Tabla de acordes de Ptolomeo

La tabla de cuerdas , creada por el astrónomo, geómetra y geógrafo griego Ptolomeo en Egipto durante el siglo II d.C., es una tabla trigonométrica del Libro I, capítulo 11 del Almagesto de Ptolomeo , ^[1] un tratado de astronomía matemática . Es esencialmente equivalente a una tabla de valores de la función seno . Fue la primera tabla trigonométrica lo suficientemente extensa para muchos propósitos prácticos, incluidos los de astronomía (una tabla anterior de cuerdas de Hiparco daba cuerdas sólo para arcos que eran múltiplos de 7 ).+1/2° = $π$ /24radianes ). ^[2] Desde los siglos VIII y IX, el seno y otras funciones trigonométricas se han utilizado en las matemáticas y la astronomía islámicas, reformando la producción de tablas de senos. ^[3] Khwarizmi y Habash al-Hasib produjeron más tarde un conjunto de tablas trigonométricas.

La función de acordes y la tabla.

Una cuerda de un círculo es un segmento de recta cuyos puntos finales están en el círculo. Ptolomeo utilizó un círculo cuyo diámetro es de 120 partes. Tabuló la longitud de una cuerda cuyos extremos están separados por un arco de n grados, para n que van desde1/2a 180 en incrementos de 1/2. En notación moderna, la longitud de la cuerda correspondiente a un arco de θ grados es

{\begin{aligned}&\operatorname {acorde} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={} &60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radianes}}\right)\right).\end{aligned}}

Cuando θ va de 0 a 180, la cuerda de un arco de θ ° va de 0 a 120. Para arcos pequeños, la cuerda es al ángulo del arco en grados como $π$ es a 3, o más precisamente, la relación se puede hacer como cerrar como se desee $π$ /3 ≈ 1.047 197 55 haciendo θ lo suficientemente pequeño. Así, para el arco de1/2° , la longitud de la cuerda es ligeramente mayor que el ángulo del arco en grados. A medida que aumenta el arco, la relación entre la cuerda y el arco disminuye. Cuando el arco alcanza los 60° , la longitud de la cuerda es exactamente igual al número de grados del arco, es decir, cuerda 60° = 60. Para arcos de más de 60°, la cuerda es menor que el arco, hasta obtener un arco de 180°. ° se alcanza, cuando la cuerda es sólo 120.

Las partes fraccionarias de las longitudes de las cuerdas se expresaron en números sexagesimales (base 60). Por ejemplo, cuando se informa que la longitud de una cuerda subtendida por un arco de 112° es 99,29,5, tiene una longitud de

99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},

redondeado al más cercano 1/60 ². ^[1]

Después de las columnas del arco y la cuerda, hay una tercera columna denominada "sexagésimos". Para un arco de θ °, la entrada en la columna "sexagésimas" es

{\frac {\operatorname {acorde} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {acorde} \left(\theta ^{\ círculo }\right)}{30}}.

Este es el número medio de sexagésimos de una unidad que se deben sumar a la cuerda ( θ °) cada vez que el ángulo aumenta en un minuto de arco, entre la entrada para θ ° y la de ( θ + 1/2)°. Por tanto, se utiliza para la interpolación lineal . Glowatzki y Göttsche demostraron que Ptolomeo debió haber calculado cuerdas hasta cinco lugares sexigesimales para lograr el grado de precisión que se encuentra en la columna de "sexagésimas". ^[4]

{\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{acorde}}&&&{\text{sexagésimos}}&&\ \\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\ ,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\, \,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2} }&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac { 1}{2}}&99&11&27&0\cuadrado 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\ líneah\end{array}}

Cómo Ptolomeo calculó las cuerdas

El capítulo 10 del Libro I del Almagesto presenta teoremas geométricos utilizados para calcular cuerdas. Ptolomeo utilizó el razonamiento geométrico basado en la Proposición 10 del Libro XIII de los Elementos de Euclides para encontrar las cuerdas de 72° y 36°. Esa Proposición establece que si un pentágono equilátero está inscrito en un círculo, entonces el área del cuadrado del lado del pentágono es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono inscritos en el mismo círculo.

Usó el teorema de Ptolomeo sobre cuadriláteros inscritos en un círculo para derivar fórmulas para la cuerda de un medio arco, la cuerda de la suma de dos arcos y la cuerda de una diferencia de dos arcos. El teorema establece que para un cuadrilátero inscrito en un círculo , el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los productos de los dos pares de longitudes de lados opuestos. Las derivaciones de identidades trigonométricas se basan en un cuadrilátero cíclico en el que un lado es un diámetro del círculo.

Para encontrar las cuerdas de arcos de 1° y1/2° utilizó aproximaciones basadas en la desigualdad de Aristarco . La desigualdad establece que para los arcos α y β , si 0 < β < α < 90°, entonces

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.

Ptolomeo demostró que para arcos de 1° y1/2°, las aproximaciones dan correctamente los dos primeros lugares sexagesimales después de la parte entera.

El sistema numérico y la apariencia de la tabla no traducida.

Las longitudes de los arcos del círculo, en grados, y las partes enteras de las longitudes de las cuerdas, se expresaron en un sistema numérico de base 10 que utilizaba 21 de las letras del alfabeto griego con los significados que se dan en la siguiente tabla, y un símbolo, " ∠′ ", eso significa1/2y un círculo elevado "○" que llena un espacio en blanco (que efectivamente representa cero). Tres de las letras, etiquetadas como "arcaicas" en la siguiente tabla, no se habían utilizado en el idioma griego durante algunos siglos antes de que se escribiera el Almagesto , pero todavía se utilizaban como números y notas musicales .

{\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}

Así, por ejemplo, un arco de 143+1/2° se expresa como ρμγ ∠′. (Como la tabla sólo llega a 180°, no se utilizan los números griegos para 200 y superiores).

Las partes fraccionarias de las longitudes de las cuerdas requerían gran precisión y se daban en dos columnas de la tabla: La primera columna proporciona un múltiplo entero de1/60, en el rango de 0 a 59, el segundo es un múltiplo entero de1/60 ² = 1/3600, también en el rango 0–59.

Así, en la edición de Heiberg del Almagesto con la tabla de acordes en las páginas 48 a 63, el comienzo de la tabla, correspondiente a los arcos de1/2° a 7+1/2°, se ve así:

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}

Más adelante en la tabla, se puede ver la naturaleza en base 10 de los números que expresan las partes enteras del arco y la longitud de la cuerda. Así, un arco de 85° se escribe como πε ( π para 80 y ε para 5) y no se descompone en 60 + 25. La longitud de la cuerda correspondiente es 81 más una parte fraccionaria. La parte entera comienza con πα , y tampoco se divide en 60 + 21. Pero la parte fraccionaria,4/60 + 15/60 ², se escribe como δ , para 4, en el1/60columna, seguida de ιε , para 15, en el1/60 ²columna.

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}

La tabla tiene 45 líneas en cada una de las ocho páginas, para un total de 360 líneas.

Ver también

Tabla de senos de Aryabhata
exsecante
Fundamentum Astronomiae , un libro que establece un algoritmo para el cálculo preciso de senos, publicado a finales del siglo XVI.
matemáticas griegas
Tabla de senos de Madhava
Ptolomeo
escala de acordes
versina

Referencias

^ ab Toomer, GJ (1998), Almagesto de Ptolomeo , Princeton University Press , ISBN 0-691-00260-6
^ Thurston, págs. 235-236.
^ Berggren, JL (2016). Episodios de las matemáticas del Islam medieval. doi :10.1007/978-1-4939-3780-6. ISBN 978-1-4939-3778-3.
^ Ernst Glowatzki y Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet. , Múnich, 1976.

Aaboe, Asger (1997), Episodios de la historia temprana de las matemáticas , Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-613-0
Clagett, Marshall (2002), La ciencia griega en la antigüedad , Publicaciones Courier Dover, ISBN 978-0-8369-2150-2
Neugebauer, Otto (1975), Una historia de la astronomía matemática antigua , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06995-1
Olaf Pedersen (1974) Un estudio del Almagest , Prensa de la Universidad de Odense ISBN 87-7492-087-1
Thurston, Hugh (1996), Astronomía temprana , Springer, ISBN 978-0-387-94822-5

enlaces externos

JL Heiberg Almagest, Tabla de acordes en las páginas 48–63.
Tabla de acordes de Glenn Elert Ptolomeo: trigonometría en el siglo II
Almageste en griego y francés, en el archivo de Internet.