Función trascendental

Analytic function that does not satisfy a polynomial equation

En matemáticas , una función trascendental es una función analítica que no satisface una ecuación polinómica , a diferencia de una función algebraica . ^{[1] [2]} En otras palabras, una función trascendental "trasciende" el álgebra en el sentido de que no puede expresarse algebraicamente usando una cantidad finita de términos.

Ejemplos de funciones trascendentales incluyen la función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas .

Definición

Formalmente, una función analítica f ( z ) de una variable real o compleja z es trascendental si es algebraicamente independiente de esa variable. ^[3] Esto se puede extender a funciones de varias variables .

Historia

Las funciones trascendentales seno y coseno se tabularon a partir de medidas físicas en la antigüedad, como se evidencia en Grecia ( Hiparchus ) y la India ( jya y koti-jya ). Al describir la tabla de acordes de Ptolomeo , equivalente a una tabla de senos, Olaf Pedersen escribió:

Ptolomeo desconoce la noción matemática de continuidad como concepto explícito. Que él, de hecho, trate estas funciones como continuas se desprende de su presunción tácita de que es posible determinar un valor de la variable dependiente correspondiente a cualquier valor de la variable independiente mediante el simple proceso de interpolación lineal . ^[4]

Una comprensión revolucionaria de estas funciones circulares se produjo en el siglo XVII y fue explicada por Leonhard Euler en 1748 en su Introducción al análisis del infinito . Estas antiguas funciones trascendentales llegaron a ser conocidas como funciones continuas a través de la cuadratura de la hipérbola rectangular xy = 1 por Grégoire de Saint-Vincent en 1647, dos milenios después de que Arquímedes hubiera producido La cuadratura de la parábola .

Se demostró que el área bajo la hipérbola tiene la propiedad de escala de área constante para una proporción constante de límites. La función logaritmo hiperbólica así descrita tuvo un uso limitado hasta 1748, cuando Leonhard Euler la relacionó con funciones en las que una constante se eleva a un exponente variable, como la función exponencial en la que la base constante es e . Al introducir estas funciones trascendentales y observar la propiedad de biyección que implica una función inversa , se proporcionó cierta facilidad para las manipulaciones algebraicas del logaritmo natural incluso si no es una función algebraica.

La función exponencial se escribe . Euler lo identificó con la serie infinita , donde k ! denota el factorial de k . ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$

Los términos pares e impares de esta serie proporcionan sumas que denotan cosh( x ) y sinh( x ) , de modo que estas funciones hiperbólicas trascendentales se pueden convertir en funciones circulares seno y coseno introduciendo (−1) ^k en la serie, lo que resulta en alternancia serie . Después de Euler, los matemáticos ven el seno y el coseno de esta manera para relacionar la trascendencia con funciones de logaritmo y exponente, a menudo a través de la fórmula de Euler en aritmética de números complejos . ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$

Ejemplos

Sea c una constante positiva. Son trascendentales las siguientes funciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}}$$

Para la segunda función , si igualamos a la base del logaritmo natural , obtenemos que es una función trascendental. De manera similar, si igualamos a in , obtenemos que (es decir, el logaritmo natural ) es una función trascendental. ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{5}(x)}$ ${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x}$

Funciones algebraicas y trascendentales.

Las funciones trascendentales más familiares son el logaritmo , la exponencial (con cualquier base no trivial), la trigonométrica y la hiperbólica , y las inversas de todas ellas. Menos familiares son las funciones especiales de análisis , como las funciones gamma , elíptica y zeta , todas las cuales son trascendentales. Las funciones hipergeométrica generalizada y de Bessel son trascendentales en general, pero algebraicas para algunos valores de parámetros especiales.

Una función que no es trascendental es algebraica . Ejemplos simples de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función de raíz cuadrada , pero en general, las funciones algebraicas no pueden definirse como fórmulas finitas de funciones elementales. ^[5]

La integral indefinida de muchas funciones algebraicas es trascendental. Por ejemplo, la función logaritmo surgió de la función recíproca en un esfuerzo por encontrar el área de un sector hiperbólico .

El álgebra diferencial examina cómo la integración frecuentemente crea funciones que son algebraicamente independientes de alguna clase, como cuando se toman polinomios con funciones trigonométricas como variables.

Funciones trascendentalmente trascendentales

Las funciones trascendentales más familiares, incluidas las funciones especiales de la física matemática, son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas . Las que no lo son, como las funciones gamma y zeta , se denominan funciones trascendentales trascendentales o hipertrascendentales ^{. [6]}

Conjunto excepcional

Si f es una función algebraica y es un número algebraico , entonces f ( α ) también es un número algebraico. Lo contrario no es cierto: existen funciones trascendentales enteras f tales que f ( α ) es un número algebraico para cualquier α algebraico . ^[7] Para una función trascendental dada, el conjunto de números algebraicos que dan resultados algebraicos se denomina conjunto excepcional de esa función. ^{[8] [9]} Formalmente se define por: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.}$$

En muchos casos el conjunto excepcional es bastante pequeño. Esto lo demostró , por ejemplo, Lindemann en 1882. En particular, exp(1) = e es trascendental. Además, dado que exp( iπ ) = −1 es algebraico, sabemos que iπ no puede ser algebraico. Dado que i es algebraico, esto implica que π es un número trascendental . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},}$

En general, encontrar el conjunto excepcional de una función es un problema difícil, pero si se puede calcular, a menudo puede conducir a resultados en la teoría de números trascendental . Aquí hay algunos otros conjuntos excepcionales conocidos:

• Invariante j de Klein donde ⁠ ⁠ es el semiplano superior y ⁠ ⁠ es el grado del campo numérico ⁠ ⁠ Este resultado se debe a Theodor Schneider . ^[10] $${\displaystyle {\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ).}$
• Función exponencial en base 2: este resultado es un corolario del teorema de Gelfond-Schneider , que establece que si es algebraico y es algebraico e irracional entonces es trascendental. Por lo tanto, la función 2 ^x podría reemplazarse por c ^x para cualquier c algebraico que no sea igual a 0 o 1. De hecho, tenemos: $${\displaystyle {\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,}$$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.}$$
• Una consecuencia de la conjetura de Schanuel en la teoría de números trascendental sería que ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .}$
• Una función con conjunto excepcional vacío que no requiere asumir la conjetura de Schanuel es ${\displaystyle f(x)=\exp(1+\pi x).}$

Si bien no es fácil calcular el conjunto excepcional para una función dada, se sabe que dado cualquier subconjunto de números algebraicos, digamos A , existe una función trascendental cuyo conjunto excepcional es A. ^[11] No es necesario que el subconjunto sea propio, lo que significa que A puede ser el conjunto de números algebraicos. Esto implica directamente que existen funciones trascendentales que producen números trascendentales sólo cuando se dan números trascendentales. Alex Wilkie también demostró que existen funciones trascendentales para las cuales no existen pruebas lógicas de primer orden sobre su trascendencia al proporcionar una función analítica ejemplar . ^[12]

Análisis dimensional

En el análisis dimensional , las funciones trascendentales son notables porque tienen sentido sólo cuando su argumento es adimensional (posiblemente después de una reducción algebraica). Debido a esto, las funciones trascendentales pueden ser una fuente fácil de detectar de errores dimensionales. Por ejemplo, log(5 metros) es una expresión sin sentido, a diferencia de log(5 metros / 3 metros) o log(3) metros . Se podría intentar aplicar una identidad logarítmica para obtener log(5) + log(metres) , lo que resalta el problema: aplicar una operación no algebraica a una dimensión crea resultados sin sentido.

Ver también

• Función compleja
• Función (matemáticas)
• Función generalizada
• Lista de funciones especiales y epónimos.
• Lista de tipos de funciones.
• Función racional
• Funciones especiales

Referencias

1. Townsend, EJ (1915). Funciones de una variable compleja . H. Holt. pag. 300. OCLC  608083625.
2. Hazewinkel, Michiel (1993). Enciclopedia de Matemáticas . vol. 9. págs.236.
3. Waldschmidt, M. (2000). Aproximación diofántica sobre grupos algebraicos lineales. Saltador. ISBN 978-3-662-11569-5.
4. Pedersen, Olaf (1974). Encuesta del Almagesto . Prensa de la Universidad de Odense . pag. 84.ISBN​ 87-7492-087-1.
5. cf. Teorema de Abel-Ruffini
6. Rubel, Lee A. (noviembre de 1989). "Un estudio de funciones trascendentalmente trascendentales". El Mensual Matemático Estadounidense . 96 (9): 777–788. doi :10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR  2324840.
7. van der Poorten, AJ (1968). "Funciones completas trascendentales que asignan cada campo numérico algebraico a sí mismo". J.Austral. Matemáticas. Soc . 8 (2): 192–8. doi : 10.1017/S144678870000522X . S2CID  121788380.
8. Marqués, D.; Lima, FMS (2010). "Algunas funciones trascendentales que arrojan valores trascendentales para cada entrada algebraica". arXiv : 1004.1668v1 [matemáticas.NT].
9. Archinard, N. (2003). "Conjuntos excepcionales de series hipergeométricas". Revista de teoría de números . 101 (2): 244–269. doi :10.1016/S0022-314X(03)00042-8.
10. Schneider, T. (1937). "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale". Matemáticas. Annalen . 113 : 1–13. doi :10.1007/BF01571618. S2CID  121073687.
11. Waldschmidt, M. (2009). "Funciones auxiliares en la teoría de números trascendental". El diario Ramanujan . 20 (3): 341–373. arXiv : 0908.4024 . doi :10.1007/s11139-009-9204-y. S2CID  122797406.
12. Wilkie, AJ (1998). "Una función trascendental algebraicamente conservadora". Preimpresiones de París VII . 66.

enlaces externos

• Definición de "Función trascendental" en la Enciclopedia de Matemáticas