Secuencia equidistribuida

En matemáticas , se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ ,...) de números reales está equidistribuida o distribuida uniformemente , si la proporción de términos que caen en un subintervalo es proporcional a la longitud de ese subintervalo. Estas secuencias se estudian en la teoría de aproximación diofántica y tienen aplicaciones a la integración de Monte Carlo .

Definición

Se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está equidistribuida en un intervalo no degenerado [ a , b ] si para cada subintervalo [ c , d  ] de [ a , b ] tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.}$

(Aquí, la notación |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d  ]| denota el número de elementos, de los primeros n elementos de la secuencia, que están entre c y d .)

Por ejemplo, si una secuencia está equidistribuida en [0, 2], dado que el intervalo [0.5, 0.9] ocupa 1/5 de la longitud del intervalo [0, 2], a medida que n se vuelve grande, la proporción de los primeros n los miembros de la secuencia que se encuentran entre 0,5 y 0,9 deben acercarse a 1/5. En términos generales, se podría decir que cada miembro de la secuencia tiene la misma probabilidad de caer en cualquier lugar de su rango. Sin embargo, esto no quiere decir que ( s _n ) sea una secuencia de variables aleatorias ; más bien, es una secuencia determinada de números reales.

Discrepancia

Definimos la discrepancia D _N para una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) con respecto al intervalo [ a ,  b ] como

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .}$

Por tanto, una secuencia está equidistribuida si la discrepancia D _N tiende a cero cuando N tiende a infinito.

La equidistribución es un criterio bastante débil para expresar el hecho de que una secuencia llena el segmento sin dejar espacios. Por ejemplo, los dibujos de una variable aleatoria uniforme sobre un segmento estarán equidistribuidos en el segmento, pero habrá grandes espacios en comparación con una secuencia que primero enumera múltiplos de ε en el segmento, para algunos ε pequeños, de una manera apropiadamente elegida. , y luego continúa haciendo esto para valores cada vez más pequeños de ε. Para criterios más sólidos y construcciones de secuencias que están distribuidas de manera más uniforme, consulte secuencia de baja discrepancia .

Criterio integral de Riemann para la equidistribución

Recuerde que si f es una función que tiene una integral de Riemann en el intervalo [ a , b ], entonces su integral es el límite de las sumas de Riemann tomadas al muestrear la función f en un conjunto de puntos elegidos de una partición fina del intervalo. Por lo tanto, si alguna secuencia está equidistribuida en [ a , b ], se espera que esta secuencia pueda usarse para calcular la integral de una función integrable de Riemann. Esto lleva al siguiente criterio ^[1] para una secuencia equidistribuida:

Supongamos que ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) es una secuencia contenida en el intervalo [ a , b ]. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La secuencia está equidistribuida en [ a , b ].
2. Para cada función f  : [ a , b ] → integrable de Riemann ( de valores complejos ) , se cumple el siguiente límite: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Este criterio lleva a la idea de la integración de Monte-Carlo , donde las integrales se calculan muestreando la función sobre una secuencia de variables aleatorias equidistribuidas en el intervalo.

No es posible generalizar el criterio integral a una clase de funciones mayores que sólo las integrables de Riemann. Por ejemplo, si se considera la integral de Lebesgue y se considera que f está en L 1 , entonces este criterio falla. Como contraejemplo, tomemos f como la función indicadora de alguna secuencia equidistribuida. Entonces, en el criterio, el lado izquierdo es siempre 1, mientras que el lado derecho es cero, porque la secuencia es contable , por lo que f es cero en casi todas partes .

De hecho, el teorema de De Bruijn-Post establece lo contrario del criterio anterior: si f es una función tal que el criterio anterior se cumple para cualquier secuencia equidistribuida en [ a , b ], entonces f es integrable en Riemann en [ a , b ]. ^[2]

Módulo de equidistribución 1

Una secuencia ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... ) de números reales se dice que está equidistribuida módulo 1 o uniformemente distribuida módulo 1 si la secuencia de las partes fraccionarias de un _n , denotada por ( a _n ) o por a _n  − ⌊ a _n ⌋, está equidistribuida en el intervalo [0, 1].

Ejemplos

Ilustración del llenado del intervalo unitario ( eje x ) utilizando los primeros n términos de la secuencia de Van der Corput, para n de 0 a 999 ( eje y ). La gradación de color se debe al aliasing.

• El teorema de la equidistribución : la secuencia de todos los múltiplos de un α irracional ,

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

está equidistribuido módulo 1. ^[3]

• De manera más general, si p es un polinomio con al menos un coeficiente distinto del término constante irracional, entonces la secuencia p ( n ) está distribuida uniformemente módulo 1.

Esto fue demostrado por Weyl y es una aplicación del teorema de la diferencia de van der Corput. ^[4]

• La secuencia log( n ) no está distribuida uniformemente módulo 1. ^[3] Este hecho está relacionado con la ley de Benford .
• La secuencia de todos los múltiplos de un α irracional por números primos sucesivos ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

está equidistribuido módulo 1. Este es un famoso teorema de la teoría analítica de números , publicado por IM Vinogradov en 1948. ^[5]

• La secuencia de van der Corput está equidistribuida. ^[6]

criterio de weyl

El criterio de Weyl establece que la secuencia an está equidistribuida módulo 1 si y solo si para todos _los números enteros distintos de cero ℓ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

El criterio lleva el nombre de Hermann Weyl y fue formulado por primera vez por él . ^[7] Permite reducir las cuestiones de equidistribución a límites de sumas exponenciales , un método fundamental y general.

Generalizaciones

• Una forma cuantitativa del criterio de Weyl viene dada por la desigualdad de Erdős-Turán .
• El criterio de Weyl se extiende naturalmente a dimensiones superiores , asumiendo la generalización natural de la definición de equidistribución módulo 1:

La secuencia v _n de vectores en R ^k está equidistribuida módulo 1 si y solo si para cualquier vector distinto de cero ℓ ∈  Z ^k ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

Ejemplo de uso

El criterio de Weyl se puede utilizar para probar fácilmente el teorema de la equidistribución , afirmando que la secuencia de múltiplos 0, α , 2 α , 3 α , ... de algún número real α está equidistribuida módulo 1 si y sólo si α es irracional. ^[3]

Supongamos que α es irracional y denotamos nuestra secuencia por a _j  =  jα (donde j comienza desde 0, para simplificar la fórmula más adelante). Sea ℓ  ≠ 0 un número entero. Dado que α es irracional, ℓα nunca puede ser un número entero, por lo que nunca puede ser 1. Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica finita , ${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},}$

un límite finito que no depende de n . Por lo tanto, después de dividir por n y hacer que n tienda a infinito, el lado izquierdo tiende a cero y se satisface el criterio de Weyl.

Por el contrario, observe que si α es racional , entonces esta secuencia no está equidistribuida módulo 1, porque solo hay un número finito de opciones para la parte fraccionaria de a _j  =  jα .

Distribución uniforme completa

Se dice que una secuencia de números reales está k-distribuida uniformemente mod 1 si no solo la secuencia de partes fraccionarias está distribuida uniformemente sino que también la secuencia , donde se define como , está distribuida uniformemente en . ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$ ${\displaystyle [0,1]^{k}}$

Se dice que una secuencia de números reales está distribuida completamente uniformemente mod 1: está distribuida uniformemente para cada número natural . ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Por ejemplo, la secuencia está distribuida uniformemente mod 1 (o 1-distribuida uniformemente) para cualquier número irracional , pero nunca está siquiera 2-distribuida uniformemente. Por el contrario, la secuencia está distribuida de manera completamente uniforme para casi todos (es decir, para todos excepto para un conjunto de medida 0). ${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha }$

Teorema de la diferencia de van der Corput

Un teorema de Johannes van der Corput ^[8] establece que si para cada h la secuencia s _{n + h} − s _n está distribuida uniformemente módulo 1, entonces s _n también lo está . ^{[9] [10] [11]}

Un conjunto de van der Corput es un conjunto H de números enteros tal que si para cada h en H la secuencia s _{n + h} − s _n está uniformemente distribuida módulo 1, entonces s _n también lo está . ^{[10] [11]}

Teoremas métricos

Los teoremas métricos describen el comportamiento de una secuencia parametrizada para casi todos los valores de algún parámetro α : es decir, para valores de α que no se encuentran en algún conjunto excepcional de medida cero de Lebesgue .

• Para cualquier secuencia de números enteros distintos b _n , la secuencia ( b _n α ) está equidistribuida mod 1 para casi todos los valores de α . ^[12]
• La secuencia ( α ⁿ ) está equidistribuida mod 1 para casi todos los valores de α > 1. ^[13]

No se sabe si las secuencias ( e ⁿ ) o ( π ⁿ ) están equidistribuidas mod 1. Sin embargo, se sabe que la secuencia ( α ⁿ ) no está equidistribuida mod 1 si α es un número PV .

Secuencia bien distribuida

Se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está bien distribuida en [ a , b ] si para cualquier subintervalo [ c , d  ] de [ a , b ] tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}}$

uniformemente en k . Es evidente que toda secuencia bien distribuida está uniformemente distribuida, pero lo contrario no se cumple. La definición de módulo 1 bien distribuido es análoga.

Secuencias equidistribuidas con respecto a una medida arbitraria

Para un espacio de medidas de probabilidad arbitraria , se dice que una secuencia de puntos está equidistribuida con respecto a si la media de las medidas puntuales converge débilmente a : ^[14] ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .}$

En cualquier medida de probabilidad de Borel en un espacio metrizable y separable , existe una secuencia equidistribuida con respecto a la medida; de hecho, esto se desprende inmediatamente del hecho de que dicho espacio es estándar .

El fenómeno general de la equidistribución surge mucho para los sistemas dinámicos asociados con grupos de Lie , por ejemplo en la solución de Margulis a la conjetura de Oppenheim .

Ver también

• Teorema de equidistribución
• Secuencia de baja discrepancia
• Desigualdad de Erdős-Turán

Notas

1. Kuipers y Niederreiter (2006) págs. 2-3
2. http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Teorema 8
3. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 8
4. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 27
5. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 129
6. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 127
7. Weyl, H. (septiembre de 1916). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [Sobre la distribución de números módulo uno] (PDF) . Matemáticas. Ana. (en alemán). 77 (3): 313–352. doi :10.1007/BF01475864. S2CID  123470919.
8. van der Corput, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins", Acta Mathematica , 56 , Springer Países Bajos: 373–456, doi : 10.1007/BF02545780 , ISSN  0001-5962, JFM  57.0230.05 , Zbl  0001.20102
9. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 26
10. Montgomery (1994) pág. 18
11. Montgomery, Hugh L. (2001). "Análisis armónico tal como se encuentra en la teoría analítica de números" (PDF) . En Byrnes, James S. (ed.). Análisis armónico del siglo XX: una celebración. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Il Ciocco, Italia, 2 al 15 de julio de 2000 . Ciencia de la OTAN. Ser. II, Matemáticas. Física. Química. vol. 33. Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. págs. 271–293. doi :10.1007/978-94-010-0662-0_13. ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl  1001.11001.
12. Véase Bernstein, Felix (1911), "Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem", Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi :10.1007/BF01456856, S2CID  119558177.
13. Koksma, JF (1935), "Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins", Compositio Mathematica , 2 : 250–258, JFM  61.0205.01, Zbl  0012.01401
14. Kuipers y Niederreiter (2006) pág. 171

Referencias

• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Distribución uniforme de secuencias . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-45019-8.
• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (1974). Distribución uniforme de secuencias . ISBN de John Wiley & Sons Inc. 0-471-51045-9. Zbl  0281.10001.
• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 84. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.

Otras lecturas

• Granville, Andrés; Rudnick, Zeev, eds. (2007). Equidistribución en teoría de números, una introducción. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre equidistribución en teoría de números, Montreal, Canadá, 11 al 22 de julio de 2005 . Serie Científica II de la OTAN: Matemáticas, Física y Química. vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl  1121.11004.
• Tao, Terence (2012). Análisis de Fourier de orden superior. Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 142. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl  1277.11010.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia equidistribuida". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Criterio de Weyl". MundoMatemático .
• Criterio de Weyl en PlanetMath .
• Apuntes de conferencias de Charles Walkden con prueba del criterio de Weyl