcional a la velocidad discreta promedio en la órbita = abs( z_(n+1) - z_n ). Nótese que solo hay un disco de Siegel y muchas preimágenes de las órbitas dentro del disco de Siegel ${\displaystyle f_{c}(z)=z*z+c}$
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  Disco de Siegel plegable cerca de 1/2
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  Disco de Siegel invertido cerca de 1/3. Se puede ver un disco de Siegel virtual
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  Disco de Siegel plegable cerca de 2/7
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  Conjunto de Julia para fc(z) = z*z+c donde c = -0,749998153581339 +0,001569040474910*I. El ángulo interno en las curvas es t = 0,49975027919634618290
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  Conjunto de Julia de polinomios cuadráticos con disco de Siegel para el número de rotación [3,2,1000,1...]
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Definición formal

Sea un endomorfismo holomorfo donde es una superficie de Riemann y sea U un componente conexo del conjunto de Fatou . Decimos que U es un disco de Siegel de f alrededor del punto si existe un biholomorfismo donde es el disco unidad y tal que para algunos y . ${\displaystyle f\colon S\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha n}z}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \phi (z_{0})=0}$

El teorema de Siegel demuestra la existencia de discos de Siegel para números irracionales que satisfacen una condición de irracionalidad fuerte (una condición diofántica ), resolviendo así un problema abierto desde que Fatou conjeturó su teorema sobre la Clasificación de los componentes de Fatou . ^[3]

Más tarde, Alexander D. Brjuno mejoró esta condición de irracionalidad, ampliándola a los números de Brjuno . ^[4]

Este es parte del resultado de la Clasificación de componentes de Fatou .

Véase también

• Conejo Douady
• Anillo de Herman

Referencias

1. Mapas de tipo polinomial de Nuria Fagella en Anatomía de los conjuntos de Mandelbrot y Julia
2. Rubén Berenguel y Núria Fagella Toda una familia trascendental con un disco de Siegel persistente , preimpresión de 2009: arXiV:0907.0116
3. Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Dinámica compleja , Springer 1993
4. Milnor, John W. (2006), Dinámica en una variable compleja , Anales de estudios matemáticos, vol. 160 (tercera edición), Princeton University Press(Apareció por primera vez en 1990 como una preimpresión de Stony Brook IMS archivada el 24 de abril de 2006 en Wayback Machine , disponible como arXiV:math.DS/9201272.)

• Discos de Siegel en Scholarpedia