La desigualdad de Aristarco

La desigualdad de Aristarco (en honor al astrónomo y matemático griego Aristarco de Samos ; c. 310 – c. 230 a. C.) es una ley de trigonometría que establece que si α y β son ángulos agudos (es decir, entre 0 y un ángulo recto) y β  <  α, entonces

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

Ptolomeo utilizó la primera de estas desigualdades al construir su tabla de acordes . ^[1]

Prueba

La prueba es una consecuencia de las desigualdades más conocidas.

${\displaystyle 0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )}$,

${\displaystyle 0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1}$y

${\displaystyle 1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0}$.

Prueba de la primera desigualdad

Usando estas desigualdades podemos demostrar primero que

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.}$

Primero observamos que la desigualdad es equivalente a

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$

que a su vez puede reescribirse como

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

Ahora queremos demostrar que

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

La segunda desigualdad es simplemente . La primera es verdadera porque ${\displaystyle \beta <\tan \beta }$

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).}$

Prueba de la segunda desigualdad

Ahora queremos demostrar la segunda desigualdad, es decir que:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

Primero observamos que debido a las desigualdades iniciales tenemos que:

${\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$

En consecuencia, utilizando lo anterior en la ecuación (reemplazando por ) obtenemos: ${\displaystyle 0<\alpha -\beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha -\beta <\alpha }$

${\displaystyle {\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).}$

Concluimos que

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

Véase también

• Aristarco de Samos
• Eratóstenes
• Posidonio

Notas y referencias

1. Toomer, GJ (1998), Almagesto de Ptolomeo , Princeton University Press, pág. 54, ISBN 0-691-00260-6

Enlaces externos

• Leibowitz, Gerald M. "Astrónomos helenísticos y los orígenes de la trigonometría" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2011-09-27 . Consultado el 2019-06-24 .
• Prueba de la primera desigualdad
• Prueba de la segunda desigualdad