Aproximación diofántica

Aproximación de un número real mediante un número racional

Mejores aproximaciones racionales para π (círculo verde), e (rombo azul), ϕ (oblongo rosa), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octágono rojo) y 1/√3 (triángulo naranja) calculadas a partir de sus expansiones en fracciones continuas, representadas como pendientes y / x con errores respecto de sus valores verdaderos (guiones negros)  

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En teoría de números , el estudio de la aproximación diofántica se ocupa de la aproximación de números reales mediante números racionales . Recibe su nombre en honor a Diofanto de Alejandría .

El primer problema era saber qué tan bien se puede aproximar un número real mediante números racionales. Para este problema, un número racional p / q es una "buena" aproximación de un número real α si el valor absoluto de la diferencia entre p / q y α puede no disminuir si p / q se reemplaza por otro número racional con un denominador menor. Este problema se resolvió durante el siglo XVIII mediante fracciones continuas .

Conociendo las "mejores" aproximaciones de un número dado, el principal problema del campo es encontrar límites superiores e inferiores precisos de la diferencia anterior, expresados ​​como una función del denominador . Parece que estos límites dependen de la naturaleza de los números reales que se van a aproximar: el límite inferior para la aproximación de un número racional por otro número racional es mayor que el límite inferior para los números algebraicos , que a su vez es mayor que el límite inferior para todos los números reales. Por lo tanto, un número real que puede aproximarse mejor que el límite para los números algebraicos es ciertamente un número trascendental .

Este conocimiento permitió a Liouville , en 1844, producir el primer número trascendental explícito. Más tarde, las pruebas de que π y e son trascendentales se obtuvieron mediante un método similar.

Las aproximaciones diofánticas y la teoría de números trascendentales son áreas muy cercanas que comparten muchos teoremas y métodos. Las aproximaciones diofánticas también tienen aplicaciones importantes en el estudio de las ecuaciones diofánticas .

La Medalla Fields 2022 fue otorgada a James Maynard por su trabajo sobre la aproximación diofántica.

Las mejores aproximaciones diofánticas de un número real

Dado un número real α , hay dos maneras de definir una mejor aproximación diofántica de α . Para la primera definición, ^[1] el número racional p / q es una mejor aproximación diofántica de α si

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

para cada número racional p' / q' distinto de p / q tal que 0 < q ′ ≤  q .

Para la segunda definición, ^{[2] [3]} la desigualdad anterior se reemplaza por

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Una mejor aproximación para la segunda definición es también una mejor aproximación para la primera, pero lo inverso no es cierto en general. ^[4]

La teoría de fracciones continuas nos permite calcular las mejores aproximaciones de un número real: para la segunda definición, son los convergentes de su expresión como fracción continua regular. ^{[3] [4] [5]} Para la primera definición, hay que considerar también los semiconvergentes . ^[1]

Por ejemplo, la constante e = 2,718281828459045235... tiene la representación de fracción continua (regular)

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Sus mejores aproximaciones para la segunda definición son

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

mientras que, para la primera definición, son

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Medida de la precisión de las aproximaciones.

La medida obvia de la precisión de una aproximación diofántica de un número real α por un número racional p / q es Sin embargo, esta cantidad siempre se puede hacer arbitrariamente pequeña aumentando los valores absolutos de p y q ; por lo tanto, la precisión de la aproximación generalmente se estima comparando esta cantidad con alguna función φ del denominador q , típicamente una potencia negativa del mismo. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Para realizar una comparación de este tipo, es posible que se deseen límites superiores o inferiores de precisión. Un límite inferior se describe normalmente mediante un teorema como "para cada elemento α de algún subconjunto de los números reales y cada número racional p / q , tenemos ". En algunos casos, "cada número racional" puede reemplazarse por "todos los números racionales excepto un número finito de ellos", lo que equivale a multiplicar φ por alguna constante que depende de α . ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

Para los límites superiores, hay que tener en cuenta que no todas las "mejores" aproximaciones diofánticas proporcionadas por los convergentes pueden tener la precisión deseada. Por lo tanto, los teoremas toman la forma "para cada elemento α de algún subconjunto de los números reales, hay infinitos números racionales p / q tales que ". ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

Números que se pueden aproximar mal

Un número mal aproximable es un x para el cual existe una constante positiva c tal que para todo racional p / q tenemos

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Los números difícilmente aproximables son precisamente aquellos con cocientes parciales acotados . ^[6]

De manera equivalente, un número es mal aproximable si y sólo si su constante de Markov es finita y su fracción continua simple está acotada.

Límites inferiores para aproximaciones diofánticas

Aproximación de un racional por otros racionales

Un número racional puede ser obviamente y perfectamente aproximado por para cada entero positivo i . ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ ${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

Si tenemos ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

porque es un entero positivo y, por lo tanto, no es menor que 1. Por lo tanto, la precisión de la aproximación es mala en relación con los números irracionales (ver las siguientes secciones). ${\displaystyle |aq-bp|}$

Se puede observar que la prueba precedente utiliza una variante del principio del palomar : un entero no negativo que no sea 0 no es menor que 1. Esta observación aparentemente trivial se utiliza en casi todas las pruebas de límites inferiores para aproximaciones diofánticas, incluso las más sofisticadas.

En resumen, un número racional se aproxima perfectamente por sí mismo, pero se aproxima mal por cualquier otro número racional.

Aproximación de números algebraicos, resultado de Liouville

En la década de 1840, Joseph Liouville obtuvo el primer límite inferior para la aproximación de números algebraicos : Si x es un número algebraico irracional de grado n sobre los números racionales, entonces existe una constante c ( x ) > 0 tal que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

se cumple para todos los números enteros p y q donde q > 0 .

Este resultado le permitió producir el primer ejemplo probado de un número trascendental, la constante de Liouville.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

que no satisface el teorema de Liouville, cualquiera que sea el grado n elegido.

Este vínculo entre las aproximaciones diofánticas y la teoría de números trascendentales continúa hasta nuestros días. Muchas de las técnicas de demostración son compartidas entre ambas áreas.

Aproximación de números algebraicos, teorema de Thue-Siegel-Roth

Durante más de un siglo, se han hecho muchos esfuerzos para mejorar el teorema de Liouville: cada mejora del límite nos permite demostrar que más números son trascendentales. Las principales mejoras se deben a Axel Thue  (1909), Siegel  (1921), Freeman Dyson  (1947) y Klaus Roth  (1955), que conducen finalmente al teorema de Thue-Siegel-Roth: Si x es un número algebraico irracional y ε > 0 , entonces existe un número real positivo c ( x , ε ) tal que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

se cumple para cada entero p y q tal que q > 0 .

En cierto sentido, este resultado es óptimo, ya que el teorema sería falso con ε  = 0. Esta es una consecuencia inmediata de los límites superiores que se describen a continuación.

Aproximaciones simultáneas de números algebraicos

Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt generalizó esto al caso de aproximaciones simultáneas, demostrando que: Si x ₁ , ..., x _n son números algebraicos tales que 1, x ₁ , ..., x _n son linealmente independientes sobre los números racionales y ε es cualquier número real positivo dado, entonces solo hay un número finito de n -tuplas racionales ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) tales que

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Nuevamente, este resultado es óptimo en el sentido de que no se puede eliminar ε del exponente.

Límites efectivos

Todos los límites inferiores anteriores no son efectivos , en el sentido de que las pruebas no proporcionan ninguna manera de calcular la constante implícita en las afirmaciones. Esto significa que no se pueden usar los resultados o sus pruebas para obtener límites en el tamaño de las soluciones de ecuaciones diofánticas relacionadas. Sin embargo, estas técnicas y resultados a menudo se pueden usar para limitar el número de soluciones de tales ecuaciones.

Sin embargo, un refinamiento del teorema de Baker por Feldman proporciona un límite efectivo: si x es un número algebraico de grado n sobre los números racionales, entonces existen constantes efectivamente computables c ( x ) > 0 y 0 <  d ( x ) <  n tales que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

se cumple para todos los números enteros racionales.

Sin embargo, como ocurre con todas las versiones efectivas del teorema de Baker, las constantes d y 1/ c son tan grandes que este resultado efectivo no se puede utilizar en la práctica.

Límites superiores para aproximaciones diofánticas

Límite superior general

El primer resultado importante sobre los límites superiores para las aproximaciones diofánticas es el teorema de aproximación de Dirichlet , que implica que, para cada número irracional α , hay infinitas fracciones tales que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Esto implica inmediatamente que no se puede suprimir ε en el enunciado del teorema de Thue-Siegel-Roth.

Adolf Hurwitz (1891) ^[7] reforzó este resultado, demostrando que para cada número irracional α , existen infinitas fracciones tales que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Por lo tanto, es un límite superior para las aproximaciones diofánticas de cualquier número irracional. La constante de este resultado no se puede mejorar aún más sin excluir algunos números irracionales (ver más abajo). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Émile Borel (1903) ^[8] demostró que, de hecho, dado cualquier número irracional α , y dados tres convergentes consecutivos de α , al menos uno debe satisfacer la desigualdad dada en el Teorema de Hurwitz.

Números reales equivalentes

Definición : Dos números reales se denominan equivalentes ^{[9] [10]} si existen números enteros con tales que: ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle a,b,c,d\;}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Por lo tanto, la equivalencia se define mediante una transformación de Möbius de números enteros sobre los números reales, o mediante un miembro del grupo modular , el conjunto de matrices invertibles de 2 × 2 sobre los números enteros. Cada número racional es equivalente a 0; por lo tanto, los números racionales son una clase de equivalencia para esta relación. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

La equivalencia puede leerse en la representación de fracción continua regular, como lo demuestra el siguiente teorema de Serret :

Teorema : Dos números irracionales x e y son equivalentes si y solo si existen dos números enteros positivos h y k tales que las representaciones en fracciones continuas regulares de x e y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

satisfacer

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

para cada entero no negativo i . ^[11]

Por lo tanto, a excepción de una secuencia inicial finita, los números equivalentes tienen la misma representación de fracción continua.

Los números equivalentes son aproximables al mismo grado, en el sentido de que tienen la misma constante de Markov .

Espectro de Lagrange

Como se dijo anteriormente, la constante del teorema de Borel no puede mejorarse, como lo demostró Adolf Hurwitz en 1891. ^[12] Sea la proporción áurea . Entonces, para cualquier constante real c con solo hay un número finito de números racionales p / q tales que ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Por lo tanto, sólo se puede lograr una mejora si se excluyen los números que son equivalentes a . Más precisamente: ^{[13] [14]} Para cada número irracional , que no es equivalente a , existen infinitas fracciones tales que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Mediante exclusiones sucesivas (a continuación se deben excluir los números equivalentes a ) de más y más clases de equivalencia, se puede ampliar aún más el límite inferior. Los valores que se pueden generar de esta manera son los números de Lagrange , que forman parte del espectro de Lagrange . Convergen al número 3 y están relacionados con los números de Markov . ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Teorema de Khinchin sobre la aproximación diofántica métrica y extensiones

Sea una función positiva de valores reales sobre números enteros positivos (es decir, una sucesión positiva) tal que no es creciente. Un número real x (no necesariamente algebraico) se llama - aproximable si existen infinitos números racionales p / q tales que ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle q\psi (q)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Aleksandr Khinchin demostró en 1926 que si la serie diverge, entonces casi todos los números reales (en el sentido de la medida de Lebesgue ) son -aproximables, y si la serie converge, entonces casi todos los números reales no son -aproximables. El círculo de ideas que rodea a este teorema y sus parientes se conoce como aproximación diofántica métrica o teoría métrica de la aproximación diofántica (que no debe confundirse con las "métricas" de altura en la geometría diofántica ) o teoría métrica de números . ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Duffin y Schaeffer (1941) demostraron una generalización del resultado de Khinchin y plantearon lo que ahora se conoce como la conjetura de Duffin-Schaeffer sobre el análogo de la dicotomía de Khinchin para secuencias generales, no necesariamente decrecientes . Beresnevich y Velani (2006) demostraron que un análogo de medida de Hausdorff de la conjetura de Duffin-Schaeffer es equivalente a la conjetura original de Duffin-Schaeffer, que es a priori más débil. En julio de 2019, Dimitris Koukoulopoulos y James Maynard anunciaron una prueba de la conjetura. ^{[17] [18]} ${\displaystyle \psi }$

Dimensión de Hausdorff de conjuntos excepcionales

Un ejemplo importante de una función a la que se puede aplicar el teorema de Khinchin es la función , donde c  > 1 es un número real. Para esta función, la serie relevante converge y, por lo tanto, el teorema de Khinchin nos dice que casi todos los puntos no son -aproximables. Por lo tanto, el conjunto de números que son -aproximables forma un subconjunto de la línea real de medida de Lebesgue cero. El teorema de Jarník-Besicovitch, debido a V. Jarník y AS Besicovitch , establece que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es igual a . ^[19] En particular, el conjunto de números que son -aproximables para algunos (conocido como el conjunto de números muy bien aproximables ) tiene dimensión de Hausdorff uno, mientras que el conjunto de números que son -aproximables para todos (conocido como el conjunto de números de Liouville ) tiene dimensión de Hausdorff cero. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c>1}$

Otro ejemplo importante es la función , donde es un número real. Para esta función, la serie relevante diverge y, por lo tanto, el teorema de Khinchin nos dice que casi todos los números son -aproximables. Esto es lo mismo que decir que cada uno de esos números es bien aproximable , donde un número se llama bien aproximable si no es mal aproximable. Por lo tanto, un análogo apropiado del teorema de Jarník-Besicovitch debería referirse a la dimensión de Hausdorff del conjunto de números mal aproximables. Y, de hecho, V. Jarník demostró que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es igual a uno. Este resultado fue mejorado por WM Schmidt , quien demostró que el conjunto de números mal aproximables es incompresible , lo que significa que si es una secuencia de aplicaciones bi-Lipschitz , entonces el conjunto de números x para los cuales son todos mal aproximables tiene dimensión de Hausdorff uno. Schmidt también generalizó el teorema de Jarník a dimensiones superiores, un logro significativo porque el argumento de Jarník es esencialmente unidimensional y depende del aparato de fracciones continuas. ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

Distribución uniforme

Otro tema que ha experimentado un desarrollo profundo es la teoría de la distribución uniforme módulo 1. Tomemos una secuencia a ₁ , a ₂ , ... de números reales y consideremos sus partes fraccionarias . Es decir, de manera más abstracta, observemos la secuencia en , que es un círculo. Para cualquier intervalo I en el círculo observamos la proporción de los elementos de la secuencia que se encuentran en él, hasta algún entero N , y la comparamos con la proporción de la circunferencia ocupada por I . La distribución uniforme significa que en el límite, a medida que N crece, la proporción de aciertos en el intervalo tiende al valor "esperado". Hermann Weyl demostró un resultado básico que mostraba que esto era equivalente a los límites para las sumas exponenciales formadas a partir de la secuencia. Esto mostró que los resultados de la aproximación diofántica estaban estrechamente relacionados con el problema general de la cancelación en las sumas exponenciales, que ocurre en toda la teoría analítica de números en la delimitación de los términos de error. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Relacionado con la distribución uniforme está el tema de las irregularidades de la distribución , que es de naturaleza combinatoria .

Algoritmos

Grotschel, Lovasz y Schrijver describen algoritmos para encontrar las mejores aproximaciones diofánticas, tanto para números reales individuales como para conjuntos de números reales. El último problema se denomina aproximación diofántica simultánea . ^{[20] : Sec. 5.2}

Problemas sin resolver

Todavía quedan problemas sin resolver en la aproximación diofántica, por ejemplo, la conjetura de Littlewood y la conjetura del corredor solitario . También se desconoce si existen números algebraicos con coeficientes ilimitados en su desarrollo fraccionario continuo.

Acontecimientos recientes

En su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticas en Kioto (1990), Grigory Margulis esbozó un amplio programa arraigado en la teoría ergódica que permite demostrar resultados de teoría de números utilizando las propiedades dinámicas y ergódicas de las acciones de subgrupos de grupos de Lie semisimples . El trabajo de D. Kleinbock, G. Margulis y sus colaboradores demostró el poder de este nuevo enfoque para los problemas clásicos en la aproximación diofántica. Entre sus éxitos notables están la prueba de la conjetura de Oppenheim de décadas de antigüedad por Margulis, con extensiones posteriores de Dani y Margulis y Eskin–Margulis–Mozes, y la prueba de las conjeturas de Baker y Sprindzhuk en las aproximaciones diofánticas en variedades por Kleinbock y Margulis. Varias generalizaciones de los resultados anteriores de Aleksandr Khinchin en la aproximación diofántica métrica también se han obtenido dentro de este marco.

Véase también

• Teorema de Davenport-Schmidt
• Teorema de Duffin-Schaeffer
• Conjunto de Heilbronn
• Secuencia de baja discrepancia

Notas

1. Khinchin 1997, pág. 21
2. Cassels 1957, pág. 2
3. Lang 1995, pág. 9
4. Khinchin 1997, pág. 24
5. Cassels 1957, págs. 5-8
6. Bugeaud 2012, pág. 245
7. Hurwitz 1891, pág. 279
8. Perron 1913, Capítulo 2, Teorema 15
9. Hurwitz 1891, pág. 284
10. Hardy y Wright 1979, Capítulo 10.11
11. Véase Perron 1929, Capítulo 2, Teorema 23, pág. 63
12. Hardy y Wright 1979, pág. 164
13. Cassels 1957, pág. 11
14. Hurwitz 1891
15. Cassels 1957, pág. 18
16. Véase Michel Waldschmidt: Introducción a los métodos diofánticos: irracionalidad y trascendencia Archivado el 9 de febrero de 2012 en Wayback Machine , pp 24–26.
17. Koukoulopoulos, D.; Maynard, J. (2019). "Sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer". arXiv : 1907.04593 [math.NT].
18. Sloman, Leila (2019). "Una nueva prueba resuelve un problema de números irracionales de hace 80 años". Scientific American .
19. Bernik y otros, 2013, pág. 24
20. Grötschel, Martín ; Lovász, László ; Schrijver, Alexander (1993), Algoritmos geométricos y optimización combinatoria, Algoritmos y combinatoria, vol. 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, Sr.  1261419

Referencias

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Enlaces externos

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• "Aproximaciones diofánticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]