disco de siegel

Un disco de Siegel o disco de Siegel es un componente conectado en el conjunto de Fatou donde la dinámica se conjuga analíticamente con una rotación irracional .

Descripción

Dado un endomorfismo holomorfo en una superficie de Riemann, consideramos el sistema dinámico generado por las iteraciones de denotadas por . Luego llamamos a la órbita de como el conjunto de iteraciones directas de . Nos interesa el comportamiento asintótico de las órbitas en (que normalmente será el plano complejo o la esfera de Riemann ), y lo llamamos plano de fase o plano dinámico . ${\displaystyle f:S\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{n}=f\circ {\stackrel {\left(n\right)}{\cdots }}\circ f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{+}(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle S}$

Un posible comportamiento asintótico de un punto es ser un punto fijo o, en general, un punto periódico . En este último caso donde está el período y la media es un punto fijo. Entonces podemos definir el multiplicador de la órbita como y esto nos permite clasificar las órbitas periódicas como atractivas si superatractoras si ), repelentes si e indiferentes si . Las órbitas periódicas indiferentes pueden ser racionalmente indiferentes o irracionalmente indiferentes , dependiendo de si son para algunos o para todos , respectivamente. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f^{p}(z_{0})=z_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \rho =(f^{p})'(z_{0})}$ ${\displaystyle |\rho |<1}$ ${\displaystyle |\rho |=0}$ ${\displaystyle |\rho |>1}$ ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle \rho ^{n}=1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho ^{n}\neq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

Los discos de Siegel son uno de los posibles casos de componentes conectados en el conjunto de Fatou (el conjunto complementario del conjunto de Julia ), según la Clasificación de componentes de Fatou , y pueden ocurrir alrededor de puntos periódicos irracionalmente indiferentes. El conjunto de Fatou es, aproximadamente, el conjunto de puntos donde los iterados se comportan de manera similar a sus vecinos (forman una familia normal ). Los discos de Siegel corresponden a puntos donde la dinámica de se conjuga analíticamente con una rotación irracional del disco unitario complejo. ${\displaystyle f}$

Nombre

El disco de Siegel lleva el nombre de Carl Ludwig Siegel .

Galería

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  Disco de Siegel para un mapeo tipo polinomio ^[1]
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  Julia estableció , donde y es la proporción áurea . Se destacan las órbitas de algunos puntos del interior del disco de Siegel ${\displaystyle B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)}$ ${\displaystyle a=15-15i}$ ${\displaystyle \lambda }$
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  Julia fijó para , donde y es la proporción áurea . Se destacan las órbitas de algunos puntos del interior del disco de Siegel . El disco de Siegel es ilimitado o su límite es un continuo indescomponible . ^[2] ${\displaystyle B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)}$ ${\displaystyle a=-0.33258+0.10324i}$ ${\displaystyle \lambda }$
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  Julia llena establecida para el número de rotación de la media áurea con el interior coloreado proporcional a la velocidad discreta promedio en la órbita = abs (z_(n+1) - z_n). Tenga en cuenta que sólo hay un disco de Siegel y muchas preimágenes de las órbitas dentro del disco de Siegel. ${\displaystyle f_{c}(z)=z*z+c}$
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  Disco Siegel plegado cerca de 1/2
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  Disco Siegel plegado cerca de 1/3. Se puede ver el disco virtual de Siegel.
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  Disco Siegel plegado cerca de 2/7
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  Julia estableció fc(z) = z*z+c donde c = -0,749998153581339 +0,001569040474910*I. El ángulo interno en turnos es t = 0.49975027919634618290
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  Conjunto de Julia de polinomio cuadrático con disco de Siegel para número de rotación [3,2,1000,1...]
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Definicion formal

Sea un endomorfismo holomórfico donde es una superficie de Riemann , y sea U un componente conexo del conjunto de Fatou . Decimos que U es un disco de Siegel de f alrededor del punto si existe un biholomorfismo donde está el disco unitario y tal que para algunos y . ${\displaystyle f\colon S\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha n}z}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \phi (z_{0})=0}$

El teorema de Siegel demuestra la existencia de discos de Siegel para números irracionales que satisfacen una condición de irracionalidad fuerte (una condición diofántica ), resolviendo así un problema abierto desde que Fatou conjeturó su teorema sobre la Clasificación de los componentes de Fatou . ^[3]

Posteriormente Alexander D. Brjuno mejoró esta condición de la irracionalidad, ampliándola a los números de Brjuno . ^[4]

Esto es parte del resultado de la Clasificación de componentes de Fatou .

Ver también

• conejo doble
• anillo herman

Referencias

1. Mapas de tipo polinomial de Nuria Fagella en The Mandelbrot y Julia establece Anatomía
2. Rubén Berenguel y Núria Fagella Toda una familia trascendental con un persistente disco de Siegel , preimpresión 2009: arXiV:0907.0116
3. Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Dinámica compleja , Springer 1993
4. Milnor, John W. (2006), Dinámica en una variable compleja , Annals of Mathematics Studies, vol. 160 (Tercera ed.), Princeton University Press(Apareció por primera vez en 1990 como una preimpresión de Stony Brook IMS Archivada el 24 de abril de 2006 en Wayback Machine , disponible como arXiV:math.DS/9201272.)

• Discos de Siegel en Scholarpedia