Espacio conectado localmente

Propiedad de los espacios topológicos.

En este espacio topológico, V es una vecindad de p y contiene un conjunto abierto conectado (el disco verde oscuro) que contiene p .

En topología y otras ramas de las matemáticas , un espacio topológico X es localmente conexo si cada punto admite una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos conexos .

Como noción más sólida, el espacio X está localmente conexo por caminos si cada punto admite una base de vecindad que consta de conjuntos conexos por caminos abiertos .

Fondo

A lo largo de la historia de la topología, la conectividad y la compacidad han sido dos de las propiedades topológicas más estudiadas. De hecho, el estudio de estas propiedades incluso entre subconjuntos del espacio euclidiano y el reconocimiento de su independencia de la forma particular de la métrica euclidiana jugaron un papel importante en la clarificación de la noción de propiedad topológica y, por tanto, de espacio topológico. Sin embargo, mientras que la estructura de los subconjuntos compactos del espacio euclidiano se entendió bastante pronto mediante el teorema de Heine-Borel , los subconjuntos conectados de (para n > 1) resultaron ser mucho más complicados. De hecho, si bien cualquier espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto , un espacio conexo (e incluso un subconjunto conexo del plano euclidiano) no necesita estar conexo localmente (ver más abajo). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Esto dio lugar a una rica corriente de investigación en la primera mitad del siglo XX, en la que los topólogos estudiaron las implicaciones entre variaciones cada vez más sutiles y complejas de la noción de un espacio localmente conectado. Como ejemplo, más adelante en este artículo se considerará la noción de conectividad local im kleinen en un punto y su relación con la conectividad local.

En la última parte del siglo XX, las tendencias de investigación cambiaron hacia un estudio más intenso de espacios como las variedades , que son localmente bien comprendidos (siendo localmente homeomórficos con respecto al espacio euclidiano) pero que tienen un comportamiento global complicado. Con esto se quiere decir que aunque la topología básica de conjuntos de puntos de las variedades es relativamente simple (ya que las variedades son esencialmente metrizables según la mayoría de las definiciones del concepto), su topología algebraica es mucho más compleja. Desde esta perspectiva moderna, la propiedad más fuerte de la conectividad de caminos locales resulta ser más importante: por ejemplo, para que un espacio admita una cobertura universal debe estar conectado y estar conectado localmente.

Un espacio está localmente conectado si y sólo si para cada conjunto abierto U , los componentes conectados de U (en la topología del subespacio ) están abiertos. De ello se deduce, por ejemplo, que una función continua desde un espacio localmente conectado hasta un espacio totalmente desconectado debe ser localmente constante. De hecho, la apertura de los componentes es tan natural que hay que tener presente que no es cierto en general: por ejemplo, el espacio de Cantor está totalmente desconectado pero no es discreto .

Definiciones

Sea un espacio topológico y sea un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Un espacio se llama localmente conectado en ^[1] si cada vecindad de contiene una vecindad abierta conectada de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos conexos. Un espacio localmente conexo ^{[2] [1]} es un espacio que está localmente conexo en cada uno de sus puntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La conexión local no implica conexión (considere dos intervalos abiertos disjuntos en, por ejemplo); y la conectividad no implica conectividad local (ver la curva sinusoidal del topólogo ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un espacio se llama camino localmente conectado en ^[1] si cada vecindad de contiene una vecindad abierta conectada de camino de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos conectados por caminos. Un espacio conectado por ruta local ^{[3] [1]} es un espacio que está conectado por ruta local en cada uno de sus puntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Los espacios conectados por rutas locales están conectados localmente. Lo contrario no se cumple (consulte la topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario ).

Conectividad soy pequeño

Un espacio se llama conexo im kleinen en ^{[4] [5]} o débilmente conexo localmente en ^[6] si cada vecindad de contiene una vecindad conexa de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos conexos. Un espacio se dice débilmente conexo localmente si está débilmente conexo localmente en cada uno de sus puntos; Como se indica a continuación, este concepto es, de hecho, el mismo que estar conectado localmente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Un espacio que está localmente conexo en está conexo im kleinen en Lo contrario no se cumple, como lo muestra, por ejemplo, una cierta unión infinita de espacios de escoba decrecientes , que está conexo im kleinen en un punto particular, pero no localmente conexo en ese punto. ^{[7] [8] [9]} Sin embargo, si un espacio está conexo im kleinen en cada uno de sus puntos, está conexo localmente. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Se dice que un espacio es conexo por caminos im kleinen en ^[5] si cada vecindad de contiene una vecindad conexa por caminos de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos conexos por caminos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Un espacio que está localmente conectado por camino en es camino conectado im kleinen en Lo contrario no se cumple, como lo muestra la misma unión infinita de espacios de escoba decrecientes como arriba. Sin embargo, si un espacio está conexo por caminos im kleinen en cada uno de sus puntos, está conexo por caminos localmente. ^[11] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Primeros ejemplos

1. Para cualquier entero positivo n , el espacio euclidiano está localmente conectado por caminos, por lo tanto, localmente conectado; también está conectado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. De manera más general, todo espacio vectorial topológico localmente convexo está localmente conectado, ya que cada punto tiene una base local de vecindades convexas (y por tanto conectadas).
3. El subespacio de la línea real está conectado localmente pero no conectado. ${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
4. La curva sinusoidal del topólogo es un subespacio del plano euclidiano que está conectado, pero no localmente. ^[12]
5. El espacio de números racionales dotado de la topología euclidiana estándar no está ni conexo ni localmente conexo. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. El espacio del peine está conectado a una ruta pero no a una ruta local, y ni siquiera está conectado localmente.
7. Un conjunto contablemente infinito dotado de la topología cofinita está localmente conectado (de hecho, hiperconectado ) pero no localmente conectado por ruta. ^[13]
8. La topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario está conectada y conectada localmente, pero no está conectada por ruta ni está conectada localmente. ^[14]
9. El espacio de Kirch está conectado y conectado localmente, pero no está conectado por caminos, y no está conectado por caminos im kleinen en ningún punto. De hecho, es un camino totalmente desconectado .

Un primer espacio de Hausdorff contable está conectado localmente por caminos si y solo si es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los caminos continuos. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C([0,1];X)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

Propiedades

Teorema  :  un espacio está conectado localmente si y solo si está débilmente conectado localmente. ^[10]

1. La conectividad local es, por definición, una propiedad local de los espacios topológicos, es decir, una propiedad topológica P tal que un espacio X posee la propiedad P si y sólo si cada punto x en X admite una base vecinal de conjuntos que tienen la propiedad P. En consecuencia, todas las "metapropiedades" que posee una propiedad local son válidas para la conexión local. En particular:
2. Un espacio es localmente conexo si y sólo si admite una base de subconjuntos conexos (abiertos).
3. La unión disjunta de una familia de espacios está localmente conectada si y sólo si cada uno de ellos está localmente conectado. En particular, dado que un único punto está ciertamente conectado localmente, se deduce que cualquier espacio discreto está conectado localmente. Por otro lado, un espacio discreto está totalmente desconectado , por lo que es conexo sólo si tiene como máximo un punto. ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
4. Por el contrario, un espacio totalmente desconectado está conectado localmente si y sólo si es discreto. Esto se puede utilizar para explicar el hecho antes mencionado de que los números racionales no están localmente conexos.
5. Un espacio de producto no vacío está conectado localmente si y sólo si cada uno está conectado localmente y todos, excepto un número finito, están conectados. ^[15] ${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
6. Todo espacio hiperconectado está conectado localmente y conectado.

Componentes y componentes de ruta.

El siguiente resultado se desprende casi inmediatamente de las definiciones, pero será bastante útil:

Lema: Sea X un espacio y una familia de subconjuntos de X. Supongamos que no está vacío. Entonces, si cada uno está conectado (respectivamente, camino conectado), entonces la unión está conectada (respectivamente, camino conectado). ^[dieciséis] ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$

Consideremos ahora dos relaciones en un espacio topológico X : para escribir: ${\displaystyle x,y\in X,}$

${\displaystyle x\equiv _{c}y}$si hay un subconjunto conexo de X que contiene tanto x como y ; y

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$si hay un subconjunto conectado de ruta de X que contiene tanto x como y .

Evidentemente ambas relaciones son reflexivas y simétricas. Además, si x e y están contenidos en un subconjunto A conectado (respectivamente, conectado por camino) e y y z están conectados en un subconjunto B conectado (respectivamente, conectado por camino) , entonces el lema implica que es un subconjunto conexo (respectivamente, conectado por camino) ) subconjunto que contiene x , y y z . Así, cada relación es una relación de equivalencia y define una partición de X en clases de equivalencia . Consideramos estas dos particiones por turno. ${\displaystyle A\cup B}$

Para x en X , el conjunto de todos los puntos y tales que se llama componente conexo de x . ^[17] El Lema implica que es el único subconjunto conectado máximo de X que contiene x . ^[18] Dado que el cierre de también es un subconjunto conexo que contiene x , ^[19] se deduce que está cerrado. ^[20] ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{c}x}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$

Si X tiene sólo un número finito de componentes conexos, entonces cada componente es el complemento de una unión finita de conjuntos cerrados y, por tanto, abiertos. En general, los componentes conectados no necesitan ser abiertos, ya que, por ejemplo, existen espacios totalmente desconectados (es decir, para todos los puntos x ) que no son discretos, como el espacio de Cantor. Sin embargo, los componentes conectados de un espacio conectado localmente también son abiertos y, por tanto, son conjuntos cerrados . ^{[21] De ello se deduce que un espacio} X localmente conectado es una unión topológica disjunta de sus distintos componentes conectados. Por el contrario, si para cada subconjunto abierto U de X , los componentes conexos de U son abiertos, entonces X admite una base de conjuntos conexos y, por tanto, es localmente conexo. ^[22] ${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$ ${\displaystyle \coprod C_{x}}$

De manera similar, x en X , el conjunto de todos los puntos y tales que se denomina componente de trayectoria de x . ^[23] Como se indicó anteriormente, también es la unión de todos los subconjuntos de X conectados por caminos que contienen x , por lo que, según el lema, el camino en sí es conexo. Debido a que los conjuntos conexos de caminos son conexos, tenemos para todos ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Sin embargo, el cierre de un conjunto conexo por caminos no necesita ser conexo por caminos: por ejemplo, la curva sinusoidal del topólogo es el cierre del subconjunto abierto U que consta de todos los puntos (x,sin(x)) con x > 0 y U , siendo homeomorfo a un intervalo en la recta real, ciertamente es un camino conexo. Además, las componentes de la trayectoria de la curva seno C del topólogo son U , que está abierta pero no cerrada, y que está cerrada pero no abierta. ${\displaystyle C\setminus U,}$

Un espacio está localmente conectado por camino si y solo si para todos los subconjuntos abiertos U , los componentes del camino de U están abiertos. ^[23] Por lo tanto, los componentes de ruta de un espacio conectado de ruta localmente dan una partición de X en conjuntos abiertos disjuntos por pares. De ello se deduce que un subespacio abierto y conectado de un espacio conectado por caminos localmente está necesariamente conectado por caminos. ^[24] Además, si un espacio está conectado por una ruta local, entonces también está conectado localmente, por lo que todo está conectado y abierto, por lo tanto, una ruta conectada, es decir , para un espacio conectado por una ruta local los componentes y los componentes de la ruta coinciden. . ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$

Ejemplos

1. El conjunto (dónde ) en la topología de orden del diccionario tiene exactamente un componente (porque está conectado) pero tiene innumerables componentes de ruta. De hecho, cualquier conjunto de la forma es un componente de ruta para cada a que pertenece a I. ${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \{a\}\times I}$
2. Sea un mapa continuo desde hasta (que está en la topología del límite inferior ). Dado que está conectado, y la imagen de un espacio conectado debajo de un mapa continuo debe estar conectada, la imagen de debajo debe estar conectada. Por lo tanto, la imagen de under debe ser un subconjunto de un componente de Dado que esta imagen no está vacía, los únicos mapas continuos desde ' hasta son los mapas constantes. De hecho, cualquier mapa continuo desde un espacio conectado a un espacio totalmente desconectado debe ser constante. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }/}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell },}$

Cuasicomponentes

Sea X un espacio topológico. Definimos una tercera relación en X : si no hay separación de X en conjuntos abiertos A y B tales que x es un elemento de A y y es un elemento de B. Esta es una relación de equivalencia en X y la clase de equivalencia que contiene x se llama cuasicomponente de x . ^[18] ${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$ ${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$También se puede caracterizar como la intersección de todos los subconjuntos abiertos de X que contienen x . ^[18] En consecuencia , queda cerrado; en general no es necesario que esté abierto. ${\displaystyle QC_{x}}$

Evidentemente para todos ^[18] En general tenemos las siguientes contenciones entre componentes de ruta, componentes y cuasicomponentes en x : ${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

Si X es localmente conexo, entonces, como arriba, es un conjunto abierto que contiene x , así y así. Dado que la conexidad por caminos locales implica conectividad local, se deduce que en todos los puntos x de un espacio conexo por caminos localmente tenemos ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

Otra clase de espacios en los que los cuasicomponentes concuerdan con los componentes es la clase de espacios compactos de Hausdorff. ^[25]

Ejemplos

1. Un ejemplo de un espacio cuyos cuasicomponentes no son iguales a sus componentes es una secuencia con un doble punto límite. Este espacio está totalmente desconectado, pero ambos puntos límite se encuentran en el mismo cuasicomponente, porque cualquier conjunto abierto que contenga uno de ellos debe contener una cola de la secuencia y, por tanto, el otro punto también.
2. El espacio es localmente compacto y de Hausdorff pero los conjuntos ya son dos componentes diferentes que se encuentran en el mismo cuasicomponente. ${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$ ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. El espacio Arens-Fort no está localmente conexo, pero sin embargo los componentes y los cuasicomponentes coinciden: de hecho, para todos los puntos x . ^[26] ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

Ver también

• Espacio localmente simplemente conectado
• Conexión sencilla y semilocal
• Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot está localmente conectado

Notas

1. Munkres, pag. 161
2. Willard, Definición 27.7, pág. 199
3. Willard, Definición 27.4, p.199
4. Willard, Definición 27.14, pág. 201
5. Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016). "La distancia de Mazurkiewicz y los conjuntos finitamente conexos en el límite". Revista de análisis geométrico . 26 (2): 873–897. arXiv : 1311.5122 . doi :10.1007/s12220-015-9575-9. S2CID  255549682., sección 2
6. Munkres, ejercicio 6, p. 162
7. Steen y Seebach, ejemplo 119.4, p. 139
8. Munkres, ejercicio 7, p. 162
9. "Demuestre que X no está conectado localmente en p". StackExchange de matemáticas .
10. Willard, Teorema 27.16, pág. 201
11. "Definición de conectado localmente por ruta". StackExchange de matemáticas .
12. Steen y Seebach, págs. 137-138
13. Steen y Seebach, págs. 49-50
14. Steen y Seebach, ejemplo 48, p. 73
15. Willard, teorema 27.13, pág. 201
16. Willard, Teorema 26.7a, pág. 192
17. Willard, Definición 26.11, p.194
18. Willard, Problema 26B, págs. 195-196
19. Kelley, Teorema 20, pág. 54; Willard, Teorema 26.8, p.193
20. Willard, Teorema 26.12, pág. 194
21. Willard, Corolario 27.10, pág. 200
22. Willard, Teorema 27.9, pág. 200
23. Willard, Problema 27D, pág. 202
24. Willard, Teorema 27.5, pág. 199
25. Engelking, Teorema 6.1.23, pág. 357
26. Steen y Seebach, págs. 54-55

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• John L. Kelley ; Topología general ; ISBN 0-387-90125-6 
• Munkres, James (1999), Topología (2ª ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, señor  1382863
• Stephen Willard; Topología general ; Publicaciones de Dover, 2004.

Otras lecturas

• Coppin, CA (1972), "Funciones continuas desde un espacio conectado localmente a un espacio conectado con un punto de dispersión", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 32 (2), Sociedad Matemática Estadounidense: 625–626, doi : 10.1090/ S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR  2037874. Para los espacios de Hausdorff, se muestra que cualquier función continua desde un espacio conectado localmente conectado hasta un espacio conectado con un punto de dispersión es constante
• Davis, HS (1968), "Una nota sobre la conectividad Im Kleinen", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 19 (5), Sociedad Matemática Estadounidense: 1237–1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR  2036067.